Матема́тика, наука о количественных отношениях и пространственных формах. Основным методом исследований процессов и явлений с помощью математики является создание формализованной модели изучаемого явления и её изучение математическими средствами. При недостаточном соответствии результатов, полученных при исследовании математической модели, результатам непосредственных наблюдений этого явления требуется совершенствование модели. Типичным примером применения этого подхода может служить построение (и многократное совершенствование) модели движения планет Солнечной системы.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло в Древней Греции (6–5 вв. до н. э.). Развитие математики до этого времени относят к периоду зарождения математики, а 6–5 вв. до н. э. считается началом периода развития элементарной математики. В период зарождения математики математические исследования имели дело с ограниченным запасом основных понятий, возникших на ранних ступенях исторического развития в связи с простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Для первых задач механики и физики (за исключением отдельных исследований Архимеда) было достаточно того же запаса основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математических методов изучения явлений природы (17–18 вв.) требовала существенного развития некоторых разделов математики, была астрономия, вызвавшая, например, раннее развитие тригонометрии.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих с помощью математики изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур. С появлением переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и созданием дифференциального и интегрального исчислений начался период развития математики переменных величин.

Зарождение математики

На ранних стадиях развития общества необходимость счёта предметов привела к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. На основе устного счёта возникли письменные системы счисления и постепенно выработались приёмы выполнения арифметических действий над натуральными числами. Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) привели к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом накопился материал, постепенно сложившийся в арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительства, а несколько позднее – астрономии, вызвали развитие начал геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной степени независимо и параллельно. Дальнейшее развитие математики связано с накоплением арифметических и геометрических знаний в Древнем Египте и Вавилонии.

Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта (1-я половина 2-го тыс. до н. э.) состоят преимущественно из примеров на решение отдельных задач и некоторых рецептов для их решения. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математических теорий, по-видимому, не существовало (в частности, не было доказательств общих теорем). Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее запас установленных математических фактов был довольно велик.

Математических текстов, позволяющих судить о математике в Вавилонии, больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тыс. до н. э. до возникновения и развития греческой математики. В Вавилонии того времени использовалась перешедшая из более раннего шумерского периода шестидесятиричная система счисления с элементами позиционного принципа (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Деление сводилось к умножению при помощи таблиц обратных чисел. Имелись также таблицы произведений, квадратов, приближённых значений квадратных и кубических корней. На основе развитой техники арифметических вычислений появились начала алгебры. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработку измерения углов и начал тригонометрии. Вавилонянам было известно содержание теоремы Пифагора.

Развитие элементарной математики

После накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметических вычислений и способов определения площадей и объёмов математика сформировалась как самостоятельная наука. Было осознано своеобразие её метода, и появилась потребность систематического развития основных понятий и предложений математики в достаточно общей форме. Систематическое и логически последовательное построение основ математики вполне определилось в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно выросла теория чисел. Начало формироваться понятие о величине, при этом процесс разработки понятия действительного числа оказался весьма длительным. Это связано с тем, что понятия отрицательного и иррационального чисел относятся к тем математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют опоры в донаучном общечеловеческом опыте.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершилось лишь в конце периода развития элементарной математики, хотя специальные обозначения для неизвестных появились в Древней Греции у Диофанта и более систематически – в Индии (7 в. н. э.). Обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. Ф. Виетом. Развитие геодезии и астрономии рано привело к детальной разработке плоской и сферической тригонометрий. Период развития элементарной математики закончился в Западной Европе в начале 17 в., с переходом к математике переменных величин.

Потребность в строгих математических доказательствах появилась в Древней Греции, где были сделаны первые попытки систематического построения математики, которая, как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока. С этого времени сохраняются имена математиков, оставивших после себя математические сочинения, которые дошли до нас в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами. Греки считали себя в области арифметики учениками финикийцев, объясняя высокое развитие у них арифметики потребностями обширной торговли. Начало греческой геометрии связывают с путешествиями в Египет (7–6 вв. до н. э.) Фалеса Милетского и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства вычислений переросла в теорию чисел. Суммировались простейшие арифметические прогрессии [в частности, было известно равенство $1+ 3+ 5+ ...+ (2n- 1)=n^2$], изучались делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое). Вопросы теории чисел (например, разыскание совершенных чисел) связывались в школе Пифагора с мистическим и магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек пифагоровых чисел, т. е. троек целых чисел $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих соотношению $a^2+b^2=c^2$. В области геометрии задачи, которыми занимались греческие геометры в 6–5 вв., естественно возникали из простейших запросов строительства, землемерия и навигации. Таковы, например, вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника, о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, был подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования: не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греческие геометры искали строгие доказательства и логически исчерпывающие решения проблемы. Примером этой новой тенденции служит доказательство несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Во 2-й половине 5 в. философская и научная жизнь Греции сосредоточилась в Афинах. Здесь протекала основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского, которым приписывают составление первого систематического учебника по геометрии. К этому времени была создана система геометрии, в которой не игнорировались такие логические тонкости, как доказательство равенства треугольников. Отражением в математике первых, хотя и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось открытие всех пяти правильных многогранников – результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными «камнями мироздания». На границе 5–4 вв. Демокрит, исходя из атомистических представлений, предложил способ определения объёмов, послуживший позднее основой для разработки метода исчерпывания. В 4 в. в обстановке упадка могущества Афин наступила эпоха подчинения математики ограничениям, выдвинутым идеалистической философией. Наука о числах отделялась от «искусства счисления», а геометрия – от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагал общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводилось требование ограничиваться построениями, осуществимыми лишь при помощи циркуля и линейки. Наиболее значительным достижением математиков 4 в. можно считать исследования Евдокса Книдского, связанные как с логическим анализом основ геометрии, так и с математическим представлением видимого движения планет.

