Ряд в математике, бесконечная сумма $u_1+u_2+...+u_n+\ldots \renewcommand{\tag}[1]{\qquad\qquad(#1) }$или, что то же самое, $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n.\tag{1}$$Слагаемые $u_1, u_2,\ldots u_n,\ldots$ называются членами ряда ($u_n$ иногда называют общим членом ряда), суммы $$s_n=u_1+...+u_n,\qquad n=1, 2,\ldots,$$– частичными суммами ряда порядка $n$.

Ряды являются важнейшими средствами вычисления, изучения и приближения чисел и функций. Простейшие ряды встречаются в элементарной математике - это, например, бесконечные десятичные дроби$$\displaystyle\frac{1}{3}=0,333\ldots=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\ldots,$$

и сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$1+q+q^2+...+q^n+...=\frac{1}{1-q},\quad |q|<1. \tag{2}$$

Для многих чисел, использующихся в математике, имеются их представления в виде ряда, например, для числа $\pi$ справедливы равенства

$$\frac{\pi}{3}=1+\frac{1}{2^{3} 3}+\frac{3}{2^{7}5}+\frac{5}{2^{10}7}+\ldots \tag{3}$$ и $$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots,\tag{4}$$

для числа $e$– основания натуральных логарифмов – справедливо равенство $$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots\ .\tag{5}$$При вычислениях сумма ряда обычно заменяется конечной суммой $s_n$ его первых $n$ слагаемых. При этом очень важен ответ на вопрос о том, насколько величина $s_n$ при данном $n$ близка к сумме ряда, или, как иногда говорят, вопрос о «скорости сходимости» величин $s_n$ к сумме ряда.

Различают ряды числовые, членами которых являются числа (например, все ряды (2)–(5)), и функциональные, членами которых являются функции, например,  $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$Если в функциональном ряде переменной $x$ придать числовое значение, то такой ряд превращается в числовой. Например, ряд (5) получается из функционального ряда $$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots$$при $x=1$. Когда идёт речь о сходимости ряда, то имеют в виду сходимость числового ряда, заданного непосредственно или получающегося из функционального ряда при тех или иных значениях переменной. Решение многих задач в математике и её приложениях значительно упрощается, если рассматриваемые функции представлять в виде рядов, члены которых являются простейшими функциями. При выполнении некоторых условий математические операции над рядами (сложение, умножение, предельный переход, почленное дифференцирование и интегрирование) проводятся по тем же простым правилам, что и одноимённые операции над конечными суммами.

Числовые ряды

Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность $\{s_n\}^{\infty}_{n=1}$ его частичных сумм; в этом случае

$$\lim\limits_{n\to\infty}s_n=s$$ называется суммой ряда и пишут $$s=\sum_{n=1}^{\infty}u_n.$$Таким образом, обозначение (1) применяется как для самого ряда, так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Пример сходящегося ряда даёт ряд (2) для любого $|q| < 1$, этот же ряд при любом $|q| \geqslant 1$ даёт пример расходящегося ряда, в частности, при $q=–1$ этот ряд есть $$1-1+1-1+\ldots,$$частичные суммы последнего ряда принимают всего два значения $0$ и $1$.

Если ряд (1) и ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}v_n \tag{6}$$сходятся, то сходится и ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n),$$ называемый суммой рядов (1) и (6), и его сумма равна сумме данных рядов. Если ряд (1) сходится и $λ$ – комплексное число, то ряд  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} λu_n,$ называемый произведением ряда на число $λ$, также сходится и $$\sum_{n=1}^{\infty} λu_n=λ\sum_{n=1}^{\infty} u_n.$$

Условие сходимости ряда, не использующее величины его суммы, даёт критерий Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого $ε > 0$ существовало такое число $n_ε$, что при любом натуральном $n > n_ε$ и любом целом $p \geqslant 0$ выполнялось неравенство $\displaystyle\left| \sum_{k=n}^{n+p}u_k \right| < ε.$ Отсюда следует, что если ряд (1) сходится, то $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$. Обратное неверно: общий член гармонического ряда $$\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots$$стремится к нулю, однако этот ряд расходится.

В теории рядов большую роль играют ряды с неотрицательными членами. Для того чтобы такой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Для рядов с неотрицательными членами имеются специальные признаки сходимости.

Интегральный признак сходимости: если функция $f(x)$ определена при всех $x \geqslant 1$, неотрицательна и убывает, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\tag{7}$$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $$\int\limits_{1}^{\infty} f(x)\,dx.$$С помощью этого признака сходимости легко устанавливается, например, что ряд $$\displaystyle 1+\frac{1}{2^α}+\frac{1}{3^α}+\ldots+\frac{1}{n^α}+\ldots$$ сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $α\leqslant 1$.

Признак сравнения: если для двух рядов (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная $c > 0$, что $0 \leqslant u_n\leqslant cv_n$, то из сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) – расходимость ряда (6). Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^\alpha u_n=c,\qquad u_n ⩾ 0,$$то при $α > 1$ и $0 \leqslant c <+ \infty$ ряд (1) сходится, а при $\alpha\leqslant 1$ и $0<c\leqslant+\infty$ – расходится.

Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения.

Признак Д’Аламбера: если существует $$\lim\limits_{n\to\infty}(u_{n+1}/u_n)=c,\quad u_n > 0,$$то при $c < 1$ ряд (1) сходится, а при $c > 1$ – расходится.

Признак Коши: если существует $$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n)^{1/n}=c,\quad u_n ⩾ 0,$$то при $c < 1$ ряд (1) сходится, а при $c > 1$ – расходится.

При $c=1$ как в случае признака Д’Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся, и расходящиеся ряды.

