Ме́тод исче́рпывания, метод доказательства, применявшийся математиками древности при определении площадей и объёмов.

Одна из типичных схем доказательств при помощи метода исчерпывания может быть изложена в современных обозначениях следующим образом. Для определения значения неизвестной величины $A$ можно построить некоторую последовательность величин $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ такую, что $$C_n < A \tag1$$для всех $n$, и указать величину $B$ такую, что $$C_n < B \tag2$$для всех $n$. При этом последовательность $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ и величина $B$ должны быть такими, что справедливы неравенства $$K(A - C_n) < D, \tag3$$$$K(B - C_n) < D \tag4$$при любом целом $K$ для достаточно больших $n$, где $D$ – постоянная величина. В этом случае $A = B$.

С современной точки зрения для перехода от неравенств (3) и (4) к равенству $A = B$ достаточно заметить, что в силу условий $(1)$ – $(4)$ $$\begin{gathered}\lim_{n \to \infty} (A - C_n) = 0, \lim_{n \to \infty} (B - C_n) = 0, \\ A = \lim_{n \to \infty} C_n = B. \end{gathered}$$Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств $A < B$, $B < A$. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса – Архимеда (она состоит в том, что для любых положительных величин $a$ и $b$ таких, что $a < b$, существует целое число $m$ такое, что $ma>b$) устанавливали, что для $R = B - A$ существует такое $K$, что $KR > D$, и в силу условия (1) получали неравенства $$K(B - C_n) > K(B - A) > D,$$что противоречит $(4)$. Аналогично опровергалось другое предположение и оставалось только принять равенство $A = B$.

Введение метода исчерпывания вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, и с особенным искусством и разнообразием – Архимед. Например, для определения площади сегмента, заключённого между параболой и пересекающей её прямой (рис.), Архимед строил площади $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$, «исчерпывающие» при их постепенном нарастании эту площадь. При этом $$\begin{gathered}C_2 = C_1 + \frac14C_1,\\C_3 = C_1 + \frac14C_1 + \frac{1}{16}C_1,\\C_n = C_1 + \frac14C_1 + ... + \frac{1} {4^{n - 1}}C_1, ... . \end{gathered}$$Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу $$A = \lim_{n \to \infty} C_n = \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \ldots\right)C_1 = \frac{4}{3}C_1,$$ Архимед с помощью геометрических соображений доказал, что при любом $n$ справедливо неравенство $A - C_n < C_1 / 4^{n - 1}$, для величины $B = 4C_1/3$ установил, что $$B - C_n = \frac{1}{3 \cdot 4^{n - 1}}C_1,$$и, следуя изложенному выше, доказал, что $A = B = 4C_1/3$.