С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных, и особенно математических, исследований была Александрия, где в обстановке объединения различных мировых культур и широкого государственного покровительства науке математика достигла высшего расцвета. Александрийский мусейон, являвшийся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и библиотеки притягивали почти всех крупнейших учёных в Александрию. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается первый век александрийской эпохи, когда работали Евклид, Архимед (живший в Сиракузах), Эратосфен и Аполлоний Пергский.

В «Началах» Евклида собраны и переработаны предыдущие достижения в области геометрии. Вместе с тем в «Началах» Евклид заложил основы строгой теории чисел, доказав бесконечность ряда простых чисел и построив законченную теорию делимости. Из работ Евклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития математики имело создание законченной теории конических сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины, хотя рост объёма научных знаний продолжался. Начала анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристических приёмах Архимеда, получили дальнейшее развитие лишь много веков спустя. Возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. к отказу от математической строгости. Приближённые значения корней и все астрономические вычисления приводились ими с точным указанием границ погрешности, по типу архимедова определения длины окружности в форме строго доказанных неравенств

$$3\frac{10}{71}d < p < 3\frac{1}{7}d,$$где $p$ – длина окружности диаметра $d$. Отчётливое понимание того, что приближённая математика не является нестрогой математикой, было позднее надолго забыто.

Существенным недостатком всей математики Древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Это обстоятельство привело философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрических величин, хотя в теории пропорций и в методе исчерпывания математикам 4–3 вв. удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Несколько следующих веков принесли не решение проблемы путём создания нового фундаментального понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение с утратой представлений о математической строгости. На этом этапе истории математики временный отказ от математической строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность развития алгебры. Значительные успехи в этом направлении содержатся в сочинении Герона «Метрика», однако самостоятельное развитие алгебраического исчисления встречается лишь в сочинении Диофанта «Арифметика», посвящённом в основном решению уравнений. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант ограничивается, в отличие от Герона, рациональными решениями. Гиппарх первым составил таблицы хорд, игравшие роль таблиц синусов. Менелай и Клавдий Птолемей заложили основы сферической тригонометрии. При этом тригонометрия воспринималась в большой мере как часть астрономии, а не математики, и к ней не предъявлялись требования полной строгости формулировок и доказательств.

В Китае во 2–1 вв. до н. э. были известны способы приближённого извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел, а также, по существу, использовался метод исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений. Примером высокого развития вычислительных методов в геометрии служит результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в. н. э.), который показал, что отношение $π$ длины окружности к диаметру лежит в пределах $$3,1415926<π<3,1415927.$$Индийские математики в 5–12 вв. н. э. ввели в широкое употребление современную десятичную систему счисления и систематически использовали нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда, однако происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь арабскими, не вполне выяснено. Ещё одной их заслугой является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с отрицательными и иррациональными числами. В тригонометрии индийские математики рассматривали графики синуса и косинуса.

В западноевропейской науке длительное время господствовало мнение, что роль арабских математиков сводится в основном к сохранению и передаче математикам Западной Европы математических открытий Древнего мира и Индии. По-видимому, это связано с тем, что сочинения греческих математиков впервые стали известны в Западной Европе в арабских переводах. В действительности вклад математиков, писавших на арабских языках, значительно больше. В 1-й половине 9 в. Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. По его сочинению «Китаб аль-джебр ва-л-му кабала» европейские математики раннего Средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучал уравнения 3-й степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Математики Средней Азии и Ближнего Востока заимствовали у индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, однако в вычислениях применяли преимущественно шестидесятеричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятеричным делением углов в астрономии). В связи с астрономическими и геодезическими работами арабских учёных большое развитие получила тригонометрия. Они использовали тригонометрические функции, для которых были составлены достаточно точные таблицы. В «Трактате об окружности» (около 1427) аль-Каши нашёл число π

с 17 десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов он предложил итерационный метод численного решения уравнений.

12–15 вв. для европейской математики были периодом усвоения наследия Древнего мира и Востока. В это время широко распространились учебники, соединяющие практическую направленность с большой обстоятельностью и научной строгостью. После появления в 12 в. первых латинских переводов книг греческих и арабских математиков Леонардо Пизанский опубликовал сочинения «Книга об абаке» (1202) и «Практика геометрии» (1220), излагавшие арифметику, алгебру и геометрию. Основными центрами научной мысли в это время были университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисциплины (а не только собрания практических правил для решения задач) проявился в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин (Ф. Брадвардин и Н. Орем) и во введении дробных (Орем), отрицательных и нулевых (французский математик Н. Шюке, конец 15 в.) показателей степеней. Региомонтан составил тригонометрические таблицы (с точностью до 7-го знака). Была значительно усовершенствована математическая символика, развивались научная критика и полемика. Поиски решений трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, привели к первым доказательствам неразрешимости некоторых из этих задач. В частности, Леонардо Пизанский доказал (около 1225) неразрешимость уравнения $х^3+2x^2+10x=20$ не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей (вида $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ и т. п.).

