Непреры́вное отображе́ние, отображение $f\colon X\to Y$ топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ такое, что для всякой точки $x_0\in X$ и для всякой окрестности $V=V(f(x_0))$ её образа $f(x_0)$ существует такая окрестность $U=U(x_0)$ точки $x_0$, что $f(U)\subset V$. Это определение является перефразировкой окрестностного определения непрерывности функций действительного переменного. Существует много эквивалентных определений непрерывности. Так, для непрерывности отображения $f\colon X\to Y$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий:
а) прообраз $f^{-1}(G)$ всякого открытого в $Y$ множества $G$ открыт в $X$;
б) прообраз $f^{-1}(F)$ всякого замкнутого в $Y$ множества $F$ замкнут в $X$;
в) $f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}$ для всякого множества $A\subset X$ (образ замыкания содержится в замыкании образа).

Понятие непрерывной функции, корректно сформулированное ещё Б. Больцано и О. Л. Коши, сыграло большую роль в математике 19 в. Функция Вейерштрасса, не дифференцируемая ни в одной точке, «канторовская лестница», кривая Пеано указали на необходимость рассмотрения более частных случаев непрерывности. Необходимость выделения специальных классов непрерывных отображений ещё более возросла, когда стали рассматривать непрерывные отображения более общих объектов – топологических пространств. Можно отметить следующие важнейшие типы непрерывных отображений: топологические отображения или гомеоморфизмы, совершенные отображения, замкнутые отображения, открытые отображения, факторные отображения.

Если даны два непрерывных отображения $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$, то их композиция $g\circ f\colon X\to Z$, т. е. сквозное отображение $X\overset{f}{\to}Y\overset{g}{\to}Z$, непрерывна. Очевидно непрерывно и всякое тождественное отображение $I\colon X\to X$. Поэтому топологические пространства и непрерывные отображения образуют категорию.

Одним из методов топологии является метод взаимной классификации пространств и отображений. Его сущность состоит в следующем: выделяются три основные, тесно связанные между собой задачи. 1) В каком случае каждое пространство некоторого фиксированного класса $\mathcal A$ может быть отображено на некоторое пространство класса $\mathcal B$ посредством непрерывного отображения, принадлежащего классу $\mathcal L$? 2) Какими внутренними свойствами характеризуются пространства, принадлежащие классам $\mathcal{MC}$, являющимся образами пространств из класса $\mathcal C$ при непрерывном отображении из класса $\mathcal M$? 3) Пусть $\mathrm{Hom}(\mathcal A,\mathcal B)$ – обозначение множества непрерывных отображений, областью определения которых служат пространства из класса $\mathcal A$, а областью значений – пространства из класса $\mathcal B$, и $\mathcal L$ – некоторый другой класс отображений. Каковы свойства отображений из класса $\mathrm{Hom}(\mathcal A,\mathcal B)\cap\mathcal L$?

Эти общие формулировки охватывают, в частности, следующий вопрос: какие топологические свойства сохраняются теми или иными отображениями при переходе от пространства к его образу или прообразу. 1) Всякое $n$-мерное в смысле $\dim$ пространство может быть существенно отображено на $n$-мерный куб. 2) Точечно-счётная база сохраняется при совершенных (даже при бифакторных) отображениях. 3) Всякое замкнутое отображение $f$ из класса $\mathrm{Hom}(\mathcal A,\mathcal B)$, где $\mathcal A$ – класс $n$-мерных пространств со счётной базой, $\mathcal B$ – класс нульмерных пространств со счётной базой, по крайней мере $(n+1)$-кратно.

Первые конкретные задачи этого рода были решены ещё в 1920-х гг. Таковы, например, представление произвольного метрического компакта в виде непрерывного образа канторова совершенного множества (теорема Александрова); характеристика метрических пространств со счётной базой как открытых непрерывных образов подпространств пространства иррациональных чисел (теорема Хаусдорфа); описание локально связных континуумов как непрерывных образов отрезка. Решение этих задач не только позволило ответить на вопросы о взаимоотношениях между различными известными ранее классами пространств, но и вызвало появление новых интересных классов пространств. Таковы, например, диадические компакты, паракомпактные $p$-пространства, совершенно $n$-мерные пространства, псевдокомпактные пространства.

Понятие действительной непрерывной функции, т. е. непрерывного отображения топологического пространства в $\mathbb R$, лежащее в основании теории функций, играет большую роль и в общей топологии. Здесь прежде всего стоит отметить лемму Урысона, теорему Титце – Урысона о продолжении непрерывных функций с замкнутых подмножеств нормальных пространств, определение А. Н. Тихоновым вполне регулярных пространств, теорему Стоуна – Вейерштрасса. Эти и другие исследования привели к созданию теории колец непрерывных функций, методы которой оказались достаточно плодотворными в общей топологии.

Существенную часть теории размерности составляет изучение поведения размерностных характеристик пространств при переходе к образу или прообразу относительно отображений тех или иных классов. Большую роль здесь играют $\varepsilon$-сдвиги, $\varepsilon$-отображения и $\omega$-отображения, существенные отображения, конечнократные отображения, счётнократные отображения, нульмерные отображения, $n$-мерные отображения и др. При этом метод непрерывных отображений приводит к взаимному обогащению и проникновению друг в друга таких совершенно различных по своему происхождению областей общей топологии, как имеющая наглядно-геометрический смысл теория размерности и абстрактная по характеру теория кардинальнозначных инвариантов.

Одной из характеристик размерности является возможность продолжения непрерывного отображения с замкнутого подмножества в $n$-мерную сферу. Эта теорема является одним из вариантов теоремы о продолжении отображений, которая, как и тесно связанная с ней теорема о неподвижной точке, имеет кардинальное значение для таких разделов современной математики, как топология, алгебра, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения.

Одним из наиболее изученных классов непрерывных отображений является класс совершенных неприводимых отображений. Теорема об абсолюте регулярного пространства породила целый ряд исследований в этой области. В частности, понятие абсолюта было распространено на класс всех хаусдорфовых пространств. С понятием непрерывного отображения оказалось тесно связанным понятие $\theta$-близости, которое дало возможность внутреннего описания всех совершенных неприводимых прообразов произвольного компакта. Распространение теории неприводимых непрерывных отображений на класс всех хаусдорфовых пространств показало, что непрерывных отображений не хватает для изучения нерегулярных пространств и что более естественно здесь рассматривать $\theta$-непрерывные отображения.

Выделение равномерно непрерывных функций из класса всех числовых функций одной или нескольких действительных переменных стало одной из отправных точек исследований, приведших к созданию теории равномерных пространств.

Непрерывные отображения того или иного типа лежат в основе теории ретрактов, сплайнов, гомологий. Большую роль в современной математике играют различные аспекты теории многозначных отображений. Интересны богатством идейного содержания вопросы непрерывных отображений евклидовых пространств.