Дифференциа́льное уравне́ние с ча́стными произво́дными пе́рвого поря́дка, уравнение, связывающее искомую функцию $u(x)$, её первые производные $D_i u=u_{x_i}$, $i=1, \ldots, n$, и независимые переменные $x=(x_1, \ldots, x_n)$. Всякая система дифференциальных уравнений c частными производными может быть приведена к некоторой системе дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Для этого достаточно ввести в качестве новых искомых функций все частные производные от каждой функции $u_i(x)$ до порядка $l_i-1$ включительно, если хотя бы одна производная порядка $l_i$ входит в какое-либо уравнение рассматриваемой системы. При этом систему следует пополнить новыми уравнениями, выражающими равенство различных смешанных производных. Например, уравнение

$$F\left(x, y, u, u_x, u_y, u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}\right)=0$$после введения вспомогательных искомых функций $v=u_x$, $w=u_y$ приводится к следующей системе уравнений первого порядка:

$$\begin{gathered} F\left(x, y, u, v, w, v_x, v_y, w_y\right)=0, \\ u_x-v=0, \\ u_y-w=0, \\ v_y-w_x=0 \end{gathered}$$(последние три уравнения не независимы).

Одно дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка с одной искомой функцией задаётся соотношением:

$$F(x, u, p)=0, \tag{1}$$где $p=\left(p_1, p_2, \ldots, p_n\right)=\left(D_1 u, D_2 u, \ldots, D_n u\right)$. Всякое решение $u=u(x)$ уравнения (1) при определённых требованиях определяет некоторую поверхность (интегральную поверхность) в пространстве $E_{n+1}$ переменных $(x_1, \ldots, x_n, u)$, причём $p_i$ являются компонентами вектора нормали к этой поверхности. Поэтому уравнение (1) задаёт связь между составляющими $p_i$ вектора нормали к интегральной поверхности и в каждой точке $(x, u)$ определяет $(n-1)$-параметрическое семейство касательных к интегральной поверхности плоскостей [или несколько таких семейств, соответствующих различным решениям уравнения (1) относительно $p$]. Огибающая этого семейства плоскостей называется конусом Монжа [в данной точке $(x, u)$], а направления его образующих – характеристическими направлениями. В каждой точке $(x, u)$ эти направления определяются уравнениями

$$\frac{d x_1}{F_{p_1}}=\frac{d x_2}{F_{p_2}}=\ldots=\frac{d x_n}{F_{p_n}}=\frac{d u}{\sum_{i=1}^n p_i F_{p_i}}, \tag{2}$$где $p=(p_1, p_2, \ldots, p_n)$ – любой вектор, удовлетворяющий уравнению (1). Кривая с непрерывно изменяющейся касательной, имеющая в каждой своей точке характеристическое направление, называется кривой Монжа, или фокальной кривой. Фокальная кривая является интегральной кривой системы (2) при произвольно заданном непрерывно дифференцируемом векторе $p=p(x, u)$ таком, что $F(x, u, p)=0$.

Поскольку каждой точке фокальной кривой сопоставлен вектор $p$, определяющий направление плоскости, касательной к кривой в этой точке, то фокальная кривая задаётся одновременно со своими касательными плоскостями и называется поэтому фокальной полосой. Если $\sigma$ – параметр на фокальной кривой, то уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial \sigma}=\sum p_i F_{p_i}$$системы (2) называется уравнением (или условием) полосы.

Если фокальная кривая принадлежит интегральной поверхности $u=u(x)$ уравнения (1) и в каждой её точке выполнены равенства $p_i=D_i u(x)$, то она называется характеристической кривой (бихарактеристикой), а соответствующая фокальная полоса – характеристической полосой. Характеристическая полоса определяется системой уравнений:

$$\frac{d x_i}{F_{p_i}}=\frac{d u}{\sum p_j F_{p_j}}=\frac{d p_i}{F_{x_i}+p_i F_u}, \tag{3}$$которая называется характеристической системой уравнения (1). Функция $F(x, u, p)$ является интегралом системы уравнений (3), поэтому условие $F=0$ выполнено на всей характеристической кривой, если оно выполнено в какой-либо её точке. Интегральная поверхность уравнения (1), касаясь в каждой своей точке конуса Монжа, является огибающей семейства конусов Монжа и тем самым – огибающей семейства характеристических полос. Последнее означает, что интегральная поверхность состоит из характеристических кривых, так что её нахождение сводится к интегрированию характеристической системы (3). Фокальные кривые, не сводящиеся к характеристическим (если они существуют), являются огибающими последних на интегральной поверхности $u=u(x)$. Их проекции на пространство $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ состоят из точек сингулярности решения $u(x)$.

Уравнение (1) называется квазилинейным, если

$$F(x, u, p)=\sum_{i=1}^n f_i(x, u) p_i+f_{n+1}(x, u).$$Уравнения (2) в этом случае имеют вид:

$$\frac{d x_i}{f_i(x, u)}=-\frac{d u}{f_{n+1}(x, u)} \tag{4}$$и не содержат $p$; конус Монжа вырождается в прямую (ось Монжа), и все фокальные кривые являются характеристическими.

Задача Коши для уравнения (1) состоит в нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданное $(n-1)$-мерное (начальное) многообразие:

$$x_i=x_i^0(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}), \quad u=u^0(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}). \tag{5}$$Эта интегральная поверхность состоит из характеристических кривых, проведённых через точки начального многообразия. В случае квазилинейного уравнения последние получаются интегрированием характеристической системы (4) с начальными условиями (5). В общем случае для построения характеристических кривых условия (5) нужно дополнить заданием начальных значений $p_i=p_i^0(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})$, которые определяются из уравнений:

$$\frac{\partial u^0}{\partial \lambda_j}=\sum p_i^0 \frac{\partial x_i^0}{\partial \lambda_j},\quad j=1, \ldots, n-1, \tag{6}$$получающихся дифференцированием условий (5), и уравнения

$$F\left(x^0, u^0, p^0\right)=0. \tag{7}$$Ввиду нелинейности, уравнения (6) и (7) определяют $p_i^0(\lambda)$ и, соответственно, решение задачи Коши (1), (5), вообще говоря, неоднозначно. Пусть

$$x_i=X_i(\sigma, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}), \quad u=U(\sigma, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}) \tag{8}$$– уравнения характеристических кривых, проходящих через точки начального многообразия. Если начальное многообразие (5) не является характеристическим (см. в статье Характеристика в теории дифференциальных уравнений), то эти уравнения – параметрические уравнения искомой интегральной поверхности, они определяют решение $u=u(x)$ задачи Коши, если эта поверхность однозначно проектируется на пространство независимых переменных $(x_1, \ldots, x_n)$. В случаях, когда уравнения (8) определяют поверхность, не представимую, однако, уравнением $u=u(x)$, т. е. не проектирующуюся однозначно на пространство $(x_1, \ldots, x_n)$, вводят понятие обобщённого решения задачи Коши (1), (5).

Решение нелинейного уравнения (1), по существу, сводится к решению системы квазилинейных уравнений с одинаковой главной частью:

$$\begin{gathered} \sum_{i=1}^n F_{p_i} \frac{\partial p_k}{\partial x_i}+F_k p_k+F_{x_k}=0,\quad k=1, \ldots, n, \\ \sum_{i=1}^n F_{p_i} \frac{\partial u}{\partial x_i}-\sum_{i=1}^n p_i F_{p_i}=0, \end{gathered}$$получающейся дифференцированием уравнения (1).

Примеры. $\left(D_1 u\right)^2+\left(D_2 u\right)^2=1$; характеристические полосы задаются уравнениями:

$$\begin{gathered} \frac{x_1-x_1^0}{p_1^0}=\frac{x_2-x_2^0}{p_2^0}=u-u^0, \\ p_1=p_1^0,\quad p_2=p_2^0,\quad \left(p_1^0\right)^2+\left(p_2^0\right)^2=1. \end{gathered}$$$\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=0$; характеристическая система (3) имеет вид $\frac{\partial x}{u}=\frac{\partial u}{0}=\frac{\partial t}{1}$, уравнения характеристик: $\frac{x-x_0}{t-t_0}=u_0$, ${u}=u_0$, решение задачи Коши с начальным условием $u(x, 0)=u^0(x)$ задаётся параметрическими уравнениями

$$x=\lambda+t u^0(\lambda), \quad u=u^0(\lambda).$$Полным интегралом уравнения (1) называется решение

$$u=\varphi(x, a) \tag{9}$$уравнения (1), существенно зависящее от $n$ параметров $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Решение вида (9) есть полный интеграл, если ранг матрицы

$$\left\|\begin{matrix} \varphi_{a_1} & \varphi_{x_1 a_1} & \cdots & \varphi_{x_{n^a}{ }_1} \\ \varphi_{a_2} & \varphi_{x_1 a_2} & \cdots & \varphi_{x_{n^a}{ }_2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varphi_{a_n} & \varphi_{x_1 a_n} & \cdots & \varphi_{x_n{a }_n} \end{matrix}\right\|$$равен $n$ (в некоторой области изменения переменных). Путём образования огибающих из полного интеграла строятся решения уравнения (1), зависящие от произвольных функций.

Если из $n$-параметрического семейства поверхностей (9) выделить $(n-k)$-параметрическое семейство, предполагая параметры $a$ связанными $k$ соотношениями $\omega_i(a)=0$, $i=1,2, \ldots, k$, то огибающая этого семейства зависит от $k$ произвольных функций $n-k$ переменных; соответствующие решения, зависящие от произвольных функций, называются общими интегралами. Огибающая $n$-параметрического семейства (9) (если она существует) не содержит никакого произвола и даёт особый интеграл, который может быть также найден исключением $p$ из соотношений $F=F_p=0$.

Многообразие касания поверхности семейства с огибающей этого семейства является характеристическим многообразием $k$ измерений. В частности, при $k=1$ это многообразие является характеристической кривой. На этом основан способ построения общего решения характеристической системы уравнений (3) по полному интегралу уравнения (1) (метод Якоби), часто применяемый при интегрировании канонических уравнений.

Переопределённые системы дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка – это системы уравнений вида (1), в которых число независимых уравнений больше числа искомых функций. Такие системы, вообще говоря, противоречивы, и выделение классов непротиворечивых (совместных) систем составляет предмет теории совместности дифференциальных уравнений с частными производными.

Пусть имеется переопределённая система

$$F_i(x, p) = \sum_{j=1}^n f_{i j}(x) p_j=0, \quad i=1, \ldots, m, \tag{10}$$для одной искомой функции $u(x)$. Пусть все уравнения системы (10) независимы, так что $m \leqslant n$. Эта система называется замкнутой, если все уравнения вида

$$\left\{F_i, F_j\right\} \equiv \sum_{s=1}^n\left(\sum_{l=1}^n \frac{\partial f_{i s}}{\partial x_t} f_{j l}-f_{i l} \frac{\partial f_{j s}}{\partial x_l}\right) p_s=0 \tag{11}$$($\{\,,\,\}$ – скобки Пуассона) являются следствиями исходных уравнений, и незамкнутой – в противном случае. Незамкнутую систему с помощью присоединения независимых уравнений вида (11) можно расширить до замкнутой. При $m=n$ замкнутая система имеет только тривиальное решение, а при $m<n$ количество её независимых решений равно $n-m$.