С 16 в. наука Западной Европы стала превосходить науку Древнего мира и Востока. Так было в астрономии (гелиоцентрическая система Н. Коперника), в механике (исследования Г. Галилея) и в математике, несмотря на то что в некоторых направлениях европейская наука ещё отставала от достижений среднеазиатских математиков 15 в. Новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской математики, возникли лишь в 17 в. В 16 в. были открыты способы решения алгебраических уравнений 3-й (С. Ферро, около 1515; позднее и независимо от него – Н. Тарталья, около 1530) и 4-й (Л. Феррари, 1545) степеней. Дж. Кардано исследовал уравнения 3-й степени и обнаружил т. н. неприводимый случай, в котором действительные корни уравнения выражаются с использованием комплексных чисел. Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета. С. Стевин разработал (1585) правила арифметических действий с десятичными дробями.

Математическое образование в России в 9–13 вв. находилось на уровне наиболее развитых стран Восточной и Западной Европы, затем оно было надолго задержано монголо-татарским нашествием. В 15–16 вв. в связи с укреплением Русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли потребности в математических знаниях. В конце 16 – 17 вв. появились многочисленные рукописные руководства по арифметике и геометрии, в которых излагались обширные сведения, необходимые для практической деятельности. В Древней Руси использовалась система числовых знаков, основанная на славянском алфавите, сходная с греко-византийской системой. Эта система нумерации в российской математической литературе встречается до начала 18 в., но уже с конца 16 в. её начинает вытеснять десятичная система счисления.

Наиболее древнее российское математическое произведение относится к 1136 г. и принадлежит Кирику Новгородцу. Оно посвящено хронологическим расчётам и показывает, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий, сводящуюся в математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений 1-й степени. Арифметические рукописи конца 16 – 17 вв. содержат, помимо описания славянской и арабской нумерации, арифметические операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями и решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Для практического использования общих правил в рукописях рассматривались примеры с реальным содержанием и излагался т. н. дощаной счёт – прототип русских счётов. В геометрических рукописях содержалось изложение правил определения (иногда приближённого) площадей фигур и объёмов тел, часто использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора. В 1703 г. вышел первый русский печатный учебник математики – «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, включавшая многие математические вопросы, которые теперь не относят к арифметике.

Создание математики переменных величин

С 17 в. начался существенно новый период развития математики. Круг количественных отношений и пространственных форм уже не исчерпывался числами, уравнениями и геометрическими фигурами, что связано с явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.), однако, чтобы рассматривать количественные отношения в процессе их изменения, надо было сами зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому одним из основных объектов изучения в математике стало понятие функции и функциональной зависимости между величинами. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей привело к возникновению основных понятий математического анализа, вводящих в математику в явном виде идею бесконечного, понятий предела, производной, дифференциала и интеграла. Начал создаваться анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Основные законы механики и физики стали записываться в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений стала одной из важнейших задач математики. Нахождение неизвестных функций, определённых условиями минимума и максимума некоторых связанных с ними величин, стало предметом вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появились уравнения, в которых неизвестны функции, подлежащие определению.

С проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур её предмет также существенно расширился. Геометрия начала изучать движение и преобразования сами по себе. Например, в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Развитие этих идей относится к концу 18 – началу 19 вв.

С созданием аналитической геометрии принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был найден универсальный способ перевода задач геометрии на язык алгебры и анализа и их решения чисто алгебраическими и аналитическими методами; помимо этого, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометрически, например при графическом изображении функциональных зависимостей (см. Координаты).

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения $Р(х)=0$ как функцию переменного $х$. Этот подход позволил изучить вопрос о числе действительных корней, находить методы их отделения и приближённого вычисления, а в комплексной области привёл Ж. Л. Д’Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству основной теоремы алгебры о существовании у любого алгебраического уравнения хотя бы одного корня. К достижениям алгебры этого периода относится разработка способа решения произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработка теории делимости многочленов, метода исключения неизвестных и т. д., однако отделение собственно алгебраических фактов и методов от фактов и методов математического анализа произошло позднее (2-я половина 19 – 20 вв.). В 17–18 вв. алгебра в значительной мере воспринималась как первый раздел анализа, в котором вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются алгебраическими зависимостями и уравнениями.

Описанный выше новый этап развития математики связан с созданием в 17 в. математического естествознания, целью которого было объяснение отдельных природных явлений действием общих законов природы, сформулированных математически. На протяжении 17 в. глубокие и обширные математические исследования относятся лишь к двум разделам естественных наук – механике и оптике (Г. Галилей, И. Кеплер, И. Ньютон, а также Х. Гюйгенс и Р. Гук). Тем не менее философия 17 в. выдвинула идею универсальности математического метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. В. Лейбниц). Новые математические проблемы выдвигали перед математикой в 17 в. навигация, картография, баллистика, гидравлика.

В 1614 г. Дж. Непером было введено понятие логарифма. В 1637 г. Декарт опубликовал сочинение «Геометрия», содержащее основы метода координат в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. В связи с возможностью представить корни уравнения $Р(х)=0$ точками пересечения кривой $y=Р(х)$ с осью абсцисс в алгебре исследовались действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и о нахождении касательных к кривым содержали, по существу, приёмы дифференциального исчисления, но сами эти приёмы ещё не были выделены. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) метода «неделимых», применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. Так, в геометрической форме были, по существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления. Параллельно развивалось учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрической прогрессии, изучал Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение $\log(1+x)$ в степенной ряд. Ньютон нашёл (1664–1665) формулу бинома $(1+x)^α$ для любого показателя $α$, степенные ряды для функций $e^x$, $\sin x$, $\arcsin x$. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. С созданием метода координат и распространением представлений о направленных механических величинах (скорость, ускорение) понятие отрицательного числа приобрело наглядность и ясность.

