Приближе́ние фу́нкций действи́тельного переме́нного, нахождение для данной функции $f$ функции $g$ из некоторого определённого класса, в том или ином смысле близкой к $f$, дающей её приближённое представление. Существуют различные варианты задачи о приближении функций, решения которых зависят от того, какие функции приближают, какие функции используются для приближения, как строятся приближающие функции $g$, как понимается близость $f$ и $g$.

Для оценки близости функции $f$ и приближающей её функции $g$ используются (в зависимости от рассматриваемой задачи) метрики различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций $C$ и пространств $L_p$, $p⩾1$, функций, $p$-я степень которых интегрируема, в которых расстояния между функциями $f$ и $g$ (заданными на отрезке$[a, b]$) определяются формулами

$$\|f-g\|_C=\max_{x \in [a,b]}\left| f(x)-g(x)\right| \tag{*}$$и

$$\|f-g\|_{L_p}=\left( \int\limits_a^b\left| f(x)-g(x)\right|^p dx \right)^{1/p}.$$Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций многочленами

$$g(x)=\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x),$$где $φ_0, \ldots, φ_n$ – заданные функции, а $a_0, \ldots, a_n$ – произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены

$$g(x)=\sum_{k=0}^n a_x x^k,$$или тригонометрические полиномы

$$g(x)=\sum_{k=0}^n (a_k \cos kx+b_k \sin kx).$$Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам, по собственным функциям краевых задач и т. п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби $P(x)/Q(x)$, где $P$, $Q$ – алгебраические многочлены заданной степени.

С 1960-х гг. значительное развитие получило приближение сплайнами. Их характерным примером являются кубические сплайны, определяемые следующим образом. Отрезок $[a, b]$ разбивается точками $a=x_0\lt x_1\lt \ldots \lt x_n=b$, и на каждом отрезке $[x_k, x_k+1]$ кубический сплайн является алгебраическим многочленом 3-й степени, причём эти многочлены подбираются так, что на всём отрезке$[a, b]$ непрерывны сам сплайн и его первая и вторая производные. Параметры, оставшиеся свободными, могут быть использованы для того, чтобы сплайн интерполировал в узлах $x_k$ приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов $x_k$ и удачного их расположения на отрезке $[a, b]$. Сплайны оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.

Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия «теория аппроксимации функций» и «конструктивная теория функций»). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

Теория приближений функций берёт начало в работах П. Л. Чебышёва. Он ввёл одно из основных понятий – понятие наилучшего приближения полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции $f(x)$ полиномами

$$\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x)$$в метрике (*) называется величина

$$E_n(f)_C=\min\bigg \| f- \sum_{k=0}^n a_kφ_k\bigg\|_C,$$где минимум берётся по всем числам $a_0, \ldots, a_n$. Полином, на котором этот минимум достигается, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышёв установил, что наилучшее приближение функций $x^{n+1}$ на отрезке$[–1,1]$ в метрике (*) алгебраическими многочленами степени $n$ равно $2^{–n}$, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

$$x^{n+1}-\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x)=2^{-n}\cos(n+1)\arccos x.$$Следующая теорема Чебышёва указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен $\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$ является полиномом наилучшего приближения непрерывной функции $f$ в метрике (*) в том и только в том случае, когда существуют $n+2$ точки $a⩽x_1\lt\ldots \lt x_{n+2}⩽b$, в которых разность $f(x)-\sum\limits_{k=0}^na_k x^k$ принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике (*) сколь угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.

С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при $n→∞$ последовательности $E_n(f)$ наилучших приближений функций $f$ алгебраическими или тригонометрическими многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю при росте $n$ величин $E_n(f)$ в зависимости от дифференциальных свойств функции $f$ (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой – изучаются свойства функции $f$ по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функции. Ниже приведены две такие теоремы.

Для того чтобы функция $f$ была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами были справедливы оценки

$$E_n(f)_C⩽Aq^n,$$где $q\lt 1$ и $A$ – некоторые положительные числа, не зависящие от $n$ (теорема Бернштейна).

Для того чтобы функция $f$ периода $2π$ имела производную порядка $r$,$r=0, 1, \ldots$, удовлетворяющую условию

$$\left |f^{(r)}(x+h)-f^{(r)}(x)\right|⩽M|h|^α$$($0\lt α\lt 1$, $M$ – некоторое положительное число) или условию

$$\left|f^{(r)}(x+h)-2f^{(r)}(x)+f^{(r)}(x-h)\right|⩽M|h|$$($M$ – некоторое положительное число), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функций $f$ тригонометрическими полиномами были справедливы оценки

$E_n(f)_C⩽A/n^{r+α},$где $A$ – некоторое положительное число, не зависящее от $n$. В этом утверждении прямая теорема была в основном доказана американским математиком Д. Джексоном, а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссена и американского математика А. Зигмунда. Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближений алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, рассматривая приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

Возможность характеризовать классы функций с помощью их приближений полиномами нашла приложение в ряде общих вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой справедливы не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

Для приближений в пространстве $L_2$ полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей, и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы $f+u$ не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций $f$ и $u$. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции $f(x)$ можно брать частные суммы её ряда Фурье по тригонометрической системе $S_n(f, x)$. При этом справедлива оценка (теорема Лебега)

$$\left \|f-S_n(f)\right\|_C⩽(L_n+1)E_n(f)_C,$$где $L_n$ – числа, растущие при росте $n$ как $(4/π^2)\ln n$, – т. н. константы Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы $S_n(f, x)$ доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего.

Важный пример линейного оператора, используемого при приближении функций, даёт интерполяция функций, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции и приближающего её полинома, а в более общем случае – и значения некоторых их производных. Оценка, подобная теореме Лебега, справедлива и для приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраическими многочленами на отрезке $[–1,1]$ с узлами $x_k=\cos\frac{2k-1}{2n} \pi$, $k=1, 2, \ldots, n$, т. е. в точках, где полином Чебышёва $\cos n \arccos x$ обращается в нуль.

Для большинства встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при $n→∞$, что и наилучшие приближения.

А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений – задачи о нахождении при фиксированном $n$ такой системы функций $φ_1, \ldots, φ_n$, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами $\sum\limits_{k=1}^n a_kφ_k(x)$ были бы наименьшими (задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы.

Теория приближений функций – одно из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики.