Элемента́рная геоме́трия, часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы элементарной геометрии не являются строго очерченными. Помимо той части геометрии, которая изучается в средней школе, в элементарную геометрию включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (например, аксиоматика, сферическая геометрия). Элементарная геометрия есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из неё развились другие геометрические направления); в своих основах она сложилась в Древней Греции, и изложение её основ дают уже «Начала» Евклида. Такое историческое определение закономерно, но и оно также не уточняет общего содержания и характера элементарной геометрии, тем более что её развитие продолжается и ныне.

В Древней Греции исследовали не только многоугольники, окружность, многогранники и другие фигуры, рассматриваемые в школьном курсе, но также конические сечения (эллипс, гипербола, парабола) и ряд других, более сложных, кривых и фигур. Однако каждый раз кривая (фигура) задавалась конкретным геометрическим построением, только такие кривые (фигуры) считались геометрическими, т. е. могущими быть предметом геометрии. Эта точка зрения была отвергнута в 17 в. Р. Декартом при создании им аналитической геометрии и полностью преодолена вместе с развитием анализа, когда предметом математики стали любые (по крайней мере любые аналитические) функции и кривые. В этом исторически ясно обозначенном переходе от конкретно определённых кривых (окружность, эллипс и т. д.) и функций (данная степень $x$, синус и т. п.) к любым кривым и функциям и состоит логический переход от элементарной математики, в частности от элементарной геометрии, к высшей. Такой подход совершенно исключает рассмотрение любых аналитических кривых и поверхностей, которые составляют уже предмет дифференциальной геометрии, любых выпуклых тел, которые служат предметом геометрии выпуклых тел, и т. п. Вместе с тем каждая данная кривая, каждое данное выпуклое тело и т. п., определённые тем или иным построением или конкретным свойством (например, эллипс, цилиндр), могут стать предметом элементарной геометрии. Следовательно, элементарная геометрия характеризуется в смысле её предмета тем, что в ней рассматриваются не вообще любые фигуры, но каждый раз те или иные достаточно определённые фигуры.

Точнее, элементарная геометрия исходит из простейших фигур – точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков и углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство. Кроме того, при строгом аксиоматическом построении элементарной геометрии явно выделяются понятия: «точка лежит на прямой» или «на плоскости», «точка лежит между двумя другими». Предмет элементарной геометрии составляют: 1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур (как, например, многоугольник определяется конечным числом отрезков, многогранник – конечным числом многоугольников, а значит, опять-таки отрезков); 2) фигуры, определённые тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях (например, эллипс с фокусами $a, b$ есть геометрическое место таких точек $x$, что сумма отрезков $ax$ и $bx$ равна данному отрезку); 3) фигуры, определённые построением (как, например, конус строится проведением прямых из данной точки $O$ во все точки какой-либо данной окружности, не лежащей с $O$ в одной плоскости, а коническое сечение определяется пересечением конуса плоскостью). Фигура, как бы сложна она ни была, заданная подобным образом, может стать предметом исследования в рамках элементарной геометрии. Что касается свойств таких фигур, то элементарная геометрия ограничивается изучением свойств, которые определяются на основе указанных простейших понятий. Свойства эти суть прежде всего взаимное расположение фигур, равенство тех или иных элементов фигуры, длина, площадь, объём. Соответственно определения длины окружности, площади эллипса, объёма шара и т. п. принадлежат элементарной геометрии. Однако общие понятия длины, площади и объёма лежат за пределами элементарной геометрии, например теорема о том, что среди всех замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь ограничивает окружность, хотя и говорит о свойстве окружности, не принадлежит элементарной геометрии, т. к. в ней фигурирует понятие длины любой замкнутой кривой и ограничиваемой ею площади. В элементарной геометрии рассматриваются свойства касательной к окружности, можно рассматривать и свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе, но общее понятие касательной лежит за пределами элементарной геометрии. Это логическое различие в общности понятий и степени абстракции вполне отвечает историческому развитию, ибо общие понятия длины, площади, объёма, так же как общее понятие касательной к кривой, были постепенно выработаны только вместе с развитием анализа, а указанная теорема о максимальном свойстве окружности была строго доказана только в середине 19 в. Геометрии построения и преобразования, изучаемые в элементарной геометрии, определяются опять-таки конкретными геометрическими предписаниями на основе первичных понятий геометрии.

Соответственно предмету элементарной геометрии, ограничены и её методы; они заведомо исключают пользование общими понятиями произвольной фигуры, переменной, функции, исключают ссылки на общие теоремы теории пределов и т. п. Основной метод элементарной геометрии – это вывод теорем путём наглядного рассуждения, основанного либо на исходных посылках – аксиомах, либо на уже известных теоремах элементарной геометрии, с применением того или иного вспомогательного построения, не употребляющего общих понятий кривой, тела и др. Привлекаемые в элементарной геометрии вычислительные средства из алгебры и тригонометрии допускают, по существу, сведение к таким построениям. Понятие предела не исключается из элементарной геометрии, поскольку оно фигурирует в теоремах о длине окружности, поверхности шара и др., бесспорно включаемых в элементарную геометрию. Однако в каждом таком случае речь идёт о конкретной последовательности, заданной элементарно-геометрическим построением, и приближение к пределу устанавливается непосредственно, без ссылок на общую теорию пределов. Примером может служить определение длины окружности посредством рассмотрения последовательности вписанных и описанных правильных многоугольников. Подобный приём в принципе возможен для любой данной кривой, но для произвольной кривой вообще ничего подобного сделать нельзя, поскольку «кривая вообще» не задана конкретно. Вследствие этого разница между элементарной геометрии, вообще элементарной математикой и высшей состоит скорее не в том, что во второй применяется понятие предела, а в первой – нет, а в степени общности этого понятия. Соответственно определению метода элементарной геометрии та или иная теория может принадлежать элементарной геометрии по формулировке, но не по доказательству.

Коротко можно сказать, что элементарная геометрия включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определённые множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом, то забывают, что при введении общих понятий кривой, выпуклого тела, длины и др. фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающиеся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию элементарной геометрии, можно говорить об элементарной геометрии $n$-мерного евклидова пространства, о элементарной геометрии Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.