Важнейшую роль в создании математики переменных величин сыграли И. Ньютон и Г. В. Лейбниц, трудами которых в последней трети 17 в. было создано дифференциальное и интегральное исчисление. Приоритет публикации здесь принадлежит Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1684–1686 гг. При этом имеются все основания считать, что приоритет получения основных результатов принадлежит Ньютону, который пришёл к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления в 1665–1666 гг. Работа Ньютона «Анализ с помощью уравнений» в 1669 г. была передана им в рукописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получила широкую известность в Англии. «Метод флюксий», сочинение, в котором Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, был написан в 1670–1671 гг. (опубликован в 1736). Лейбниц начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673 г. И Ньютон, и Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями и разработали для них общий единообразный алгоритм. Основная идея Ньютона (считающегося одним из основателей математического естествознания) состояла в том, что фундаментальные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а определение хода процессов, описываемых этими уравнениями, требует интегрирования уравнений (см. Исчисление флюксий). Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от традиционной алгебры к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы – бесконечно малые приращения переменных величин. С публикации работ Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа. Результаты исследований немедленно публиковались в журнальных статьях и использовались в исследованиях других учёных.

В 17 в., кроме аналитической геометрии, в тесной связи с алгеброй и анализом развивалась дифференциальная геометрия и были заложены основы проективной геометрии. Среди других достижений математики 17 в. – исследования по теории чисел (Б. Паскаль, П. Ферма); разработка основных понятий комбинаторики (Ферма, Паскаль, Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (Ферма, Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения – открытием Я. Бернулли простейшей формы закона больших чисел.

В начале 18 в. общий стиль математических исследований постепенно менялся. К этому времени развитие новых областей математики, созданных в 17 в., достигло уровня, при котором дальнейшее продвижение стало требовать виртуозного владения математическим аппаратом и изобретательности в поиске обходных, зачастую неожиданных путей решения трудных задач. В 18 в. наиболее ярким представителем математиков, сочетавших в себе эти качества, был Л. Эйлер, а Ж.-Л. Лагранж, быть может уступая Эйлеру в количестве и разнообразии решённых задач, соединял блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для французской математической школы 2-й половины 18 в. Если виднейшие математики 17 в. часто были одновременно философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 в. научная работа в области математики стала самостоятельным полем деятельности. При этом, однако, математическое естествознание (механика, математическая физика) и технические применения математики остаются в сфере деятельности математиков. Эйлер занимался вопросами кораблестроения и оптики, Лагранж создал основы аналитической механики, П.-С. Лаплас был также крупнейшим астрономом и физиком своего времени.

В 18 в., благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А.-М. Лежандра, теория чисел стала самостоятельной наукой. Лагранж дал (1769, опубликовано в 1771) общее решение неопределённых уравнений 2-й степени. Эйлер установил закон взаимности для квадратичных вычетов (1772, опубликовано в 1783), он же использовал для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитической теории чисел. При помощи разложений в непрерывные дроби Эйлер доказал (1737, опубликовано в 1744) иррациональность чисел $е$ и $e^2$, а И. Г. Ламберт (1766, опубликовано в 1768) – иррациональность числа $π$. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраического уравнения корня, который является комплексным числом. Формула Муавра, дающая способ извлечения корней из комплексного числа, и формула Эйлера, связывающая показательную и тригонометрическую формы записи комплексных чисел, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы исчисления конечных разностей. Б. Тейлор (1715) и К. Маклорен (1742) опубликовали работы, в которых содержатся формулы разложения функций в степенные ряды. У исследователей 18 в., особенно у Эйлера, ряды стали одним из мощных средств анализа. С работ Ж. Д'Аламбера началось систематическое изучение условий сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и Лежандр заложили основы исследования эллиптических интегралов. Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям. В частности, Эйлер предложил метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами (1739, опубликовано в 1743), Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Лагранж и Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас – 2-го порядка. Рассматривались разложения функций в тригонометрические ряды, и в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. В 18 в. значительное развитие в работах И. и Я. Бернулли, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, Г. В. Лейбница и И. Ньютона получило вариационное исчисление. Работы Я. Бернулли и А. де Муавра подготовили начало развития теории вероятностей. В геометрии Эйлер завершил построение системы элементарной аналитической геометрии. В работах Л. Эйлера, А. К. Клеро, Г. Монжа и Ж.-Б. Мёнье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Ламберт развил теорию перспективы, а Монж придал окончательную форму начертательной геометрии. Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д'Аламбером и Ж. Лагранжем была создана гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости.

Математика 18 в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет математики был связан преимущественно с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. В 18 в. одним из основных центров математических исследований стала Петербургская АН, где работали Л. Эйлер и Д. Бернулли и постепенно складывалась российская математическая школа, развернувшая свои исследования в начале 19 в.

Математика в 19 – начале 20 вв.

В начале 19 в. произошло новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными разделами физики, требовавшими развитого математического аппарата, были механика и оптика, то теперь к ним присоединились электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получили широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро росли математические запросы техники. В начале 19 в. это были вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывалась теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория потенциала. В этом направлении работало большинство крупных математиков начала и середины 19 в. – К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. Остроградский заложил также основы вариационного исчисления функций нескольких переменных, нашёл (1826, опубликовано в 1831) формулу преобразования тройных интегралов в двойные и её n-мерное обобщение (1834, опубликовано в 1838). В результате исследований по уравнениям математической физики и по алгебре возник векторный анализ (Дж. Г. Стокс и другие английские математики).

Наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, внимание математиков с начала 19 в. привлекали вопросы строгого обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованию в этом направлении Б. Больцано, доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал современное определение непрерывной функции и доказал т. н. теорему Больцано – Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного множества. О. Коши (1821, 1823), Н. И. Лобачевский (1834) и, позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия. На основе чёткого понимания природы комплексных чисел возникла теория функций комплексного переменного (см. Аналитическая функция). Общие основы теории были заложены Коши. В отличие от чисто алгоритмического подхода 18 в., на этом этапе внимание было сосредоточено на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и на основных геометрических закономерностях (например, о зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, установленной Коши). Продолжением этих исследований стали результаты Б. Римана в середине 19 в.: оказалось, что естественным геометрическим носителем аналитической функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достиг той же общности, что и Риман, оставаясь в рамках чистого анализа. Однако геометрические идеи Римана стали в дальнейшем определять стиль мышления в области теории функций комплексного переменного. Н. Х. Абель и К. Якоби развивали теорию эллиптических функций, получившую современный вид в работах Вейерштрасса. Сохранялся интерес к вопросам теории функций в действительной области. Это привело, в частности, П. Л. Чебышёва, исходившего из запросов теории механизмов, к постановке задач теории наилучших приближений.

В начале 19 в. в алгебре была доказана неразрешимость в радикалах общего уравнения 5-й степени (П. Руффини, Н. Абель). Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. теория Галуа). Задача общего абстрактного изучения групп была поставлена А. Кэли, хотя всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 1870-х гг. От работ Галуа и Абеля берёт начало также понятие поля алгебраических чисел, приведшее к созданию нового раздела алгебры – алгебраической теории чисел. В 19 в. продолжалась разработка задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами натуральных чисел. К. Гаусс разработал (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышёв получил (1848, 1850) основные результаты о законе расположения простых чисел в натуральном ряду. П. Дирихле установил бесконечность множества простых чисел в арифметических прогрессиях (1837).

Для выработки новых взглядов на предмет геометрии ключевым оказалось создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии (см. Геометрия Лобачевского). К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853) разрабатывалась дифференциальная геометрия поверхностей. Параллельно развивалась (долгое время – независимо от неевклидовой геометрии) проективная геометрия (Ж.-В. Понселе, немецкие учёные Я. Штейнер, К. Штаудт), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Немецкий математик Ю. Плюккер построил геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Г. Грассман создал аффинную и метрическую геометрию $n$-мерного векторного пространства. Б. Риман предложил (1854, опубликовано в 1866) концепцию $n$-мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии $n$-мерных многообразий (см. Риманова геометрия).

Связь математики с естествознанием в 19 в. приобрела более сложные формы. Новые математические теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Таковым в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение во всём математическом анализе. Другим примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой математики, явилась «воображаемая геометрия» Н. И. Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была поколеблена вера в незыблемость освящённых тысячелетним развитием математики аксиом, понята возможность создания новых математических теорий с помощью отказа от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логической необходимости, и было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем конкретные применения.

Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в 19 в. внимание к вопросам её обоснования, т. е. критическому пересмотру её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критическому рассмотрению логических приёмов, употребляемых при доказательствах. Работы по строгому обоснованию тех или иных разделов математики занимали значительное место в математике 19–20 вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приёмов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются ныне в большинстве учебников. Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени было с операционным исчислением. С большим запозданием была логически безупречно построена математическая теория вероятностей. Стандарт требований к логической строгости, предъявляемых к практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий, сложился только к концу 19 в. Глубокий и тщательный анализ требований к логической строгости доказательств, строения математических теорий, вопросов алгоритмической разрешимости и неразрешимости математических проблем составляет предмет математической логики. Её основы заложены в 19 в. Дж. Булем, Дж. Пеано, П. С. Порецким, Г. Фреге, немецким математиком Э. Шрёдером и др. В начале 20 в. в этой области получены важные результаты (теория доказательств Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).

В последней трети 19 в. работы по обоснованию анализа получили необходимый фундамент в виде строгой теории действительных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879–1884 гг. были опубликованы основные работы Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете математики, строении математической теории, роли аксиоматики и т. д. Их широкое распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 работы Д. Гильберта «Основания геометрии»).

Большое число задач, выдвигаемых перед математикой естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными. Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений интенсивно развивались. Для решения сложных линейных систем были созданы методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применялся метод разложения по параметру. Разрабатывалась аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений с конца 19 в. стали привлекать вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (Пуанкаре и др.) и вопросы устойчивости, изученные А. М. Ляпуновым.

Качественная теория дифференциальных уравнений стала для А. Пуанкаре основой, на которой он продолжил намеченные Б. Риманом исследования по топологии многообразий, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили начало комбинаторные, гомологические и гомотопические методы современной топологии. Другое направление в топологии возникло из теории множеств и функционального анализа и привело к построению теории общих топологических пространств.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными основное внимание уделялось краевым задачам при отказе от аналитических краевых условий. Аналитическая теория, развивавшаяся О. Коши, К. Вейерштрассом и С. В. Ковалевской, не потеряла своего значения, но обнаружилось, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т. е. возможности найти приближённое решение, зная граничные условия лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретическое решение не имеет практической ценности. С этим связано превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными главным образом в теорию уравнений математической физики. Работы по отдельным типам уравнений математической физики составляют значительную часть математики. Уравнениями математической физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Дж. У. Рэлей, У. Томсон, К. Нейман, Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и др.

В конце 19 – начале 20 вв. Э. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт заложили основы современной алгебраической теории чисел. Ж. Адамар (1896) и Ш.-Ж. де ла Валле Пуссен (1896) продолжили исследования П. Л. Чебышёва о расположении простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский ввёл в теоретико-числовые исследования геометрические методы. В России теория чисел развивалась в работах А. Н. Коркина, Г. Ф. Вороного и А. А. Маркова.

В алгебре развивались исследования по теории групп, полей, колец и т. д. Многие из этих разделов алгебры получили применения в естествознании, в частности теория групп – в кристаллографии и в вопросах квантовой физики. На границе между алгеброй и геометрией С. Ли развивал (с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникли в различные разделы математики и естествознания.

Основными разделами геометрии, привлекавшими внимание многих выдающихся учёных, стали дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трёхмерного пространства получила систематическое развитие в работах Э. Бельтрами, Ж. Г. Дарбу и др. Развивалась дифференциальная геометрия различных групп преобразований (более широких, чем группа евклидовых движений), и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрических исследований разрабатывалось Т. Леви-Чивитой, Э. Картаном и Г. Вейлем и связано с возникновением теории относительности.

В конце 19 в. интенсивно развивалась теория аналитических функций, как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за её связей с другими разделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными, например, при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости, а также в аэромеханике (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин).

Ф. Клейн и А. Пуанкаре создали теорию автоморфных функций, в которой нашла применение геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель разработали теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивали Пуанкаре, Д. Гильберт и др.

При изучении природы и решении технических задач большую роль играют методы теории вероятностей. В конце 19 – начале 20 вв. теория вероятностей получила много новых применений благодаря развитию статистической физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретические исследования по общим вопросам теории вероятностей в конце 19 – начале 20 вв. разрабатывались российскими учёными петербургской школы (П. Л. Чебышёв, А. А. Марков, А. М. Ляпунов). Эти исследования были сосредоточены вокруг вопроса об условиях применимости центральной предельной теоремы.

В конце 19 – начале 20 вв. численные методы анализа стали самостоятельной ветвью математики. При этом большое внимание уделялось методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышёв, А. А. Марков, В. А. Стеклов).

Современная математика

Существенное влияние на развитие математики 20 в. оказало решение задач, сформулированных Д. Гильбертом в 1900 г. (см. Проблемы Гильберта).

Теория чисел, представлявшая собой собрание отдельных результатов и идей, в 20 в. развивалась в различных направлениях как стройная теория, включавшая алгебраическую теорию чисел, аналитическую теорию чисел, диофантовы уравнения. Основные результаты были получены И. М. Виноградовым, А. О. Гельфондом, Ю. В. Линником, К. К. Марджанишвили, А. Вейлем, Дж. Литлвудом, С. Рамануджаном, Г. Харди, немецким математиком Х. Хассе. Английский математик Э. Дж. Уайлс в 1995 г. доказал Великую теорему Ферма.

В алгебре значительные результаты получили Б. Н. Делоне, Ю. Л. Ершов, А. И. Кострикин, А. И. Мальцев, А. Н. Паршин, И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев, немецкий математик Э. Артин, Б. Л. Ван дер Варден, Э. Нётер. Большой вклад в теорию непрерывных групп внесли Л. С. Понтрягин и Ф. Хаусдорф. Ряд задач в области алгебры с помощью методов математической логики были решены С. И. Адяном, П. С. Новиковым и А. И. Мальцевым. В области математической логики существенные результаты получены С. И. Адяном, Ю. Л. Ершовым, О. Б. Лупановым, А. А. Ляпуновым, Ю. В. Матиясевичем, С. В. Яблонским, К. Гёделем, П. Дж. Коэном, А. Тьюрингом и А. Чёрчем.

Для развития геометрии важное значение имели работы А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова и Ю. Г. Решетняка. Основными разделами геометрии, где сосредоточились наиболее значительные силы, стали дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия. Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман дали решение проблемы Пуанкаре о существовании трёх замкнутых несамопересекающихся геодезических на римановом многообразии, гомеоморфном сфере. С. П. Новиков доказал топологическую инвариантность т. н. рациональных классов Понтрягина. Важный вклад в алгебраическую геометрию внесли М. Ф. Атья, Ж.-П. Серр, Хиронака Хэйсукэ, Ф. Хирцебрух. Развитие топологии связано с работами П. С. Александрова, Л. В. Келдыша, С. П. Новикова, А. Н. Тихонова, П. С. Урысона, А. Т. Фоменко, британского математика Ф. Адамса, Л. Брауэра, французского математика А. Гротендика, К. Куратовского, С. Лефшеца, Х. Уитни, Ф. Хаусдорфа, Х. Хопфа. В развитие алгебраической и дифференциальной топологии большой вклад внёс Дж. Милнор.

В области обыкновенных дифференциальных уравнений важные результаты получены Д. В. Аносовым, В. И. Арнольдом, А. А. Болибрухом, А. М. Ильиным, В. А. Ильиным, А. Б. Куржанским, Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Осиповым, И. Г. Петровским, Л. С. Понтрягиным, А. И. Субботиным. Вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления. Понтрягин является создателем теории оптимальных процессов, в основе которой лежит принцип максимума Понтрягина. Большой вклад в теорию оптимального управления внесли Р. В. Гамкрелидзе, Н. Н. Красовский, А. В. Кряжимский, Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Осипов и Ч. Олех. Красовский исследовал вопросы, связанные с устойчивостью решений дифференциальных уравнений.

Теория дифференциальных уравнений с частными производными развивалась в работах А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. Д. Кудрявцева, М. А. Лаврентьева, О. А. Ладыженской, В. А. Марченко, В. П. Маслова, Н. И. Мусхелишвили, О. А. Олейник, И. Г. Петровского, С. Л. Соболева, В. И. Смирнова, Ж. Лере, американского математика Л. Ниренберга, шведского математика Л. Хёрмандера, Л. Шварца. Значительные работы в области математической физики принадлежат Н. Н. Боголюбову, В. С. Владимирову, В. А. Стеклову, Л. Д. Фаддееву, Р. Куранту.

В результате систематического построения математического анализа на основе строгой теории действительных чисел и теории множеств возник новый раздел математики – теория функций действительного переменного. Исследования по этой теории привели к общим определениям понятий меры множества, измеримых функций и интеграла, играющих важную роль в современной математике. Основы современной теории функций действительного переменного заложили в конце 19 – начале 20 вв. математики французской школы (М. Э. К. Жордан, Э. Борель, А. Л. Лебег, Р. Л. Бэр), позднее ведущая роль перешла к российской школе. Теория функций действительного переменного состоит в основном из метрической теории функций и теории приближения функций. В метрической теории функций изучаются свойства функций на основе понятия меры. Большой вклад в её развитие внесён основателями московской математической школы Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным и учениками Лузина Н. К. Бари, А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, М. Я. Суслиным, А. Я. Хинчиным. Теория приближения функций берёт начало в работе П. Л. Чебышёва 1859 г. Он ввёл одно из основных понятий этой теории – понятие наилучшего приближения непрерывной функции полиномами. Значительный вклад в теории приближений принадлежит Н. К. Бари, С. Н. Бернштейну, А. Н. Колмогорову, С. М. Никольскому, П. Л. Ульянову и С. Б. Стечкину. Наряду с приближениями функций изучались разложения функций в ряды, в частности в ряды по ортогональным системам функций. Эти разложения рассматривались Н. К. Бари, А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, В. А. Стекловым, немецким математиком С. Бохнером.

Теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других разделов математики. Разработанные в ней методы использовались при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классическому анализу и математической физике, становясь особенно необходимым (главным образом в форме теории операторов) в квантовой физике. Впервые выделение функционального анализа как особого раздела математики произведено В. Вольтеррой в конце 19 в. Частями функционального анализа теперь являются возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, систематическое построение которой было начато Вольтеррой и продолжено Э. И. Фредгольмом. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве, роль которого стала ясна из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывался особенно интенсивно. Обобщая понятие гильбертова пространства, Ф. Рисс рассмотрел некоторые нормированные пространства, а С. Банах ввёл (1922) полные линейные нормированные пространства (см. Банахово пространство). В 1930–1940-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Рисса, американских математиков М. Стоуна и Дж. фон Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. И. М. Гельфандом разработана теория нормированных колец (банаховых алгебр, 1940). В теории функций действительного переменного и в функциональном анализе широко используются понятия метрического пространства, компактности, полноты и сепарабельности, введённые М. Р. Фреше.

Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина по применению теории функций комплексного переменного в аэромеханике продолжил М. В. Келдыш. Граничными задачами теории аналитических функций занимались И. Н. Векуа, Н. И. Мусхелишвили, И. И. Привалов. Фундаментальные результаты в теории приближения функций комплексного переменного многочленами получены М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым. Эти исследования продолжали А. Г. Витушкин, А. А. Гончар, А. Ф. Леонтьев, С. Н. Мергелян.

В теории вероятностей А. М. Ляпунов предложил (1900) метод характеристических функций, один из основных методов доказательства предельных теорем теории вероятностей. Теория предельных теорем, называемая ныне классической, в основном создана трудами Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и П. Леви в 1-й половине 20 в. Развитие этой теории продолжалось во 2-й половине 20 – 21 вв. Колмогоров построил (1933) общепринятую аксиоматику теории вероятностей, получив тем самым решение 6-й проблемы Гильберта, заложил основы теории марковских случайных процессов (1936), а также ветвящихся случайных процессов (1947), которые нашли применение в химии и в атомной энергетике; вместе с Хинчиным развил теорию стационарных случайных процессов (1941). Ю. В. Прохоров в работах по предельным теоремам для случайных процессов предложил методы, основанные на изучении сходимости мер в функциональных пространствах, эти методы, в частности, были применены для обоснования предельного перехода от дискретных случайных процессов к непрерывным.

Развитие теории вероятностей и теории случайных процессов продолжалось в работах А. А. Боровкова, И. А. Ибрагимова, Я. Г. Синая, украинского математика А. В. Скорохода, литовских математиков Й. Кубилюса и В. Статулявичуса, узбекских математиков Т. А. Сарымсакова и С. Х. Сираждинова, американского учёного Дж. Дуба, японского математика Ито Киёси и П. Леви. Теория вероятностей является основой математической статистики, существенный вклад в развитие которой внесли А. Н. Колмогоров, Л. Н. Большев, В. И. Романовский, Н. В. Смирнов, американский математик А. Вальд, Х. Крамер, Е. Нейман, К. Пирсон, Р. Фишер.

Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует, как правило, получения ответа на поставленную задачу в числовой форме, что часто оказывается весьма трудным. Зародившиеся в конце 19 – начале 20 вв. численные методы анализа и алгебры в связи с созданием и совершенствованием вычислительных машин выросли в самостоятельный раздел математики – вычислительную математику. В создание и развитие отечественных вычислительных машин значительный вклад внесли В. М. Глушков, С. А. Лебедев и В. А. Мельников. Существенный вклад в развитие вычислительной математики внесли Н. С. Бахвалов, В. В. Воеводин, Б. Г. Галёркин, В. М. Глушков, Н. Н. Говорун, С. К. Годунов, Е. В. Золотов, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, Г. И. Марчук, В. А. Мельников, А. А. Самарский, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов, В. Н. Фаддеева.

