Геоме́трия (греч. γεωμετρία, буквально – землемерие), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Происхождение термина «геометрия» можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разливов Нила, постоянно смывавших границы». Уже у древних греков геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин «геодезия». Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, развитие геометрии связано также с измерениями объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах.

Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений фигур на плоскости, кроме их взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании фигур друг к другу, в том, что одна фигура есть часть другой, в расположении «между», «внутри» и т. п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел. Путём такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела в пространстве. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом геометрия, как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными.

Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая мысленную возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма; расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, также есть некоторое отношение между двумя фигурами, данной и той, в которую она преобразуется.

В современном, более общем смысле геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики, и её границы не являются точными.

Развитие геометрии

В развитии геометрии можно выделить четыре основных периода. Первый, период зарождения геометрии, связан с развитием науки в Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появились на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками любой науки можно считать установление первых общих закономерностей, в данном случае – зависимостей между геометрическими величинами. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Египта и относится примерно к 17 в. до н. э. Геометрические сведения этого периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, очень примитивными. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении многих поколений она складывалась в стройную систему, накапливались новые геометрические знания, выяснялись связи между разными геометрическими фактами, формировались понятия о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл к качественному изменению – геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку, появились систематические изложения геометрии, в которых её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития геометрии.

Известны упоминания о систематическом изложении геометрии, среди которых – данное Гиппократом Хиосским. Сохранились и сыграли решающую роль в развитии геометрии «Начала» Евклида, где геометрия представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией: это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно сформулированных основных положений – аксиом и основных пространственных представлений. Геометрию, развиваемую на этих аксиомах, называют евклидовой геометрией. Ещё в Греции к ней добавились новые результаты, возникли новые методы определения площадей и объёмов (Архимед), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский), начала тригонометрии (Гиппарх) и геометрия на сфере (Менелай). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии геометрии, однако она продолжала развиваться в Индии, Средней Азии, странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе привело к дальнейшему развитию геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Этот метод позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся математическим анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную геометрию, Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней стали рассматриваться гораздо более общие фигуры и применяться новые методы. С этого времени начинается третий период развития геометрии. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в работах Л. Эйлера, Г. Монжа и других, исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (в том числе их непрерывные совокупности) и преобразования. Её название связано в основном с используемыми методами, берущими начало в дифференциальном исчислении. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первой задачей было изучение тех свойств плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии были даны Эйлером для аналитической геометрии (1748), Монжем для дифференциальной геометрии (1795), Ж.-В. Понселе для проективной геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в связи с задачами черчения) было развито Монжем (1799) в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) геометрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвёртый период в развитии геометрии начинается с построения Н. И. Лобачевским новой, неевклидовой геометрии (1826), получившей название геометрии Лобачевского. Независимо от Лобачевского ту же геометрию построил Я. Больяй (1832) (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал свои результаты). Сущность идей Лобачевского сводится к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, которая состоит в том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. Многие геометры пытались доказать это утверждение, исходя из других аксиом геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно, и если заменить аксиому параллельности Евклида её отрицанием, то мы не придём к противоречию. В геометрии Лобачевского утверждение, противоположное аксиоме Евклида, состоит в том, что через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, проходящей через эти прямую и точку, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с данной. Замена аксиомы параллельности Евклида аксиомой параллельности Лобачевского приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую геометрию, оказавшуюся логически столь же совершенной и богатой выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям.

