Арифметическая дробь
Арифмети́ческая дробь (положительная обыкновенная дробь), величина, содержащая целое число долей единицы. Дробь изображается символом или , где натуральное (т. е. целое положительное) число называется знаменателем дроби и показывает (знаменует), на сколько долей разделяется единица, а натуральное число , называемое числителем, показывает, сколько таких частей содержит данная дробь, сама дробь называется частным от деления числа на число . Если делится нацело на , то частное является целым числом (например, , ), в противном случае частное называется дробным числом (например, , ).
Дробь не меняется, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число. Благодаря этому любые две дроби и можно привести к общему знаменателю, т. е. заменить и на равные им дроби, имеющие один и тот же знаменатель. Кроме того, дробь можно сокращать, поделив её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число (если числитель и знаменатель делятся нацело на это число), поэтому всякую дробь можно представить в виде несократимой дроби, т. е. такой, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей; например, является сократимой дробью, поскольку , а – несократимой дробью.
Сумма и разность дробей и с одинаковыми знаменателями определяются по правилу В случае разности предполагается, что . Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Обычно в качестве общего знаменателя дробей и берётся наименьшее общее кратное чисел и или их произведение. Умножение и деление дробей производятся по правилам Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. Неправильная дробь может быть представлена в виде т. н. смешанного числа, т. е. в виде суммы целого числа и правильной дроби. Для этого надо числитель разделить (с остатком) на знаменатель и записать без пробела частное и правильную дробь, являющуюся частным от деления остатка на знаменатель. Например, (читается пять целых шесть семнадцатых). Дробь, знаменатель которой есть (натуральная) степень числа , называется десятичной дробью. Такую дробь обычно пишут без знаменателя, например:Наряду с положительными обыкновенными дробями в арифметике рассматриваются дроби , где и – целые числа любого знака и . Такие дроби составляют множество рациональных чисел. О непрерывных (цепных) дробях см. Непрерывная дробь.
Операции над дробями встречаются в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 200 до н. э.), где считаются допустимыми только дроби вида , – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными, и ставится задача о представлении любой дроби суммой не равных между собой дробей вида ; например, можно представить в виде суммы . В древневавилонских памятниках письменности встречаются т. н. сексагезимальные дроби, т. е. дроби, знаменатели которых суть степени числа ; деление единицы на и частей сохранилось до нашего времени в делении часа или градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Современное обозначение дробей, по-видимому, впервые появилось у древних индийцев. В европейскую математику термин «дробь» введён Фибоначчи (1202) после его знакомства с трудами арабских математиков. Термины «числитель» и «знаменатель» встречаются у Максима Плануда.