Основные направления исследований в математике по разделам сложились в начале 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется и в 21 в., несмотря на стремительное развитие математики. Однако потребности развития самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению ряда новых математических дисциплин (см., например, Теория автоматов, Теория игр, Информатика, Теория информации, Исследование операций, Кибернетика, Криптография, Математическая экономика). Теоретическими вопросами информатики занимались А. П. Ершов, Ю. И. Журавлёв и В. А. Садовничий. На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникла дискретная математика. Теория алгоритмов, теория сложности и надёжности управляющих систем развивались в трудах С. И. Адяна, Ю. Л. Ершова, Ю. И. Журавлёва, А. Н. Колмогорова, О. Б. Лупанова, А. А. Маркова, А. А. Разборова и С. В. Яблонского. Основы теории информации были заложены В. А. Котельниковым (1941) и К. Шенноном (1948–1949). В теоретические разделы теории информации большой вклад внесён Колмогоровым и Н. Винером; в разделы, соприкасающиеся с применениями, – Котельниковым. В математической экономике исследования Л. В. Канторовича способствовали построению теории оптимального планирования и управления народным хозяйством. Важную роль в развитии математической экономики сыграли работы В. Л. Макарова.

Математические организации и журналы

В конце 17 – начале 18 вв. появились первые математические общества. Обзорные доклады о мировых достижениях математики, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных представляются на проходящих международных математических конгрессах. 1-й Математический конгресс состоялся в Цюрихе (1897), затем они проходили в Париже (1900), Гейдельберге (1904), Риме (1908), Кембридже (Великобритания, 1912), Страсбуре (1920), Торонто (1924), Болонье (1928), Цюрихе (1932), Осло (1936). После 2-й мировой войны математические конгрессы проходили в Кембридже (штат Массачусетс, США, 1950), Амстердаме (1954), Эдинбурге (1958), Стокгольме (1962), Москве (1966), Ницце (1970), Ванкувере (1974), Хельсинки (1978), Варшаве (1983), Беркли (1986), Киото (1990), Цюрихе (1994), Берлине (1998), Пекине (2002), Мадриде (2006), Хайдарабаде (Индия, 2010), в Сеуле (2014), Рио-де-Жанейро (2018), Хельсинки (2022). Организация и поощрение международного сотрудничества в области математики является задачей Международного математического союза.

В России многие математические исследования проводятся в институтах, входящих в РАН. Это Математический институт имени В. А. Стеклова, Санкт-Петербургское отделение Математического института, Институт вычислительной математики имени Г. И. Марчука, Вычислительный центр имени А. А. Дородницына, Институт автоматизации проектирования, Институт математического моделирования, Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша, Институт системного программирования, а также Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН, Институт математики и механики УрО РАН, Институт прикладной математики ДВО РАН, Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, Институт прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН, НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН.

Текущие математические исследования (а также информация о математической жизни в различных странах) публикуются в математических журналах.

Отдельные математические статьи впервые стали печататься в общих научных журналах. Среди них – Journal des savants (P.; Amst.; Lpz., с 1665), в котором публиковались работы братьев Бернулли, Acta eruditorum (Lpz., 1682–1731), где были напечатаны многие работы Лейбница и братьев Бернулли.

Специализированные математические журналы появились в начале 19 в. Старейшие из них: Journal für die reine und angewandte Mathematik (B., c 1826), Proceedings of the London Mathematical Society (L., с 1865), «Математический сборник» (с 1866), Mathematisсhe Annalen (B.; Lpz., с 1869), Acta Mathematica (Uppsala; Stockh., с 1882), Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Edinburgh, основан в 1883, издаётся с 1884), Annals of Mathematics (Princeton, с 1884), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (Palermo, с 1884), Bulletin of the American Mathematical Society (Lancaster, с 1891).

РАН продолжает издавать журналы «Известия Академии наук СССР. Серия математическая» (М., 1937–94, с 1992 – «Известия РАН. Серия математическая»), «Успехи математических наук» (М., с 1936), «Алгебра и анализ» (Л.; СПб., с 1989), «Дискретная математика» (М., с 1989), «Математические заметки» (М., с 1967), «Теоретическая и математическая физика» (М., с 1969), «Теория вероятностей и её применения» (М., с 1956), «Функциональный анализ и его приложения» (М., с 1967), «Журнал вычислительной математики и математической физики» (М., с 1961), «Математическое моделирование» (М., с 1989), «Программирование» (М., с 1975).

В связи с тем что число математических публикаций очень велико, возникла необходимость издания реферативных журналов по математике. Первыми из них в России были «Русская физико-математическая библиография» (СПб., 1885–1900), «Русская библиография по естествознанию и математике, составленная состоящим при императорской Академии наук С.-Петербургским бюро международной библиографии» (1904–1917), позднее стали выходить «Физико-математический реферативный журнал» (М., 1939–1941) и «Реферативный журнал. Математика» (М., с 1953).

Научные общества и университеты в различных городах России выпускают свои общенаучные издания. Среди них «Учёные записки Казанского университета» (с 1834), в которых впервые опубликованы сочинения Н. И. Лобачевского, «Учёные записки Московского университета» (с 1833).