До открытия неевклидовой геометрии не возникал вопрос о непротиворечивости системы аксиом, лежащих в основе геометрии. Считалось, что поскольку аксиомы геометрии отражают соотношения между определёнными реальными объектами, то они не могут привести к выводам, содержащим в себе противоречия. Н. И. Лобачевский был уверен в том, что дальнейшее развитие новой геометрии не приведёт к появлению противоречий. Эта уверенность, однако, имела субъективный характер и не могла полностью убедить всех современников Лобачевского. Доказательство непротиворечивости его геометрии было получено путём построения интерпретаций геометрии (моделей геометрии) Лобачевского, осуществлённого Э. Бельтрами и Ф. Клейном. Бельтрами показал, что на всякой поверхности постоянной отрицательной кривизны реализуется геометрия Лобачевского. Примеры таких поверхностей были известны. Для таких поверхностей Бельтрами определил некоторую специальную систему координат. Развивая исследование Бельтрами, Клейн построил первую модель геометрии Лобачевского в круге радиуса 1 на обычной евклидовой плоскости. В модели Клейна каждой точке плоскости Лобачевского отвечает точка этого круга, прямым на плоскости Лобачевского отвечают хорды круга, всякому движению плоскости Лобачевского отвечает проективное преобразование евклидовой плоскости, преобразующее указанный круг в себя. Всякому утверждению геометрии Лобачевского отвечает некоторое утверждение евклидовой геометрии. При этом противоречие в геометрии Лобачевского автоматически приводит к противоречию в евклидовой геометрии. Вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии тем самым сводится к вопросу о непротиворечивости обычной евклидовой геометрии. Интерпретация Бельтрами – Клейна может быть получена конструкцией в рамках геометрии Лобачевского.

Метод моделей, источником которого явились исследования Н. И. Лобачевского, используется в таких областях современно математики, как математическая логика и функциональный анализ. Метод координат Р. Декарта, позволяя представлять в алгебраической форме соотношения между геометрическими объектами, фактически даёт некоторую алгебраическую модель обычной евклидовой геометрии.

Главная особенность нового периода в истории геометрии, начавшегося с работ Н. И. Лобачевского, состоит в развитии новых геометрических теорий – новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрии; возникает понятие о разного рода пространствах. При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых разделов и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрия и другие, предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии. Так создавалась, например, многомерная геометрия; первые относящиеся к ней работы (Г. Грассман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической геометрии с трёх на произвольное число координат. Некоторый итог развития всех этих новых геометрий подвёл Ф. Клейн (1872), указав общий принцип их построения. Принципиальный шаг был сделан Б. Риманом в лекции 1854 г. (опубликована в 1867), который, во-первых, явно сформулировал обобщённое представление о пространстве как о непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений, а во-вторых, ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами. Это положило начало развитию обширной области геометрии, т. н. римановой геометрии и её обобщений, нашедшей важные приложения в теории относительности, в механике и других науках. В то же время начала развиваться топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология оформилась в самостоятельную дисциплину. Так геометрия превратилась в разветвлённую совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и др.) и фигуры в этих пространствах. Одновременно с развитием новых геометрических теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой геометрии – элементарной, аналитической и дифференциальной геометрий. Вместе с тем предмет геометрии расширился в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур и круг изучаемых свойств этих фигур; расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и геометрии в 1870-х гг. возникла общая теория точечных множеств, которая, однако, уже не причисляется к геометрии, а составляет особую дисциплину – теорию множеств. Фигура стала определяться в геометрии как множество точек. Развитие геометрии было тесно связано с анализом тех свойств пространства, которые лежат в основе евклидовой геометрии. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой евклидовой геометрии. Эта работа привела в конце 19 в. к точной формулировке аксиом евклидовой геометрии, а также других геометрий.

Элементарная геометрия в целом может считаться законченной областью математики. Это, однако, не исключает открытия в ней новых фактов, в первую очередь благодаря использованию новых общих геометрических концепций. Примером могут служить некоторые теоремы теории выпуклых многогранников в трёхмерном пространстве, которые по своей формулировке во многих случаях могут быть отнесены к элементарной геометрии, хотя их доказательства часто основаны на применении математического аппарата, лежащего за пределами элементарной математики. Возможны также и находки новых геометрических результатов в стиле «Начал» Евклида.

