Тео́рия относи́тельности (релятивистская теория), описывает движение тел и пространственно-временны́е отношения при произвольных скоростях движения, в том числе близких к скорости света. Термин «теория относительности» введён М. Планком в 1906 г.

Различают специальную теорию относительности (СТО), или частную теорию относительности, описывающую явления в той области пространства, где полями тяготения можно пренебречь, и общую теорию относительности (ОТО), которая учитывает гравитационные поля. СТО сформулирована А. Эйнштейном в 1905 г. при объяснении неудачных попыток обнаружить движение Земли относительно мирового эфира, колебания которого, как было принято думать, проявляют себя как электромагнитные волны. Концепция светоносного эфира, выдвинутая в 17 в. Р. Декартом, получила новый импульс в 19 в. в результате создания Дж. Максвеллом электромагнитной теории, в которой были получены уравнения, описывающие электромагнитные волны. Однако уравнения Максвелла были несовместимы с принципом относительности Галилея, и хотя преобразования Лоренца, заменяющие преобразования Галилея в современной теории, и были известны до работы Эйнштейна, многие физики, в том числе Х. А. Лоренц и А. Пуанкаре, были склонны объяснять ненаблюдаемость эфира особой выделенностью системы координат, в которой эфир покоится. Эйнштейн предложил отказаться от эфира, признав теорию Максвелла самодостаточной для объяснения природы света и выдвинув постулат независимости скорости света от движения источника. Это потребовало отказа от абсолютности времени и привело к представлению о пространстве-времени как о едином многообразии (Г. Минковский). СТО основана на принципе относительности и независимости физических явлений от выбора инерциальной системы отсчёта (ИСО).

СТО как система общих представлений о пространстве и времени означала распространение её законов и на явления, в то время ещё не изученные (например, слабое и сильное взаимодействия), что впоследствии было подтверждено экспериментами в физике высоких энергий. Предложенная для описания макроскопических явлений теория оказалась справедливой и в микромире, подчиняющемся законам квантовой механики.

В 1907–1915 гг. А. Эйнштейн создал релятивистскую теорию тяготения (ОТО). Её бóльшая «общность» состоит в допущении произвольных, не только инерциальных, систем отсчёта. Это позволило описать гравитацию на основе принципа эквивалентности – локальной неразличимости гравитационных сил и сил инерции, возникающих в неинерциальных системах отсчёта. При учёте гравитационного взаимодействия ИСО могут реализоваться лишь локально в малой области пространства и на малых промежутках времени, когда гравитационное поле можно считать постоянным и однородным. Глобально пространство-время гравитирующей системы является псевдоримановым; для него не обращается в нуль тензор кривизны Римана – Кристоффеля (который тождественно равен нулю в СТО). В микромире роль ОТО незначительна, но в явлениях космического масштаба эта теория становится определяющей.

Система отсчёта

В физике система отсчёта представляет собой систему координат, связанную с некоторыми базовыми телами, которая позволяет однозначно описать положение физических объектов – точечных частиц, протяжённых тел, непрерывных сред или полей – и процедуры измерения времени, по отношению к которому рассматривается их движение. Определение времени связано с заданием некоторого стабильного периодического процесса. В современной метрологии расстояния определяются с помощью световых сигналов, скорость которых постоянна и известна с высокой точностью. В качестве часов используют атомные часы, в которых периодичность реализуется на микроскопическом уровне и определяется законами квантовой механики. В СТО необходимую синхронизацию часов во всех точках пространства осуществляют с помощью световых сигналов.

Объект, не подверженный внешним воздействиям, движется относительно ИСО равномерно и прямолинейно. Любая система отсчёта, движущаяся относительно данной ИСО равномерно и прямолинейно, также является ИСО, причём все ИСО равноправны. Предполагается также, что в ИСО пространство однородно и изотропно, что обеспечивает существование системы ортогональных декартовых координат $x^i$ (или $x, y, z$). Постулируемые свойства ИСО тесно увязаны с видом динамических уравнений рассматриваемой системы. В механике такую роль выполняет 2-й закон Ньютона. Эквивалентность всех ИСО обеспечена, только когда преобразования координат и времени, описывающие переход между ними, будут сохранять форму динамических уравнений. Такое определение ИСО особенно полезно при переходе к уравнениям электродинамики.

Физическая реализация ИСО возможна лишь приближённо, если можно пренебречь гравитацией. Это можно сделать в малой области пространства и на малых промежутках времени, переходя в свободно падающую систему отсчёта. Спутник на околоземной орбите, стабилизированный относительно вращения с помощью гироскопов, является ИСО, защищённой от гравитационного поля не только Земли, но и Солнца и Галактики в той мере, в которой гравитационное поле внутри него можно считать однородным. Система отсчёта, связанная с Землёй, свободно падает в поле Солнца, но она вращается и подвержена гравитации самой Земли. Для экспериментов в физике элементарных частиц эту систему можно рассматривать как ИСО, поскольку влияние макроскопической гравитации на явления микромира пренебрежимо малó.

