Многочле́н (полином), выражение вида $$\sum A_{k_1k_2...k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m},$$где $x_1, x_2,...,x_m$ – переменные, $A_{k_1k_2...k_m}$ (коэффициенты многочлена), $k_1,k_2,...,k_m$ (показатели степеней, целые неотрицательные числа) – постоянные. Слагаемые вида $A_{k_1k_2...k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ называются членами многочлена. Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат некоторому полю, например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене – степени с нулевыми показателями. В случае когда многочлен имеет в точности один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом.

Два члена многочлена называются подобными, если для них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены $A' x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$и $A'' x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ можно заменить одним $(A'+A'') x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ (приведение подобных членов). Два многочлена называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих многочленов равны нулю. В последнем случае многочлен называется тождественным нулём и обозначается знаком $0$. Многочлен от одного переменного $x$ можно всегда записать в виде $$P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{x-1}+...+a_{n-1}x+a_n=\sum_{k=0}^na_kx^{n-k},$$ где $a_0, a_1,...,a_n$ – коэффициенты, $a_n$ называется свободным членом многочлена. Корнем многочлена $P_n(x)$ с коэффициентами из некоторого поля называется решение алгебраического уравнения $P_n(x)= 0$. Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Сумму показателей степеней какого-либо члена многочлена называют степенью этого члена. Если многочлен – не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами имеется один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью многочлена. Для тождественного нуля понятие степени не определяется. Многочлен нулевой степени сводится к одному постоянному, не равному нулю члену. Примеры: $xyz+x+y+z$ – многочлен 3-й степени, $2x+y-z+1$ – многочлен 1-й степени (линейный многочлен), $5x_2-2x_2-3x_2$ не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. Многочлен, все члены которого имеют одну и ту же степень, называется однородным многочленом или формой; формы 1-й, 2-й и 3-й степеней называются соответственно линейными, квадратичными, кубическими, а по числу переменных (два, три) – бинарными, тернарными (например, $x^2+y^2+z^2-xy-yz+xz$ есть тернарная квадратичная форма).

Выполняя над многочленами действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, снова получают многочлен. Таким образом, совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля образует кольцо – кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение многочленов, не равных $0$, не может дать $0$.

Если для двух многочленов одного переменного $P(x)$ и $Q(x)$ можно найти такой многочлен $R(x)$, что $P=QR$, то говорят, что $P$ делится на $Q$. Многочлен $Q$ называется делителем, а $R$ – частным; при этом степени $Q$ и $R$ меньше степени $P$. Если $P$ не делится на $Q$, степень которого меньше степени $P$, то можно найти такие многочлены $R(x)$ и $S(x)$, что $P=QR+S$, причём степень $S(x)$ меньше степени $Q(x)$ (деление с остатком). Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель $P$ и $Q$, т. е. такой делитель $P$ и $Q$, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Алгоритм Евклида). Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае – неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с простыми числами в кольце целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение $PQ$ делится на неприводимый многочлен $R$, а $P$ на $R$ не делится, то $Q$ делится на $R$. Каждый многочлен степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен $x^4+1$, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя $x^4+1=(x^2-x\sqrt{2}+1)(x^2+x\sqrt{2}+1)$ в поле действительных чисел и на четыре множителя $$x^4+1=\left ( x-\frac{1-i}{\sqrt{2}} \right )\left ( x-\frac{1+i}{\sqrt{2}} \right )\left ( x+\frac{1-i}{\sqrt{2}} \right )\left ( x+\frac{1+i}{\sqrt{2}} \right )$$в поле комплексных чисел. Вообще, каждый многочлен от одного переменного $x$ разлагается в поле действительных чисел на множители 1-й и 2-й степени, в поле комплексных чисел – на множители 1-й степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого утверждать нельзя; например, многочлен $x^3+yz+z^3$ неприводим в любом числовом поле.

Если переменным $x_1,x_2,...,x_m$ придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то многочлен также получит определённое числовое значение. Т. о., каждый многочлен можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; она является целой рациональной функцией, т. е. функцией, которая получается из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) с помощью выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций, где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух многочленов.

К числу важнейших свойств многочленов относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить многочленом (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, позволяет приближённо выражать многочленами любую связь между величинами, приближения достаточно широких классов функций многочленами дают также отрезки ряда Тейлора.

Специальные системы многочленов – ортогональные многочлены используются в теории приближений как средство представления функций в виде рядов.

С точки зрения теории функций комплексного переменного многочлены являются простейшим классом целых функций. Многочлен степени $n$ отображает расширенную комплексную плоскость на себя так, что каждая точка образа $w=P_n(z)$ имеет $n$ прообразов $z_1,z_2,...,z_n$.