Операционное исчисление
Операцио́нное исчисле́ние, один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью простых правил решать сложные задачи. Операционное исчисление применяется в автоматике, механике, электротехнике. В основе операционного исчисления лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) другими функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно изображение – функция, получаемая из данной с помощью преобразования Лапласа). При такой замене оператор интерпретируется как алгебраическая величина, вследствие чего интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда других задач математического анализа сводится к решению более простых алгебраических задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой задаче решения алгебраического уравнения: из алгебраического уравнения находят изображение решения данного дифференциального уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц «оригинал – изображение».
Для развития операционного исчисления большое значение имели работы О. Хевисайда. Он предложил (1892) формальные правила обращения с оператором и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь операционным исчислением, Хевисайд решил ряд важных задач электродинамики, однако операционное исчисление в его работах не получило математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными.
Строгое обоснование операционного исчисления было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция , , переходит в функцию комплексного переменного , то производная переходит в функцию , а интеграл переходит в функцию , т. е. оператор дифференцирования переходит в оператор умножения на переменную , а интегрирование сводится к делению на . В следующей краткой таблице даны ещё несколько соответствий.
Оригинал | Изображение |
Пример. Найти с помощью операционного исчисления решение линейного дифференциального уравнения при начальных условиях Переходя от искомой функции и данной функции к их изображениям и (последняя берётся из таблицы) и применяя формулу для изображения производной, получают алгебраическое уравнение или Отсюда (опять по таблице) Имеются различные обобщения операционного исчисления. Существует многомерное операционное исчисление, основанное на теории кратных интегралов. Созданы операционные исчисления для дифференциальных операторов, отличных от оператора , например для оператора .