Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ $X$, математическое ожидание случайной величины $e^{itX}$. Таким образом,$$f_X(t)=\mathsf{E}e^{itX},$$ где $i$ – мнимая единица, а $t$ (аргумент характеристической функции $f_X(t)$) – произвольное действительное число. Характеристическую функцию любой случайной величины $X$ можно вычислить, используя её функцию распределения $F_X(x)=F(x)$$$f_x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF(x),$$где интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Поэтому можно сказать, что характеристическая функция случайной величины есть преобразование Фурье – Стилтьеса её функции распределения.

Свойства характеристической функции:

• каждой случайной величине соответствует определённая характеристическая функция $f_X(t)$;

• распределение вероятностей для $X$ однозначно определяется по характеристической функции $f_X(t)$;

• при сложении независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются;

• при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют характеристические функции, мало отличающиеся друг от друга, и обратно, близким характеристическим функциям соответствуют случайные величины с близкими распределениями.

Указанные свойства определяют огромное практическое значение характеристических функций в теории вероятностей; в частности, на них основано применение характеристических функций при доказательстве предельных теорем.

Впервые аппарат, по существу равнозначный применению характеристических функций, использован П.-С. Лапласом (1812), но вся сила метода характеристических функций была показана А. М. Ляпуновым (1900), получившим с его помощью свою известную теорему.

Иногда характеристической функцией подмножества $A$ множества $M$ (индикатором $A$) называют функцию $f_A(x)$, равную $1$ при $x∈A$ и равную $0$ при $x∈M\setminus A$.