Принцип относительности в нерелятивистской механике

Утверждение о равноправии всех ИСО сформулировано Г. Галилеем в 16 в. Система уравнений ньютоновской механики для материальных точек массой $m_a(a=1, \dots, N)$, движущихся вдоль траекторий $\boldsymbol r_a(t)$ и взаимодействующих посредством парных сил, задаваемых потенциалом $U(\boldsymbol r_a-\boldsymbol r_b)$, инвариантна относительно преобразований Галилея $\boldsymbol r_a \to \boldsymbol r'_a=\boldsymbol r_a-\boldsymbol V t$, описывающих переход к ИСО, движущейся относительно данной ИСО с постоянной скоростью $\boldsymbol V$. При этом ход часов предполагается одинаковым во всех ИСО (с точностью до сдвига $t'=t+t_0$, т. е. предполагается независимая установка начала отсчёта времени $t$). Инвариантность уравнений механики относительно преобразований Галилея составляет математическое содержание принципа относительности в механике Ньютона. Полная 10-параметрическая группа симметрии (группа Галилея) содержит также сдвиги и повороты координатных осей. При преобразованиях Галилея скорости частиц и скорость системы складываются по правилу параллелограмма, т. е. нерелятивистское пространство скоростей евклидово.

Уравнения нерелятивистской механики основаны на концепции дальнодействия, означающей, что сила, действующая на каждую частицу со стороны других частиц, определяется их положением в тот же момент времени. Именно поэтому время в нерелятивистской теории является абсолютным. Однако это не согласуется с представлением о взаимодействии зарядов в электродинамике. Оказалось, что сила, действующая на движущийся заряд со стороны других зарядов, определяется значениями электрического и магнитного полей в данной точке, которые зависят от положений и скоростей других зарядов в предшествовавшие моменты времени, так что концепция дальнодействия не работает. Но представления об ИСО в электродинамике можно сохранить, изменив форму преобразований координат при переходе от одной ИСО к другой, в частности отказавшись от абсолютности времени и перейдя к преобразованиям Лоренца.

Уравнения Максвелла и группа Лоренца

СТО возникла при попытке использовать принцип относительности для электромагнитных явлений, суть которых Дж. Максвелл выразил в форме системы дифференциальных уравнений (уравнения Максвелла) для напряжённости электрического поля $\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)$ и магнитной индукции $\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)$. Эти величины определяются скалярной плотностью электрического заряда $\rho(\boldsymbol r,t)$ и векторной плотностью электрического тока $\boldsymbol j(\boldsymbol r,t)$: $$\text{div} \boldsymbol E=4 \pi \rho, \text{rot}\boldsymbol B=(4 \pi/c)\boldsymbol j+\partial \boldsymbol E/c \partial t \tag 1$$$$\text{div} \boldsymbol B=0, \text{rot} \boldsymbol E=-\partial \boldsymbol B/c \partial t \tag 2$$(в системе СГС).

Уравнения (1) содержат источники поля; первое из них выражает закон Кулона взаимодействия зарядов, второе – закон Ампера, определяющий магнитное поле, причём последний член с производной от электрического поля был добавлен Дж. Максвеллом, чтобы обеспечить выполнение уравнения непрерывности для плотностей заряда и тока. Первое из уравнений (2) означает отсутствие магнитных зарядов, второе – описывает закон Фарадея электромагнитной индукции. Входящий в уравнения коэффициент имеет размерность скорости и называется электродинамической постоянной, которая, как показывают решения этих уравнений, равна скорости света. Будучи величиной постоянной, она по определению будет таковой во всех ИСО.

По аналогии с ньютоновской механикой ИСО в электродинамике можно определить как класс систем отсчёта, в которых выполняются уравнения Максвелла в форме (1), (2). Так как уравнения Максвелла представляют собой систему уравнений в частных производных, решение которой зависит от источников $\rho$, $\boldsymbol j$ нелокально, то исключается возможность введения парного потенциала взаимодействия зарядов. Это говорит о невозможности реализации в электродинамике принципа относительности в форме преобразований Галилея. Дж. Максвелл считал, что электромагнитные волны переносят эфир, с которым можно связать выделенную ИСО. Однако эфир не был обнаружен, что привело А. Эйнштейна к предположению, что при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея неверны. Тогда отыскание корректной формы преобразований от одной ИСО к другой сводится к поиску преобразований координат и времени, относительно которых уравнения (1), (2) ковариантны (сохраняют свой вид). При этом нужно отказаться от абсолютности времени, поскольку скорость света должна быть постоянной в любой ИСО и, следовательно, не должна складываться со скоростью движения системы отсчёта, чего невозможно добиться в случае абсолютного времени.

В 1904 г. Х. А. Лоренц получил преобразования, носящие его имя (преобразования Лоренца), которые при $V \ll c$ переходят в преобразования Галилея. Современную форму им придали в 1905 г. независимо А. Пуанкаре и А. Эйнштейн. Для удобства сравнения с преобразованиями Галилея преобразования Лоренца можно представить в векторной форме: $$\boldsymbol r'=\boldsymbol r - \boldsymbol Vt+(\gamma-1)[[\boldsymbol r \times \boldsymbol n]\times \boldsymbol n],\quad t'=(t- \boldsymbol r \cdot \boldsymbol V/c^2),\quad \boldsymbol n= \boldsymbol V/V \tag 3,$$где $\gamma=(1-\beta^2)^{–1/2}$ – лоренц-фактор ($\beta=V/c$). При $\beta \ll 1$ эти преобразования переходят в преобразования Галилея. Более простой вид они имеют, когда вектор $\boldsymbol V$ сонаправлен с одной из осей координат, например $Ox$:
$$x'=(x-Vt)\gamma,\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'=(t-Vx/c^2)\gamma \tag 4$$Полная 10-параметрическая группа симметрии уравнений Максвелла, включающая 3 независимых преобразования Лоренца вдоль осей $x, y, z$ типа (4), 3 вращения координатных осей, а также сдвиги начала координат и времени, называется группой Пуанкаре.

А. Эйнштейн, в отличие от Х. А. Лоренца и А. Пуанкаре, понимал лоренцеву симметрию шире, нежели симметрию уравнений электродинамики, придав ей смысл общего свойства пространства и времени и предложив вывод преобразований Лоренца на основании следующих постулатов: 1) существует множество ИСО, в которых все физические явления протекают одинаково (принцип относительности); 2) скорость света одинакова во всех ИСО; она не зависит от скорости движения источников и приёмников; 3) пространство однородно и изотропно; 4) измерение расстояний производится с помощью световых сигналов.

Пространство-время Минковского

Важным шагом к современному пониманию СТО стало введение Г. Минковским в 1908 г. понятия пространства-времени, координатами которого $x^\mu,\mu=0,1,2,3,$ являются 3 пространственные декартовы координаты и момент времени $t$, которому сопоставляется 4-я координата $x^0=ct$. Точки этого пространства называются событиями, а «расстояние» между ними – интервалом. Квадрат четырёхмерного интервала $ds^2$ между бесконечно близкими точками определяется как

$$ds^2=\eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2. \tag 5$$ Преобразования (4) вдоль оси $Ox$ сохраняют квадрат интервала $c^2dt^2-dx^2$ (аналогично и для $Oy$, $Oz$). Пространственные вращения и сдвиги также оставляют инвариантным $ds^2$. Таким образом, группа Пуанкаре – группа изометрии пространства-времени Минковского, называемого плоским пространством-временем. Эта группа является группой симметрий уравнений Максвелла, однако в СТО ей придаётся более широкий смысл как группы преобразований симметрии всех физических законов, в частности уравнений механики.

Движение точечной частицы по траектории $\boldsymbol r(t)$ изображается в пространстве Минковского мировой линией $x^\mu(\tau)$, где $\tau$ – некоторый параметр. Для частиц ненулевой массы, скорость движения которых не может достигать скорости света, в качестве параметра $\tau$ удобно взять интервал $s$, тогда квадрат производной $u^\mu=dx^\mu/ds$, называемой четырёхмерной скоростью, будет равен единице в метрике Минковского. Безмассовые частицы, такие как фотон, движутся со скоростью света в любой ИСО; их мировые линии нельзя параметризовать интервалом, т. к. интервал между любыми двумя положениями фотона равен нулю, как и квадрат четырёхмерной скорости.

В пространстве Минковского существует инвариантная относительно преобразований Лоренца поверхность (световой конус):
$$x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0, \tag 6$$которая делит пространство событий на 3 части. Верхняя часть конуса $(t \gt 0)$ содержит все события, находящиеся в будущем по отношению к событию, принятому за начало $O$ четырёхмерной системы координат. Мировые линии массивных частиц, проходящие через $O$, лежат внутри светового конуса. Область внутри нижней части светового конуса является областью абсолютного прошлого по отношению к точке $O$; эти соотношения хронологии не зависят от выбора той или иной ИСО. Все точки внутри конуса связаны с $O$ интервалом, квадрат которого положителен; такой интервал называется времениподобным.

Область вне светового конуса отвечает событиям, связанным с $O$ интервалом, квадрат которого отрицателен; такой интервал называется пространственноподобным. События в этой области происходят в разных пространственных точках в любой ИСО и являются абсолютно удалёнными от события $O$. Такие события не могут быть причинно связанными.

Сама поверхность светового конуса – геометрическое место мировых линий безмассовых частиц (фронтов электромагнитных волн, световых сигналов), распространяющихся со скоростью $c$. Эта скорость является предельной скоростью любых перемещений реальных физических тел.

Релятивистские эффекты

Парадоксальные эффекты, которые предсказывает СТО, возникают при движении со скоростью, близкой к $c$. Самый известный из них – эффект замедления хода движущихся часов (парадокс близнецов). Часы, движущиеся относительно наблюдателя, идут для него медленнее, чем точно такие же часы у него в руках. Действительно, квадрат интервала, разделяющего два близких положения часов, движущихся со скоростью $\boldsymbol v=d \boldsymbol r/dt$, есть $$ds^2=c^2dt^2-d \boldsymbol r^2=c^2dt^2- \boldsymbol v^2 dt^2=c^2(1-\boldsymbol v^2/c^2)dt^2.$$Относительно другой ИСО, скорость которой совпадает со скоростью часов, часы находятся в покое и, следовательно, $ds^2=c^2dt'^2$. Приравнивая квадраты интервалов, получаем: $$dt'=dt \sqrt{1-v^2/c^2}, \tag 7$$что и доказывает утверждение. Этот эффект можно сформулировать по-другому: один из близнецов, совершающий космическое путешествие, оказывается моложе другого, остающегося на Земле (т. н. парадокс близнецов). Парадоксальным кажется, что в системе отсчёта космонавта движется не он сам, а его компаньон на Земле, но эта система отсчёта неинерциальна (расчёт в рамках ОТО показывает, что эффект действительно имеет место).

Второй эффект – т. н. сокращение Лоренца – Фицджеральда. Пусть линейка, собственная длина которой (в покоящейся ИСО $K'$) равна $l_0$, движется со скоростью $\boldsymbol v$ вдоль оси $Ox$ относительно ИСО $K$. По часам $K$ в некоторый момент времени производятся одновременные измерения координат начала и конца линейки. Тогда $\Delta t=0$ и, cогласно (4), $\Delta x'=\gamma \Delta x$. Обозначая длину линейки, измеренную в $K$, через $l=\Delta x$ и учитывая, что $l_0=\Delta x'$, находим: $l=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}$, т. е. движущаяся линейка кажется короче. Заметим, что в системе $K$ положения начала и конца линейки фиксируются одновременно $(\Delta t=0)$, однако эти события не одновременны по часам $K'$ ($\Delta t' \neq0$). Этот эффект описан в 1889 г. ирландским физиком Дж. Фицджеральдом и дополнен в 1892 г. Х. А. Лоренцем, использовавшим его для объяснения независимости скорости света от движения Земли относительно эфира.

Третий эффект, предсказываемый СТО, – относительность одновременности. Если два разделённых пространственноподобным интервалом события происходят одновременно в движущейся системе отсчёта $K'$, то они будут не одновременны относительно неподвижной системы $K$. При $\Delta t'=0$ из преобразований Лоренца следует $\Delta t=(v/c^2)\Delta x$. Если $\Delta x=x_2-x_1 \gt 0$, то и $\Delta t=t_2-t_1 \gt 0$. Это означает, что для неподвижного наблюдателя первое событие происходит раньше второго ($t_2-t_1$).

Пространство скоростей

Пусть скорость частицы относительно системы $K$ есть $\boldsymbol v=d \boldsymbol r/dt$, а относительно системы $K'$ равна $\boldsymbol v'=d \boldsymbol r'/dt$. Если скорость системы $K'$ направлена вдоль оси $Ox$ системы $K$, то формулы преобразования компонент скорости можно получить, дифференцируя формулы (4): $$v'_x=\frac{v_x-V}{1-\frac{v_xV}{c^2}};\quad v'_{y,z}=\frac{v_{y,z}\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{v_xV}{c^2}}.$$Если $v_x=c (v_y=v_z=0)$, то $v'_x=c$ независимо от $V$, т. е. скорость света одинакова во всех ИСО независимо от движения источника.

Луч света, распространяющийся в системе $K$ под углом $\theta$ к оси $Oy$ $(v_x=c \cos \theta, v_y=c \sin \theta)$, будет виден из системы $K'$ под другим углом $\theta'$:

$$\frac{v'_y}{v'_x}=\text{tg} \theta'=\frac{\sin \theta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{\cos \theta-\frac{V}{c}}.$$Это явление, называемое аберрацией света, хорошо известно в астрономии как годичное изменение углового положения звёзд за счёт изменения направления движения Земли вокруг Солнца.

Если рассматривать относительную скорость двух частиц 1 и 2 как скорость частицы 2 в системе покоя частицы 1 и ввести пространство скоростей, в котором «расстояние» между близкими точками равно квадрату относительной скорости, то, вводя для $\boldsymbol v$ сферические координаты $v=c \cdot \text{th} \psi, \theta, \phi$, находим, что релятивистское пространство скоростей $dl^2_v=c^2(d\psi^2+\text{sh}^2\psi(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2))$ является пространством с постоянной отрицательной кривизной (пространством Лобачевского).

Релятивистская механика

Нерелятивистское уравнение движения $md^2\boldsymbol r/dt^2=\boldsymbol f$ (сила Лоренца$\boldsymbol f=e(\boldsymbol E+[\boldsymbol v \times \boldsymbol B])/c$, $e$ – электрический заряд) нековариантно относительно преобразований Лоренца (3) (правая и левая части преобразуются неодинаково), однако оно справедливо при $v \ll c$. Чтобы найти релятивистское ковариантное уравнение, переходящее в него при малых скоростях, найдём четырёхмерное ускорение, дифференцируя четырёхмерную скорость $u^\mu$ по собственному времени: $w^\mu=du^\mu/ds$. С учётом того, что квадрат четырёхмерной скорости в метрике Минковского $u^2≡u^\mu u^\nu \eta_{\mu \nu}=1$, имеем $u^0=1/(1-v^2/c^2)^{1/2}$. В мгновенной системе покоя частицы $w^0=0$, $\boldsymbol w=\boldsymbol a$. Учитывая, что сила Лоренца выражается через тензор электромагнитного поля как$f^i=u_0^{-1}F_\mu^iu^\mu$, можно заключить, что в релятивистской механике уравнение движения есть
$$mc^2(du^\mu/ds)=eF^\mu_\nu u^\nu. \tag 8$$Пространственная часть этого уравнения при $v \ll c$ переходит в нерелятивистское уравнение движения. Временнáя компонента не является независимой, но она имеет самостоятельное значение как уравнение изменения энергии, т. к. $ec\boldsymbol E\cdot \boldsymbol v$ есть умноженная на $c$ работа силы Лоренца, совершаемая над зарядом в единицу времени. В механике работа силы равна изменению кинетической энергии $\mathscr E$, откуда следует, что релятивистское выражение для энергии есть $\mathscr E=mc^2u^0$. Аналогично можно получить релятивистское выражение для импульса, исходя из того, что его производная по времени равна силе Лоренца: $d \boldsymbol p/dt=\boldsymbol f$. Выразив величины через трёхмерную скорость, находим:
$$\mathscr E=mc^2u^0=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\ \boldsymbol p=mc \boldsymbol v=\frac{m\boldsymbol v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \tag 9$$что объединяется в релятивистский четырёхмерный импульс $p^\mu=mcu^\mu=(\mathscr E/c,\boldsymbol p)$. Отсюда нетрудно понять невозможность для массивной частицы преодолеть барьер $v=c$: для этого необходимо сообщить частице бесконечную энергию. Предел для энергии и импульса при $v \to c$ существует, если одновременно устремить массу частицы к нулю. Действительно, из $u^\mu u^\nu \eta_{\mu \nu}=1$ имеем:
$$p^\mu p^\nu \eta_{\mu \nu}=(\mathscr E/c)^2-p^2c^2=m^2c^2, \tag 10$$что имеет регулярный предел при $m \to 0$, при котором энергия безмассовой частицы пропорциональна импульсу: $\mathscr ℰ=cp$. Это равенство имеет место и в квантовой теории, в которой энергия фотона $\mathscr E=\hbar \omega$ ($\hbar$ – постоянная Планка), импульс $\boldsymbol p=\hbar \boldsymbol k$, где $\omega$ – частота, $\boldsymbol k$ – волновой вектор монохроматической электромагнитной волны, удовлетворяющие соотношению $\omega=ck$.

При столкновениях частиц можно выбрать начальное и конечное состояния так, что частицы практически не взаимодействуют. Тогда можно записать закон сохранения четырёхмерного импульса в виде равенства суммы начальных четырёхмерных импульсов сумме четырёхмерных импульсов в конечном состоянии. Этот закон объединяет законы сохранения энергии и обычного импульса. При этом сумма масс частиц не сохраняется, что хорошо известно в физике элементарных частиц; например, массивные электрон и позитрон аннигилируют с образованием двух безмассовых фотонов.

Специальная теория относительности и квантовая теория

Квантовая механика была первоначально сформулирована как нерелятивистская теория. Распространение её принципов на релятивистские явления привело к созданию квантовой теории поля (КТП), в которой стирается грань между полями и частицами. Квантование электромагнитного поля Максвелла приводит к представлению о безмассовых частицах – фотонах как квантах электромагнитного поля, движущихся со скоростью света, энергия которых пропорциональна их импульсу. Электроны в КТП описываются полем Дирака, отвечающим спинорному представлению группы Лоренца. В теории Дирака электрон совместно со своей античастицей – позитроном – описывается 4 комплексными функциями координат и времени, преобразующимися друг через друга при переходе от одной ИСО к другой. Система взаимодействующих полей Дирака и Максвелла описывается квантовой электродинамикой, которая целиком базируется на СТО и блестяще согласуется с экспериментами, обеспечивая точнейшую косвенную проверку СТО. Современная теория элементарных частиц – Стандартная модель – целиком основана на СТО; она описывает открытые в 20 в. слабое и сильное взаимодействия. В ходе развития КТП выяснилось, что лоренц-инвариантность тесно связана с дискретной симметрией, называемой CPT-инвариантностью. Последняя означает, что все физические законы остаются неизменными, если заменить все частицы на античастицы (С-преобразование), а также поменять на противоположные направления трёх пространственных координатных осей (Р) и направление времени (Т). В середине 20 в. В. Паули показал, что из лоренц-инвариантности и локальности КТП следует её CPT-инвариантность.

Общая теория относительности

Представление об ИСО, лежащее в основе СТО, справедливо лишь до тех пор, пока мы пренебрегаем эффектами гравитации. Но гравитационное взаимодействие, в отличие от электромагнитного, является универсальным: все виды материи (электрически нейтральные и заряженные частицы, электромагнитное и другие известные в физике поля) взаимодействуют гравитационно. В КТП доказывается, что все поля взаимодействуют с гравитационным полем с одинаковой константой связи (С. Вайнберг, 1960). В рамках СТО построить релятивистское обобщение ньютоновской теории тяготения не удаётся, и общепринятой теорией гравитации является ОТО, в основе которой лежит принцип локальной эквивалентности сил инерции и гравитации. Переход от ИСО к неинерциальным системам отсчёта описывается преобразованием координат общего вида $x^\mu \to x^{\mu'} (x)$, в результате чего не зависящий от координат метрический тензоp $g_{\mu \nu}$ пространства событий становится функцией координат: $ds^2=g_{\mu \nu}(x)dx^\mu dx^\nu$. Такое пространство-время называется искривлённым, в отличие от плоского пространства-времени в СТО. Инвариантность метрики при общих преобразованиях координат уже не предполагается, однако требуется ковариантность (неизменность вида) уравнений (принцип общей ковариантности). Принцип эквивалентности означает, что гравитационное поле также пpоявляет себя чеpез метpику пространства событий $g_{\mu \nu}(x)$. При этом, однако, тензор кривизны пространства событий отличен от нуля, и нельзя метрический тензоp привести к плоскому $\eta_{\mu \nu}$ всюду.

Поскольку в ОТО выбор координат произволен, $x^\mu$ уже не связаны непосpедственно с физическими pасстояниями и вpеменем. Для определения физических расстояний и промежутков времени между событиями необходимо задать процедуру измерения. Промежуток времени $dt$ между событиями, разделёнными интервалом $s$ и происходящими в одной пространственной точке $(dx^i=0)$, равен $d \tau=(1/c)\sqrt{g_{00}(x)dx^0}$; отсюда гравитационное красное смещение частоты волны, распространяющейся в статическом гравитационном поле из точки $\boldsymbol r_1$ в точку $\boldsymbol r_2$: $\omega_1\sqrt{g_{00}(\boldsymbol r_1)}=\omega_2\sqrt{g_{00}(\boldsymbol r_2)}$.

Уравнения физических теорий, известные в СТО, можно использовать и для искривлённого пространства-времени, заменяя частные производные на ковариантные. Уравнения Максвелла для искривлённого пространства-времени имеют вид: $\nabla_\nu F^{\mu \nu} \equiv \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\nu(\sqrt{-g}F^{\mu \nu})=-\frac{4 \pi}{c}j^\mu$.

Более сложной задачей, решённой А. Эйнштейном и Д. Гильбертом в 1915 г., было отыскание уравнений самого гравитационного поля. Такое уравнение должно быть общековариантным и переходить в ньютоновский закон тяготения в нерелятивистском пределе. Полученное ими уравнение выражает связь между материей и метрикой пространства-времени.

ОТО объясняет смещение перигелия планет, отклонение лучей в поле Солнца и приводит к новым предсказаниям, важнейшими из которых являются гравитационные волны и чёрные дыры. На ОТО базируется современная космология, включая модель расширяющейся (инфляционной) Вселенной.

Применимость ОТО в микромире ограничена планковской длиной $l_{\text{Pl}} = \sqrt{\hbar G/c}=1,616·10^{–35}$ см, что соответствует энергии покоя массы порядка 1 г, или энергии 10¹⁹ ГэВ. Эта энергия на много порядков превосходит характерные энергии взаимодействия элементарных частиц (проблема иерархий). Предполагают, что истинная планковская энергия должна быть гораздо ниже (порядка 1 ТэВ), но гравитация на малых расстояниях становится многомерной. Эта модель приводит к предсказанию возможности рождения чёрных дыр на ускорителях.

Квантование гравитации и теория струн

Основанная на СТО стандартная модель не включает гравитацию. Квантование эйнштейновской ОТО приводит к неперенормируемой теории и требует привлечения новых принципов, относительно которых пока нет единого мнения. Одна из таких теорий – теория струн, представляющая квантовую теорию протяжённых объектов – струн и бран. В отличие от точечных частиц, протяжённые объекты обладают внутренней динамикой, и их возбуждённые состояния описывают различные поля, в том числе гравитационное. Классическое гравитационное взаимодействие возникает, когда взаимодействие струн между собой становится сильным. В этом подходе СТО можно понимать как теорию, справедливую, когда взаимодействие струн малó и может описываться теорией возмущений. В режиме сильной связи необходимо пользоваться ОТО.

Теория струн предсказывает удивительное взаимоотношение между квантовыми теориями в плоском пространстве-времени и классической теорией в искривлённом пространстве-времени, которое называют голографическим. Оказывается, что распространение классических полей в $D$-мерном пространстве-времени постоянной отрицательной кривизны (пространстве анти-де Ситтера) соответствует квантовой теории в плоском пространстве $D – 1$ измерений. Так, тепловые свойства квантовой кварк-глюонной плазмы, образующейся при столкновениях тяжёлых ядер с энергией порядка нескольких ТэВ, можно описывать, рассматривая классические чёрные дыры в пятимерном пространстве анти-де Ситтера. Другой пример – голографическое описание высокотемпературной сверхпроводимости, которая, как полагают, существует благодаря эффектам теории поля в трёхмерном пространстве типа Минковского.

Экспериментальные основания специальной теории относительности

На момент создания СТО её экспериментальную основу составляли только оптические опыты Майкельсона – Морли (1887), показавшие отсутствие зависимости скорости света от направления движения источника. Изотропия скорости света неоднократно проверялась на протяжении 20 в.; отсутствие анизотропии было доказано с погрешностью до 10^–17. Постулат независимости скорости света от абсолютной величины скорости источника не имел прямого подтверждения на опыте. Такой эксперимент был выполнен американскими физиками Р. Кеннеди и Э. Торндайком в 1932 г., сделавшими одно из плеч интерферометра Майкельсона короче другого. С изобретением лазеров точность интерферометрических экспериментов существенно возросла. В 1979 г. А. Брие и Дж. Холл повысили точность эксперимента Майкельсона – Морли в 4000 раз.

Многие эксперименты были посвящены проверке замедления хода движущихся часов. С этим эффектом связано увеличение времени жизни нестабильных частиц при увеличении их скорости, что хорошо наблюдается для $\pi$-мезонов в космических лучах. Замедление времени лежит в основе технологии получения вторичных пучков нестабильных частиц. Например, $\Sigma ^+$- и $\Sigma^-$-гипероны живут соответственно 0,8 · 10^–10 и 1,5 · 10^–10 c, но уже при $\gamma \approx 10$ они имеют длины распада 24 см и 45 см, что позволяет сформировать $\Sigma^\pm$-пучки. Американские физики Г. Айвс и Д. Стилуэлл в 1938–1941 гг. исследовали замедление времени с помощью поперечного эффекта Доплера. Впоследствии аналогичные измерения неоднократно повторялись; погрешность составляла около 10^–7.

Изменение хода времени движущихся часов проверялось перемещением атомных часов на самолётах. При этом необходимо было учитывать также эффект ОТО – изменение хода времени в гравитационном поле Земли. Формулы для изменения течения времени в зависимости от скорости и высоты спутников используются в навигационных технологиях GPS и ГЛОНАСС.

В физике элементарных частиц исследовались возможные нарушения СРT-теоремы, что в комбинации с несохранением барионного числа позволило бы объяснить барионную асимметрию наблюдаемой Вселенной. Нарушение CPT-теоремы приводило бы, в частности, к различию масс $K^0$-мезона и соответствующей античастицы. Измерение осцилляций в системе этих частиц показывает, что разность масс меньше 5 · 10^–19 ГэВ.

Астрономические наблюдения позволяют получить сильные ограничения на определённые типы возможного нарушения СТО, например изменение поляризации света при распространении на большие расстояния. Для этого исследуется синхротронное излучение от удалённых радиогалактик. Первоначальная поляризация зависит от магнитного поля галактики и коррелирует с её удалением. Сравнение наблюдаемой поляризации излучения от различных галактик позволяет убедиться в отсутствии эффекта на уровне 10^–42 ГэВ (в энергетических единицах). Нарушение соотношения между энергией и импульсом могло бы приводить к задержке прибытия фотонов от гамма-всплесков, распаду фотонов на электрон-позитронные пары и т. д. Ничего подобного не регистрируется, например, в наблюдениях синхротронного излучения фотонов с энергией до 100 МэВ из Крабовидной туманности, порождаемых электронами с энергией до 1500 ТэВ в магнитном поле 20–50 нТл. Само существование таких электронов, движущихся со скоростью, отличающейся от скорости света лишь на 10^–19, накладывает сильнейшие ограничения на возможность нарушения релятивистского соотношения (10).

В физике космических лучей важную роль играет предел Грайзена – Зацепина – Кузьмина (ГЗК-предел), согласно которому из-за энергетических потерь, вызванных рождением $\pi$-мезонов при рассеянии на квантах реликтового излучения, на Земле не должны наблюдаться частицы с энергией свыше 5 · 10¹⁹ эВ от источников, удалённых на расстояние более 50 Мпк. Их присутствие могло бы служить признаком нарушения лоренц-инвариантности. На протяжении последних лет разные группы экспериментаторов заявляли о превышении ГЗК-предела, но впоследствии эти данные не подтверждались.

Важное значение в проверке релятивистской инвариантности приобрели нейтринные эксперименты. Ранее нейтрино считались безмассовыми частицами, однако ныне доказано, что их масса отлична от нуля, хотя и очень мала. Начиная с 1970-х гг. проводились эксперименты по измерению скорости нейтрино как астрофизического происхождения, так и от реакторов и ускорителей. Наиболее сильное ограничение на отличие скорости нейтрино от скорости света было получено из наблюдений нейтрино с энергией 10 МэВ от сверхновой SN 1987A в сопоставлении с наблюдением фотонов от того же источника: $(v-c)/c\lt 2·10^{–9}$. Сообщения о регистрации сверхсветовых нейтрино (2007, 2011) были признаны ошибочными.

Таким образом, многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что СТО действительно описывает наш мир. Многие следствия этой теории используются на практике. Более того, точность их проверки является настолько высокой, что постоянство скорости света положено в основу определения единицы длины – метра, в результате чего скорость света становится константой автоматически, если измерения вести в соответствии с метрологическими требованиями и при обязательном использовании стандартной процедуры измерений с помощью электромагнитных волн. Тем не менее возможность нарушения СТО на сверхмалых расстояниях или в явлениях космологического масштаба продолжает волновать теоретиков и экспериментаторов.

Комбинируя эксперименты в области элементарных частиц с астрофизическими данными, удаётся косвенно проникнуть на расстояния, близкие к планковским, рассматриваемые квантовой теорией тяготения, одной из проблем которой является неперенормируемость. Предположив нарушение лоренц-инвариантности на столь малых расстояниях, можно построить перенормируемую квантовую теорию гравитации.

Некоторые нерешённые проблемы космологии, в частности присутствие в спектре начальных космологических возмущений волн с длиной, меньшей планковской, также стимулируют построение моделей с нарушением лоренц-инвариантности. Построены модели, в которых пространство на малых расстояниях становится многомерным; в таких моделях возможно эффективное нарушение лоренц-инвариантности за счёт присутствия дополнительных измерений (см. Супергравитация, Суперструны).

Проверка общей теории относительности

Экспериментальная проверка ОТО проводилась и активно проводится. Кроме классических экспериментов по измерению гравитационного красного смещения, смещения перигелиев планет и отклонения лучей света в поле Солнца, в 20 в. были выполнены измерения запаздывания радарного эха от Луны и планет, прецессии гироскопов на спутниках за счёт гравитационного взаимодействия с вращающейся Землёй, открыты гравитационные линзы, косвенно обнаружено излучение гравитационных волн двойными пульсарами, открыты нейтронные звёзды, чёрные дыры звёздной массы и чёрные дыры, находящиеся в центрах галактик (в том числе нашей). В 2015–2016 гг. впервые были напрямую зарегистрированы гравитационные волны в двойных системах (см. LIGO); в 2023 г. на основе наблюдения пульсаров (см. Тайминг пульсаров) получено статистически достоверное свидетельство существования гравитационно-волнового фона. Все эти явления и объекты уже своим существованием подтверждают ОТО. Тем не менее в пределах достигнутой точности ОТО всё же допускает модификации, поиск которых стимулируется нерешёнными проблемами космологии, в частности проблемой тёмной энергии. Эти модификации, однако, не изменяют принципа общей ковариантности ОТО и концепции искривлённого пространства-времени.