Термины

Логарифм

Логари́фм числа NN по основанию aa, показатель mm, в которую следует возвести число a,  a>0a,\;a>0, и a1a≠1, чтобы получить NN; обозначается logaN\text{log}_a\:N, т. е. m=logaNm =\text{log}_a\:N, если am=Na^m = N. Например, log10100=2,  log21/32=5,  loga1=0\text{log}_{10}100 = 2,\; \text{log}_2{1/32} = –5,\; \text{log}_a1 = 0 , т. к. 100=102,  1/32=25,  1=a0100 = 10^2,\; 1/32 = 2^{–5},\; 1=a^0. Для данного основания aa каждому положительному числу соответствует единственный действительный логарифм (логарифмы отрицательных чисел являются ).

Основные свойства логарифма

loga(MN)=logaM+logaN,\text{log}_a(MN)=\text{log}_aM+\text{log}_aN,loga(M/N)=logaMlogaN,\text{log}_a(M/N)=\text{log}_aM-\text{log}_aN,logaNk=klogaN,\text{log}_a\sqrt[k]N=k\text{log}_aN,logaNk=1klogaN,\text{log}_a\sqrt[k] N=\frac {1}{k}\text{log}_aN,где k,  M,  Nk,\; M,\; N, M,  N>0M,\; N>0, позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, а возведение в степень и к умножению и делению логарифмов на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.

Если основание aa фиксировано, то говорят об определённой системе логарифмов. В связи с широким использованием десятичной системы наиболее употребительны десятичные логарифмы, обозначаемые lgN\text{lg}N, для которых a=10a= 10. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную – мантиссой. Так как lg(10kN)=k+lgN\text{lg}(10^kN)=k+\text{lg}N, десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем 10k10^k, где kk, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц логарифмов, которые содержат лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Часто используются также натуральные логарифмы, основанием которых служит e=2,71828...; их обозначают lnN\text {ln}N. Переход от одного основания логарифма к другому осуществляется по формуле

logbN=logaN/logab,\text{log}_bN=\text{log}_aN/\text{log}_ab,число 1/logab1/\text{log}_ab называется модулем перехода от основания aa к основанию bb. Для перехода от натуральных логарифмов к десятичным или обратно используются формулы

lnN=lgN/lge,  lgN=lnN/ln10,\text{ln}N=\text{lg}N/\text{lg}e, \ \ \text{lg}N=\text{ln}N/\text{ln}10,

1/lge=2,30258...,    1/ln10=0,43429...1/\text{lg}e=2,30258...,\; \ \ 1/\text{ln}10=0,43429...Появление логарифмов связано с быстрым развитием в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением вычислений. Авторы первых таблиц логарифмов исходили из зависимости между свойствами и составленной из показателей степеней её членов . Эти зависимости, частично подмеченные , были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику (1544). Первые таблицы логарифмов составили одновременно и независимо друг от друга (1614, 1619) и швейцарский математик (1620). Важный шаг в теоретическом изучении логарифмов сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь логарифмов и площадей, ограниченных дугой , осью и соответствующими ординатами. Представление логарифмов

ln(a+x)=xx22+x33x44+...\text{ln}(a+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...предложено (1668). Шотландский математик и астроном Дж. Грегори (1668) нашёл разложение

lnMN=2(MNM+N+13(MNM+N)3+15(MNM+N)5+...).\text{ln}\frac{M}{N}= 2\left ( \frac{M-N}{M+N}+\frac{1}{3}\left(\frac{M-N}{M+N} \right )^3+\frac{1}{5}\left(\frac{M-N}{M+N} \right )^5+... \right ).Этот ряд быстро сходится, если M=N+1M=N+1 и NN достаточно велико, поэтому он может быть использован для вычисления логарифмов. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы , который ввёл понятие логарифмирования как действия, обратного возведению в степень.

Термин «логарифм» предложил Дж. Непер. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» – английскому математику , «мантисса» в указанном смысле – Л. Эйлеру, «основание» логарифма – ему же, понятие о модуле перехода ввёл Меркатор. Современное определение логарифма дано английским математиком В. Гардинером (1742).

Редакция математических наук
  • Математическая символика