Логари́фм числа $N$ по основанию $a$, показатель степени $m$, в которую следует возвести число $a,\;a>0$, и $a≠1$, чтобы получить $N$; обозначается $\text{log}_a\:N$, т. е. $m =\text{log}_a\:N$, если $a^m = N$. Например, $\text{log}_{10}100 = 2,\; \text{log}_2{1/32} = –5,\; \text{log}_a1 = 0$, т. к. $100 = 10^2,\; 1/32 = 2^{–5},\; 1=a^0$. Для данного основания $a$ каждому положительному числу соответствует единственный действительный логарифм (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами).

Основные свойства логарифма

$$\text{log}_a(MN)=\text{log}_aM+\text{log}_aN,$$$$\text{log}_a(M/N)=\text{log}_aM-\text{log}_aN,$$$$\text{log}_a\sqrt[k]N=k\text{log}_aN,$$$$\text{log}_a\sqrt[k] N=\frac {1}{k}\text{log}_aN,$$где $k,\; M,\; N$ – действительные числа, $M,\; N>0$, позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, а возведение в степень и извлечение корня к умножению и делению логарифмов на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.

Если основание $a$ фиксировано, то говорят об определённой системе логарифмов. В связи с широким использованием десятичной системы счисления наиболее употребительны десятичные логарифмы, обозначаемые $\text{lg}N$, для которых $a= 10$. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную – мантиссой. Так как $\text{lg}(10^kN)=k+\text{lg}N$, десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем $10^k$, где $k$ – целое число, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц логарифмов, которые содержат лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Часто используются также натуральные логарифмы, основанием которых служит неперово число e=2,71828...; их обозначают $\text {ln}N$. Переход от одного основания логарифма к другому осуществляется по формуле

$$\text{log}_bN=\text{log}_aN/\text{log}_ab,$$число $1/\text{log}_ab$ называется модулем перехода от основания $a$ к основанию $b$. Для перехода от натуральных логарифмов к десятичным или обратно используются формулы

$$\text{ln}N=\text{lg}N/\text{lg}e, \ \ \text{lg}N=\text{ln}N/\text{ln}10,$$

$$1/\text{lg}e=2,30258...,\; \ \ 1/\text{ln}10=0,43429...$$Появление логарифмов связано с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением вычислений. Авторы первых таблиц логарифмов исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степеней её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные Архимедом, были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые таблицы логарифмов составили одновременно и независимо друг от друга Дж. Непер (1614, 1619) и швейцарский математик Й. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении логарифмов сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь логарифмов и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление логарифмов степенным рядом

$$\text{ln}(a+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$$предложено Н. Меркатором (1668). Шотландский математик и астроном Дж. Грегори (1668) нашёл разложение

$$\text{ln}\frac{M}{N}= 2\left ( \frac{M-N}{M+N}+\frac{1}{3}\left(\frac{M-N}{M+N} \right )^3+\frac{1}{5}\left(\frac{M-N}{M+N} \right )^5+... \right ).$$Этот ряд быстро сходится, если $M=N+1$ и $N$ достаточно велико, поэтому он может быть использован для вычисления логарифмов. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы Л. Эйлера, который ввёл понятие логарифмирования как действия, обратного возведению в степень.

Термин «логарифм» предложил Дж. Непер. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» – английскому математику Г. Бриггсу, «мантисса» в указанном смысле – Л. Эйлеру, «основание» логарифма – ему же, понятие о модуле перехода ввёл Меркатор. Современное определение логарифма дано английским математиком В. Гардинером (1742).