Обобщение предмета геометрии

Возможность обобщения и видоизменения геометрических понятий легче всего пояснить на примере. Так, на поверхности шара можно соединять точки кратчайшими линиями – дугами больших кругов, можно измерять углы и площади, строить различные фигуры. Их изучение составляет предмет геометрии на сфере, подобно тому как планиметрия есть геометрия на плоскости. Законы геометрии на сфере отличны от законов планиметрии; так, например, длина окружности здесь не пропорциональна радиусу и достигает максимума для экватора; сумма углов треугольника на сфере зависит от треугольника и всегда больше двух прямых. На любой поверхности можно проводить линии, измерять их длины, углы между ними, определять ограниченные ими площади. Развиваемая так геометрия на поверхности называется внутренней геометрией (К. Гаусс, 1827). Возможность построения разных геометрий наводит на мысль, что свойства реального пространства могут лишь приближённо описываться евклидовой геометрией. Эта идея, впервые высказанная Н. И. Лобачевским, нашла подтверждение в общей теории относительности.

Геометрия абстрактного пространства может мало походить на геометрию трёхмерного евклидова пространства, поскольку абстрактное пространство может быть, например, неоднородным по своим геометрическим свойствам и конечным, подобно замкнутой поверхности.

Простейшим примером абстрактной геометрической теории, наиболее близкой к евклидовой геометрии, может служить геометрия $n$-мерного евклидова пространства. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной геометрии, причём для этого имеется несколько возможностей: можно, например, обобщать аксиомы обычной геометрии, но можно исходить и из задания точек координатами. При втором подходе $n$-мерное пространство определяют как множество точек, задаваемых (каждая) $n$ числами $x_1, ..., x_n$, координатами точек. Расстояние $r$ между точками $X=(x_1, ..., x_n)$ и $X^′=(x'_1, ..., x'_n)$ определяется формулой$$r=\sqrt{(x_1-x'_1)^2+ \ldots +(x_n-x'_n)^2},$$что является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трёхмерном пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, которое не изменяет расстояний между её точками. Предмет $n$-мерной евклидовой геометрии – исследование тех свойств фигур, которые не меняются при движениях. На этой основе легко вводятся понятия прямой, плоскостей различного числа измерений от 2 до $n-1$, шара и т. д. Таким образом складывается содержательная теория, во многом аналогичная обычной евклидовой геометрии, но во многом и отличная от неё. Нередко утверждения, верные для трёхмерного пространства, с соответствующими изменениями верны и для пространств любого числа измерений. Например, теорема о том, что среди всех тел одинакового объёма наименьшую площадь поверхности имеет шар, остаётся справедливой в пространстве любого числа измерений (нужно лишь иметь в виду $n$-мерный шар, $n$-мерный объём и ($n-1$)-мерную площадь, которые определяются аналогично соответствующим понятиям обычной геометрии). Далее, в $n$-мерном пространстве объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды – такому же произведению, делённому на $n$. Такие примеры можно продолжить.

Одна и та же геометрическая теория допускает разные приложения, разные истолкования (осуществления, модели, интерпретации). Возможность разных осуществлений геометрической теории является общим свойством всякой математической теории. Математика рассматривает лишь форму явления, отвлекаясь от содержания, а с точки зрения формы многие качественно различные явления формально часто оказываются математически сходными. Разнообразие приложений математики, и в частности геометрии, обеспечивается именно её абстрактным характером.

Истолкование одной математической теории посредством другой стало методом обоснования новых теорий, приёмом доказательства их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало бы противоречие в той теории, в которой она интерпретируется. Но теория, посредством которой производится истолкование, в свою очередь, нуждается в обосновании. Для доказательства непротиворечивости геометрической теории чаще всего прибегают к построению аналитической интерпретации. Например, точкам евклидовой плоскости могут сопоставляться пары чисел.

Современная геометрия

Принятое в современной математике формально математическое определение понятий пространства и фигуры исходит из понятия множества. Пространство определяется как множество каких-либо элементов (объектов, точек) с условием, что в этом множестве установлены некоторые отношения, сходные с обычными пространственными отношениями. Например, множество состояний физической системы и множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0, 1], образуют пространства, где точками будут соответственно состояния и функции. Точнее, эти множества понимаются как пространства, если только в них определяются соответствующие отношения, например расстояние между точками. Так, расстояние между функциями можно определить как максимум абсолютной величины их разности. Фигура определяется как множество точек в данном пространстве. Иногда пространство – это система из множеств элементов; например, в проективной геометрии принято рассматривать точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геометрические объекты, связанные отношениями соединения. Можно рассматривать пространства, точки которых сами суть некоторые пространства.

Основные принципы, которые приводят ко всему разнообразию пространств современной геометрии, следующие.

1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности (точка принадлежит множеству) и включения (одно множество есть часть другого). Если приняты во внимание только эти отношения, то «геометрия» ещё не определена и множество не рассматривается как пространство. Однако если выделены некоторые специальные фигуры (множества точек), то «геометрия» пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной геометрии, в которых специальными множествами служат прямые и плоскости.

Тот же принцип выделения некоторых специальных множеств позволяет определить понятие топологического пространства – пространства, в котором в качестве специальных множеств выделены окрестности точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; дальнейшие требования на окрестности определяют различные классы топологических пространств). Если любая окрестность точки содержит элементы некоторого множества, то эта точка называется точкой прикосновения данного множества. Два множества называются соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точку прикосновения другого; пространство или фигура называется непрерывными или связными, если их нельзя представить как объединение двух несоприкасающихся частей; преобразование называется непрерывным, если оно не нарушает соприкосновений. Таким образом, понятие топологического пространства служит для математического выражения понятия непрерывности. Понятие топологического пространства можно определять и другими способами. Топологические пространства как таковые, множества в них и их преобразования служат предметом топологии. Предмет собственно геометрии (в значительной её части) составляет исследование топологических пространств и фигур в них, наделённых дополнительными свойствами.

2) Важнейший принцип построения и исследования различных пространств основан на введении координат. Многообразием называется такое связное топологическое пространство, в окрестности каждой точки которого можно ввести координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с системами из $n$ действительных чисел $x_1,x_2, …, x_n$. Число $n$ есть размерность многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геометрических теорий, являются многообразиями; простейшие геометрические фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, и т. п.) обычно представляют собой куски многообразий. Если среди всех систем координат, которые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такие, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитическими функциями, то получают т. н. гладкое (аналитическое) многообразие. Это понятие обобщает наглядное представление о гладкой поверхности. Изучение гладких многообразий составляет предмет дифференциальной топологии. В геометрии гладкие многообразия наделяются разного рода дополнительными структурами. Координаты с принятым условием дифференцируемости их преобразований дают основу для широкого применения аналитических методов – дифференциального и интегрального исчисления, а также векторного и тензорного анализа. Совокупность геометрических теорий, развиваемых этими методами, образует общую дифференциальную геометрию, простейшим разделом которой является классическая теория гладких кривых и поверхностей, представляющих собой одно- и двумерные дифференцируемые многообразия.

3) Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения пространств, впервые сформулированному Ф. Клейном в его эрлангенской программе. Пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. В геометрии таких пространств изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. С точки зрения такой геометрии фигуры считаются равными, если каждая из них может быть преобразована в другую посредством преобразования из данной группы. Например, евклидова геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная геометрия – свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология – свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского и проективная геометрия. Фактически этот принцип соединяется с введением координат. Пространство определяется как гладкое многообразие, в котором преобразования задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той, в которую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от которых зависит преобразование). Общим аппаратом для так получаемых геометрий является теория непрерывных групп преобразований.

4) Ещё один общий принцип определения пространств, указанный в 1854 г. Б. Риманом, исходит из обобщения понятия о расстоянии. По Риману, пространство – это гладкое многообразие, в котором задан закон измерения расстояний (точнее, длин) бесконечно малыми шагами, т. е. с помощью задания дифференциала длины дуги кривой как функции координат точки кривой. Это является обобщением внутренней геометрии поверхностей, рассматривавшейся К. Гауссом. Простейший случай представляют т. н. римановы пространства, в которых в бесконечно малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги будет равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же координатах он выражается общей положительной квадратичной формой). Такие пространства евклидовы в бесконечно малом, но в целом они могут не быть евклидовыми, подобно тому как гладкая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости с соответствующей точностью. Геометрии Евклида и Лобачевского оказываются частными случаями этой римановой геометрии. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния привело к понятию метрического пространства, как множества элементов, в котором задана метрика, т. е. функция, определённая для каждой пары элементов (расстояние между ними), подчинённая весьма общим условиям. Метрические пространства играют важную роль в функциональном анализе и лежат в основе некоторых геометрических теорий, таких как внутренняя геометрия негладких поверхностей и обобщения римановой геометрии.

5) Соединение идеи Римана об определении геометрии в бесконечно малых областях многообразия с определением геометрии посредством группы преобразований привело (Э. Картан, 1922–1925) к понятию о пространстве, в котором преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях; иными словами, здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Это приводит к понятию пространства со связностью того или иного типа. Современная форма концепций Картана основана на применении понятия расслоённого пространства, возникшего в середине 20 в. Эти концепции включают, в частности, связанное с теорией относительности обобщение римановой геометрии, когда рассматриваются пространства, где метрика задаётся уже не положительной, а знакопеременной квадратичной формой (такие пространства также называют римановыми или псевдоримановыми, если хотят отличить их от римановых в первоначальном смысле). Эти пространства являются пространствами со связностью, определённой соответствующей группой, отличной от группы евклидовых движений. Для построения римановой геометрии ещё в конце 19 в. был создан аналитический аппарат, называемый тензорным исчислением. В середине 50-х гг. 20 в. тензорное исчисление подверглось определённой перестройке, связанной с определением тензора, не требующим использования систем координат. Новая форма тензорного анализа обычно применяется в связи с концепциями теории расслоённых пространств.

6) Аксиоматический метод в его чистом виде служит либо для оформления уже готовых теорий, либо для определения общих типов пространств с выделенными специальными множествами. Если же тот или иной тип конкретных пространств определяют, формулируя их свойства как аксиомы, то обычно используют либо координаты, либо метрику. Непротиворечивость и тем самым осмысленность аксиоматической теории проверяется указанием модели, на которой она реализуется, как это впервые было сделано для геометрии Лобачевского. Сама модель строится из абстрактных математических объектов, поэтому окончательное обоснование любой геометрической теории уходит в область оснований математики.

