Лине́йные дифференциа́льные уравне́ния, дифференциальные уравнения вида

$$y^{(n)}+p_1(x)у^{(n–1)}+ \ldots +p_n(x)y=f(x ),\tag1$$где $y=y(x)$ – искомая функция, $y^{(n)}, y^{(n–1)}, \ldots, y'$ – её производные, a коэффициенты $p_1(x),p_2(x),\ldots,p_n(x)$ и свободный член $f(x)$ – заданные функции. В уравнение (1) искомая функция $y$ и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если $f(x)≡0$, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Общее решение $y_0=y_0(x)$ однородного линейного дифференциального уравнения при условии непрерывности его коэффициентов выражается формулой $y_0=C_1y_1(x)+С_2у_2(х)+\ldots + C_ny_n(x)$, где $C_1, C_2, \ldots, C_n$ – произвольные постоянные и $y_1(x), y_2(х), \ldots, y_n(x)$ – линейно независимые частные решения (их совокупность называется фундаментальной системой решений). Критерием линейной независимости решений служит отличие от нуля (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (вронскиана; назван по имени польского учёного Ю. Вроньского)

$$W(x)= \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \ldots & y_n(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) & \ldots & y'_n(x)\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots\\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \ldots & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.\tag2$$Общее решение $y=y(x)$ неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) имеет вид $y=y_0+Y$, где $y_0 = y_0(x)$ – общее решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения и $Y=Y(x)$ – какое-либо частное решение данного неоднородного линейного дифференциального уравнения. Функция $Y(x)$ может быть найдена по формуле

$$\displaystyle Y(x)=\sum_{k=1}^{n}y_k(x) \int_{x_0}^{x}W_k(t)\text{exp}\left (\int_{x_0}^{t}p_k(u)du\right )f(t)dt,$$где $y_k(x)$ – решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения, и $W_k(x)$ – алгебраическое дополнение элемента $y_k^{(n–1)}(x)$ в определителе (2) Вроньского.

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны, т. е. $p_k(x)=a_k$, $k= 1,2,\ldots,n$, то общее решение однородного уравнения выражается формулой

$$\displaystyle y_0=\sum_{k=1}^{n} \sum_{s=0}^{n_k-1}x^se^{\alpha_kx}(C_{ks}\text{cos}\beta_kx + D_{ks}\text{sin}\beta_kx),$$где $α_k+iβ_k$, $k= 1,2,\ldots,n$, – корни характеристического уравнения $λ^n+a_1λ_{n-1}+\ldots+ a_n = 0$, $n_k$ – кратности этих корней, $C_{ks}$, $D_{ks}$ – произвольные постоянные, $i$ – мнимая единица.

Пример. Для линейного дифференциального уравнения $y'''+y=0$ характеристическое уравнение имеет вид $λ^3+ 1= 0$. Его корнями являются числа $\lambda_1=-1,\;\lambda_2=1|2+i\sqrt3/2,\; \lambda_3=1/2-i\sqrt3/2$. Поэтому общее решение данного линейного дифференциального уравнения есть $$y=C_1e^{-x}+e^{x/2}(C_2\: \text{cos}\:x\sqrt3/2+C_3\:\text{sin}\:x\sqrt{3/2}),$$ где $C_1, C_2, C_3$ – произвольные постоянные.

Системы линейного дифференциального уравнения имеют вид

$$\displaystyle\frac{dy_j}{dx} = \sum_{k=1}^np_{jk}(x)y_k + f_j(x),\tag3$$

$j=1, 2,..., n$, где $p_{jk}(x)$ и $f_j(x)$, $j$, $k=1,2,\ldots,n$, – заданные функции.

Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений, получаемой из системы (3), если $f_j(x)\equiv 0$ для всех $j= 1,2,\ldots,n$, имеет вид

$$\displaystyle y_j=\sum_{k=1}^nC_ky_{jk}(x),\; j=1,2,\ldots,n,$$

где $y_{j1},y_{j2},\ldots,y_{jn}$ – линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель $|y_{jk}(x)|$ отличен от нуля хотя бы в одной точке).

В случае постоянных коэффициентов $p_{jk}(x)=a_{jk}$ частные решения однородной системы следует искать в виде:

$$y_j(x) = (A_{j0}+A_{j1}x +\ldots +A_{jn_k-1} x^{n_k-1})e^{\lambda_j}x,$$

$j= 1,2,\ldots,n,$ где $A_{js}$ – постоянные, a $λ_k$ – корни характеристического уравнения

$$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$$и $n_k$ – кратности этих корней.

Для решения линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.