Важный класс рядов составляют абсолютно сходящиеся ряды: ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|.$$

Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится. Ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{2/3}}$$абсолютно сходится, а ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$$сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся рядов и произведение абсолютно сходящегося ряда на число являются абсолютно сходящимися рядами. На абсолютно сходящиеся ряды наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть $$\sum_{n=1}^{\infty} u^*_n\tag{8}$$– ряд, состоящий из тех же членов, что и ряд (1), но взятых в другом порядке. Если ряд (1) сходится абсолютно, то ряд (8) также абсолютно сходится и его сумма совпадает с суммой ряда (1). Если ряды (1) и (6) абсолютно сходятся, то ряд, полученный из всевозможных попарных произведений $u_mv_n$ членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм рядов (1) и (6), т. е. абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.

Ряды, сходящиеся не абсолютно, называют условно сходящимися, для них утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперёд заданную сумму, или расходящийся ряд. Примером условно сходящегося ряда может служить ряд  $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots= \ln 2 = 0.693\ldots\,.$$Если в этом ряде переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный: $$\displaystyle 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\ldots\,,$$то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся рядам. Например, признак Лейбница: если $u_n \geqslant n_{n+1} > 0$ для всех $n \geqslant 1$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} u_n=0$, то знакочередующийся ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n \tag{9}$$сходится. Более общие признаки можно получить для рядов вида $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n . \tag{10}$$

Признак Абеля: если последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонна и ограничена, а ряд  $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$$сходится, то ряд (10) также сходится.

Признак Дирихле: если последовательность $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$$ограничена, то ряд (10) сходится.

Иногда рассматриваются ряды вида $$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} u_n.$$

Такой ряд называют сходящимся, если сходятся ряды  $$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n \quad\text{и}\quad \sum_{n=1}^{\infty}u_{-n},$$сумма этих рядов называется суммой исходного ряда. Более сложную структуру имеют т. н. кратные ряды, т. е. ряды вида $$\sum_{n_1,n_2,...,n_k=1}^{\infty} u_{n_1,n_2,...,n_k},$$где $u_{n_1,n_2,...,n_k}$ – заданные числа, занумерованные $k$ индексами $n_1,\,n_2,\ldots,\,n_k$, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие ряды этого типа – двойные ряды ($k=2$).

Для некоторых рядов удаётся получить простые формулы или оценки их остатков $r_n=s-s_n$, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью рядов. Например, для геометрической прогрессии (2) $$r_n=\frac{q^n}{1-q},\,\, \, \, \,|q| < 1,$$для ряда (7) при сделанных предположениях $$\int\limits_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx < r_n < \int\limits_{n}^{\infty} f(x)\,dx,$$а для ряда (9) $$|r_n| ⩽ u_{n+1}.$$

С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося ряда. В математике и её приложениях используются не только сходящиеся, но и расходящиеся ряды. Для последних вводятся более общие понятия суммы ряда.

Функциональные ряды

Понятие ряда естественным образом обобщается на случай, когда членами ряда являются функции $u_n=u_n(x)$ (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определённые на некотором множестве $E$. В этом случае ряд  $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x),\quad x \in E, \tag{11}$$называют функциональным рядом. Если этот ряд сходится в каждой точке множества $E$, то он называется сходящимся на множестве $E$, и множество $E$ называется областью сходимости. Например, ряд $$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_n}{n!}$$сходится на всей комплексной плоскости.

Сумма сходящегося ряда непрерывных, например на некотором отрезке, функций необязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные ряды переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости рядов. Сходящийся ряд (11) называют равномерно сходящимся на множестве $E$, если во всех точках $E$ отклонения частичных сумм ряда $$\displaystyle s_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty} u_k(x)$$от его суммы $$\displaystyle s(x)=\sum_{k=1}^{\infty} u_k(x)$$при достаточно больших числах $n$ не превышают одной и той же сколь угодно малой величины; точнее, каково бы ни было наперёд заданное число$\varepsilon > 0$, существует такое число $n_\varepsilon$, что $$\left|s(x)-s_n(x)\right|<\varepsilon$$для всех $n > n_\varepsilon$ и всех точек $x∈E$. Это условие равносильно тому, что $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in E}|s(x)-s_n(x)|=0.$$Например, ряд $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}(x-1)$$равномерно сходится на отрезке $[0, q]$ при $0 < q < 1$ и не сходится равномерно на отрезке $[0, 1]$. Для того чтобы ряд (11) равномерно сходился на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $ε > 0$ существовало такое число $n_\epsilon$, что для всех $n > n_ε,\ p \geqslant 0$ и всех точек $x∈E$ выполнялось неравенство $$|u_n(x)+...+u_{n+p}(x)| < \varepsilon$$(критерий Коши).

Если существует такой сходящийся числовой ряд $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n,$$что $|u_n(x)| \leqslant a_n$, для всех $x∈E$, $n=1,2,\ldots,$ то ряд (11) равномерно сходится на $E$ (признак Вейерштрасса).

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося ряда интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и ряд можно интегрировать почленно. Если последовательность частичных сумм ряда интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой функции равен сумме ряда из интегралов от членов ряда. Интегрируемость в этих утверждениях понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования ряда с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке ряда (11) дифференцируемы на нём и ряд из их производных сходится равномерно, то сумма ряда также дифференцируема на этом отрезке и ряд можно дифференцировать почленно.

Понятие функционального ряда обобщается и на случай кратных рядов. В различных разделах математики и её приложениях широко используются разложения функций в функциональные ряды, прежде всего в степенные ряды и тригонометрические ряды.

Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций, вычисления и оценок интегралов, решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных). Мощным методом исследования является гармонический анализ, основанный на представлении периодических и почти периодических функций рядами Фурье. См. также асимптотический ряд, ряд Лорана, ряд Тейлора.