Перечисленные принципы в разных сочетаниях и вариациях порождают обширное разнообразие геометрических теорий. Значение каждой из них и степень внимания к её задачам определяются содержательностью этих задач и получаемых результатов, её связями с другими геометрическими теориями, с другими областями математики, с естествознанием и задачами техники. Каждая геометрическая теория определяется, во-первых, тем, какого типа пространства в ней рассматриваются, во-вторых, в определение теории входит указание на исследуемые фигуры. Так, различают теории многогранников, кривых, поверхностей, выпуклых тел и т. д. Каждая из этих теорий может развиваться в том или ином пространстве. Например, можно рассматривать теорию многогранников в обычном евклидовом пространстве, в $n$-мерном евклидовом пространстве, в пространстве Лобачевского. Можно развивать обычную теорию поверхностей, проективную, в пространстве Лобачевского. В-третьих, имеет значение характер рассматриваемых свойств фигур; так, можно изучать свойства поверхностей, сохраняющиеся при тех или иных преобразованиях, изучать кривизну поверхностей, изгибания (т. е. деформации, не меняющие длин кривых на поверхности), внутреннюю геометрию. Наконец, в определение теории можно включать её основной метод и характер постановки задач. Так, различают элементарную, аналитическую, дифференциальную геометрии; можно говорить об элементарной или аналитической геометрии пространства Лобачевского. Различают геометрию в малом, рассматривающую лишь свойства сколь угодно малых кусков геометрического образа (кривой, поверхности, многообразия), и геометрию в целом, изучающую геометрические образы в целом. Различают аналитические методы и собственно геометрические методы, иногда называемые методами синтетической геометрии. Первые используют средства соответствующих исчислений – дифференциального, тензорного и других, вторые оперируют непосредственно геометрическими образами. Из всего разнообразия геометрических теорий более всего развиваются $n$-мерная евклидова геометрия и риманова геометрия (включая псевдориманову геометрию). В первой разрабатывается главным образом теория кривых и поверхностей (в том числе гиперповерхностей разного числа измерений), причём особое развитие получило исследование поверхностей в целом и поверхностей, существенно более общих, чем гладкие, изучавшиеся в классической дифференциальной геометрии; сюда же включаются многогранники (многогранные поверхности). Сюда же следует включить теорию выпуклых тел, которая в большой части может быть отнесена к теории поверхностей в целом, т. к. тело определяется своей поверхностью, а также теорию правильных систем фигур, т. е. систем, допускающих движения, переводящие всю систему саму в себя и какую-либо её фигуру в любую другую. Развитием этого направления геометрии являются исследования, посвящённые изучению дискретных подгрупп непрерывных групп. Значительное число важнейших результатов в этих областях принадлежит российским геометрам: полная разработка теории выпуклых поверхностей и существенное развитие теории общих невыпуклых поверхностей, разнообразные теоремы о поверхностях в целом (существования и единственности выпуклых поверхностей с заданной внутренней метрикой или с заданной функцией кривизны, теорема о невозможности существования полной поверхности с кривизной, всюду меньшей какого-либо отрицательного числа), исследование т. н. правильного деления пространства. В теории римановых пространств исследуются вопросы, касающиеся связи их метрических свойств с их топологическим строением, поведение геодезических (кратчайших на малых участках) линий в целом, например, вопрос о существовании замкнутых геодезических, вопросы погружения, т. е. реализации данного $m$-мерного риманова пространства в виде $m$-мерной поверхности в евклидовом пространстве бoльшего числа измерений, вопросы псевдоримановой геометрии, связанные с общей теорией относительности. Геометрическая трактовка задач теоретической механики привела к созданию симплектической геометрии – нового направления дифференциальной геометрии, сформировавшегося в основном во 2-й половине 20 в. К этому можно добавить развитие разнообразных обобщений римановой геометрии как в духе общей дифференциальной геометрии, так и в духе обобщений синтетической геометрии, а также алгебраическую геометрию, развившуюся из аналитической геометрии и исследующую прежде всего геометрические образы, задаваемые алгебраическими уравнениями; она занимает особое место, т. к. включает не только геометрические, но также алгебраические и арифметические проблемы. Исследования бесконечномерных пространств, которые можно было бы отнести к геометрии, не причисляется к ней, а включаются в функциональный анализ, т. к. бесконечномерные пространства конкретно определяются как пространства, точками которых служат те или иные функции. Тем не менее в этой области есть много результатов и проблем, носящих геометрический характер и которые поэтому можно относить к геометрии.

Понятия выпуклого тела и выпуклой функции возникли в геометрии. Понятие выпуклости имеет фундаментальное значение для функционального анализа и для приложений математики, в частности для теории оптимизации.

Значение геометрии

Евклидова геометрия применяется всюду, где имеют дело с фигурами и телами, их площадями и объёмами; например, геометрия используется в картографии, геодезии, астрономии, механике, технике. Геометрические методы нашли применение в томографии – эффективном инструменте медицинской диагностики. Математически задача, решаемая в томографии, сводится к отысканию некоторой неизвестной функции по значениям интегралов от неё вдоль всевозможных прямых на плоскости. Этой и другими, похожими на неё задачами занимается раздел геометрии, называемый интегральной геометрией. Некоторые экономико-математические модели сводятся к решению геометрической задачи определения плоскости, параллельной некоторой заданной плоскости и являющейся опорной для заданного выпуклого множества, т. е. такой плоскости, что выпуклое множество лежит по одну сторону от неё и имеет с ней общую точку прикосновения. Раздел прикладной математики, занимающийся изучением методов решения такого рода задач называется линейным программированием. Ещё одно применение геометрии связано с геометрической кристаллографией, послужившей источником и областью приложения теории правильных систем фигур. Тензорное исчисление, изначально построенное для нужд дифференциальной геометрии, стало рабочим языком современной физики и механики. В теоретической физике широко используется теория расслоённых пространств.

Геометрические теории находят широкое применение в механике и физике, когда совокупность состояний какой-либо системы рассматривается как некоторое пространство. Так, все возможные конфигурации (взаимные расположения элементов) механические системы образуют конфигурационное пространство, изменение состояния системы изображается движением точки в этом пространстве. Совокупность всех состояний физической системы (в простейшем случае – положения и скорости образующих систему материальных точек, например молекул газа) рассматривается как фазовое пространство системы. Эта точка зрения находит, в частности, применение в статистической физике. Впервые понятие о многомерном пространстве появилось в связи с механикой в работах Ж.-Л. Лагранжа, когда к трём пространственным координатам $х,у,z$ в качестве четвёртой формально присоединяется время $t$. Так появляется четырёхмерное пространство-время, где точка определяется четырьмя координатами $х,у,z,t$. Этот взгляд получил развитие в геометрической трактовке специальной теории относительности (Г. Минковский, 1908), а затем в построении общей теории относительности (А. Эйнштейн, 1916), где использовалась четырёхмерная псевдориманова геометрия.

В самой математике положение и роль геометрии определяются прежде всего тем, что через неё в математику вводилась непрерывность. Математика как наука сталкивается прежде всего с дискретностью и непрерывностью. Счёт отдельных предметов даёт арифметику, пространственную непрерывность изучает геометрия. Деление непрерывных величин на части и измерение представляют сопоставление дискретного и непрерывного; так, единица масштаба откладывается вдоль измеряемого отрезка отдельными шагами. В Древней Греции (вероятно, в 5 в. до н. э.) была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата: длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражалась никаким числом, т. к. понятия иррационального числа ещё не существовало. Потребовалось обобщение понятия числа, а именно создание понятия иррациональных чисел, общая теория которых была создана в 1870-х гг. Прямая (а вместе с ней и всякая фигура) стала рассматриваться как множество точек. Теперь эта точка зрения является господствующей. В известном смысле, почти всю математику можно рассматривать как науку, развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии. Это видно уже в понятии совокупности всех вещественных чисел как числовой прямой, соединяющей арифметические свойства чисел с непрерывностью.

Можно отметить следующие моменты влияния геометрии на развитие математики.

1) В возникновении и развитии математического анализа геометрия наряду с механикой имела решающее значение. Интегрирование происходит от задачи вычисления площадей и объёмов, изучавшейся ещё древними учёными, причём площадь и объём как величины считались определёнными; никакое аналитическое определение интеграла не давалось до 1-й пол. 19 в. Проведение касательных было одной из задач, породивших дифференцирование. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и до сих пор сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах «точка разрыва», «область изменения переменной» и т. п. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений в бoльшей части трактуется геометрически, важную роль в этой теории играют т. н. интегральные кривые. Вариационное исчисление возникло и развивается в большой мере на задачах геометрии, и её понятия играют в нём важную роль.

2) Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже 18–19 вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т. е. путём построения комплексной плоскости. В теории функций комплексного переменного геометрическим методам отводится существенная роль. Понятия и методы римановой геометрии находят применение как в теории функций одной комплексной переменной, так и в теории функций нескольких комплексных переменных.

3) Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0, 1]) рассматриваются как точки функционального пространства, причём отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций – как расстояние). При этом многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, оказывающееся плодотворным во многих случаях. Вообще, представление тех или иных математических объектов (функций, фигур и др.) как точек некоторого пространства с соответствующим геометрическим толкованием отношений этих объектов является одной из наиболее общих идей современной математики.

4) Геометрия оказывает влияние на алгебру, где используется, например, понятие векторного пространства, и на теорию чисел, где создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, с трудом поддающиеся решению другими методами.

5) Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики геометрии сыграли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. В геометрии вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

6) Дифференциальная топология, в которой изучаются топологические проблемы гладких многообразий, во многих случаях тесно переплетается с дифференциальной геометрией. При изучении задач геометрии в целом нередко возникают ситуации, когда некоторые геометрические характеристики рассматриваемых объектов могут быть представлены с помощью некоторых топологических инвариантов. Одно из направлений дифференциальной топологии – теория Ходжа, построенная в 1930-х гг. В этой теории используются методы и понятия римановой геометрии, теории уравнений в частных производных и функционального анализа.