Непреры́вная дробь, цепная дробь, одна из форм представления чисел и функций. Непрерывной дробью называется выражение вида $$\begin{matrix} a_0 + \cfrac{1}{a_1+ \cfrac{1}{a_2+ \cfrac{1}{a_3+}}} & & & \\ & \ddots & & \\ & & \cfrac{1} {a_n+} & \\ & & & \ddots, \end{matrix}\tag1$$где $a_0$ – целое число, $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ – натуральные числа, называемые неполными частными или элементами данной непрерывной дроби. К непрерывной дроби, представляющей число $α$, можно прийти, записывая это число в виде $α=a_0+1/α_1$, где $a_0$ – целое число и $0<1/α_1<1$, затем записывая в таком же виде $α_1$ и т. д. Число элементов непрерывной дроби может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого непрерывная дробь называется конечной или бесконечной. Непрерывная дробь $(1)$ часто символически записывают как

$$\begin{matrix}[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots] \end {matrix}\tag2$$(бесконечная непрерывная дробь)

или$$\begin{matrix}[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_n] \end {matrix}\tag3$$(конечная непрерывная дробь).

Конечная непрерывная дробь всегда представляет собой рациональное число. И наоборот: каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной непрерывной дроби (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы $a_n≠ 1$. Непрерывную дробь $[a_0; a_1,a_2,\dots,a_k]$, $k⩽n$, записанную в виде несократимой дроби $p_k/q_k$, называют подходящей дробью порядка $k$ данной непрерывной дроби $(2)$. Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами$$p_{k+1}=a_{k+1}p_k+p_{k-1},\\ q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1},$$которые служат основой всей теории непрерывных дробей. Из этих формул вытекает важное соотношение $$p_kq_{k+1}-q_kp_{k+1}=±1.$$Для каждой бесконечной непрерывной дроби существует предел$$\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{p_k}{p_k}=\alpha,$$называемый значением данной непрерывной дроби. Каждое иррациональное число $α$ является значением единственной бесконечной непрерывной дроби, получаемой разложением $α$ указанным выше образом, например: $(e-1)/2=[0;1,6,10,14,18,\dots]$; $\sqrt{2}=[1;2,2,\dots]$, квадратичные иррациональности разлагаются в периодические непрерывные дроби.

Основное значение непрерывных дробей для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа $α$, т. е. для любой другой дроби $m/n$, знаменатель которой не превосходит $q_k$, имеет место неравенство $∣nα-m∣>∣q_kα-p_k∣$; при этом $∣q_kα-p_k∣< 1/q_{k+1}$. Нечётные подходящие дроби больше $α$, а чётные – меньше. При возрастании $k$ нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения $22/7$, $355/113$ для числа $π$ суть подходящие дроби для разложения $π$ в непрерывную дробь. С помощью непрерывных дробей было получено первое доказательство иррациональности чисел $e$ и $π$ (немецкий математик И. Ламберт, 1766). Ж. Лиувилль доказал (1844), что для любого алгебраического числа $α$ степени $n$ можно указать такую постоянную $λ$, что для любой дроби $x/y$ выполняется неравенство $∣α-x/y∣> λ/y^n$. С помощью непрерывных дробей можно построить числа $α$ такие, что $∣α-p_k/q_k∣$ делается меньше $λ/q_k$, какую бы постоянную $λ$ мы ни взяли. Так, используя непрерывные дроби, можно строить трансцендентные числа.

Недостатком непрерывных дробей является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практически невозможности этих действий; например, зная элементы двух непрерывных дробей, нельзя сколь-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.

Непрерывные дроби встречаются в 16 в. у итальянского математика Р. Бомбелли. В 17 в. непрерывные дроби изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств непрерывных дробей открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. В 18 в. большой влад в теорию непрерывных дробей внёс Л. Эйлер. В 19 в. П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и др. применяли непрерывные дроби, элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов.