Ме́ра мно́жества, понятие, обобщающее длину отрезка, площадь плоской фигуры и объём тела на множества более общей природы. Примером меры множества является мера Лебега (введённая А. Лебегом, 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега $m(Δ)$ любого квадрата $Δ$ полагают равной его площади в тех или иных единицах измерения. Затем заданное множество $А$ покрывают конечным или бесконечным набором квадратов $Δ_1, Δ_2,...;$ нижнюю грань чисел $\sum_{n=1}^\infty m(Δ_n)$, взятую по всевозможным покрытиям множества $А$, называют верхней (внешней) мерой $m^*(А)$ множества $А$. Нижняя (внутренняя) мера $m_*(А)$ множества $А$ определяется как разность $m(Δ)-m^*(Ā)$, где $Δ$ – какой-либо квадрат, содержащий множество $А$, и $Ā$ – множество всех точек квадрата $Δ$, не содержащихся в $А$. Множества $А$, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение $m(А)$ верхней и нижней мер – мерой Лебега множества $А$. Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле, измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.

Основные свойства меры Лебега состоят в том, что мера любого множества неотрицательна и мера объединения $A=\bigcup_{n-1}^\infty A_n$ конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств $A_1, A_2, ...$ равна сумме их мер, т. е. $m(A)=\sum_{n=1}^\infty m(A_n)$.

Класс множеств, измеримых по Лебегу, достаточно широк; в частности, измеримыми по Лебегу являются множество $А$ рациональных точек интервала $(0, 1)$ и множество В иррациональных точек того же интервала. Эти множества сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале $(0, 1)$, т. е. между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества $А$, так и точки множества $В$; в то же время они резко различаются по мере, т. к. $m(А)=0$, а $m(В)=1$. Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (1898).

Развитие ряда разделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям понятия меры множества – созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом меру множества определяют аксиоматически. Пусть $U$ – произвольное множество и $\mathfrak {M}$ – некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию $μ(A)$, определённую для всех $А$, входящих в $\mathfrak {M}$, называют мерой, если она вполне аддитивна, т. е. если для любой последовательности непересекающихся множеств $A_1, A_2,...,$ входящих в $\mathfrak {M}$, сумма $А$ которых также входит в $\mathfrak {M}$, имеет место равенство $μ(A)=\sum_{n=1}^\infty μ(A_n)$, и, кроме того, система $\mathfrak {M}$ удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в $\mathfrak {M}$, называют измеримыми. После того как определена мера $μ$, вводят понятие измеримых (по отношению к $μ$) функций и операцию интегрирования.

Многие основные утверждения теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими изменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное А. Н. Колмогоровым (1933). Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований множества $U$ в себя.