Ба́нахова а́лгебра, топологическая алгебра $A$ над полем комплексных чисел, топология которой определяется нормой, превращающей $A$ в банахово пространство, причём умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Банахова алгебра называется коммутативной, если $xy=yx$ для всех $x,y \in A$. Банахова алгебра $A$ называется алгеброй с единицей, если $A$ содержит такой элемент $e$, что $e x=x e=x$ для любого $x \in A$. Если в банаховой алгебре $A$ нет единицы, то её можно присоединить, т. е. построить банахову алгебру $\tilde{A}$ с единицей такую, что $\tilde{A}$ содержит исходную алгебру $A$ в качестве замкнутой подалгебры коразмерности $1$. В любой банаховой алгебре $A$ с единицей $e$ можно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения $\|a b\| \leqslant\|a\|\|b\|$, $\|e\|=1$. (Последующее изложение предполагает, как правило, наличие в алгебре единицы и выполнение приведённых соотношений для нормы.)

Примеры: 1) Пусть $X$ – компактное топологическое пространство, $C(X)$ – совокупность всех непрерывных комплексных функций на $X$. Тогда $C(X)$ является банаховой алгеброй относительно поточечных операций и нормы

$$\|f\|=\max _X|f|.$$2) Множество всех ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве образует банахову алгебру относительно обычных операций сложения и умножения линейных операторов и нормы оператора.

3) Пусть $V$ – ограниченная область в $n$-мерном комплексном пространстве $\mathbb{C}^n$. Совокупность ограниченных голоморфных функций на $V$ является относительно поточечных операций и естественной $\sup$-нормы:

$$\|f\|=\underset{V}{\sup} |f| \text {. }$$Эта банахова алгебра содержит замкнутую подалгебру, образованную ограниченными голоморфными функциями на $V$, допускающими непрерывное продолжение на замыкание области $V$. Простейшим примером является алгебра непрерывных в круге $|z| \leqslant 1$ функций, аналитических в круге $|z|<1$.

4) Пусть $G$ – локально компактная группа и $L^1(G)$ – пространство (классов эквивалентности) всех измеримых относительно меры Хаара на $G$ абсолютно интегрируемых по этой мере функций, снабжённое нормой

$$\|f\|=\int_G|f(g)|\, d g$$(интеграл по левой мере Хаара).

Если в качестве умножения в $L^1(G)$ рассмотреть операцию свёртки

$$\left(f_1 * f_2\right)(h)=\int_G f_1(g) f_2\left(g^{-1} h\right)\, d g,$$то $L^1(G)$ становится банаховой алгеброй; если $G$ – абелева локально компактная группа, то банахова алгебра $L^1(G)$ коммутативна. Банахова алгебра $L^1(G)$ называется групповой алгеброй локально компактной группы $G$. Групповая алгебра $L^1(G)$ обладает единицей (относительно свёртки) тогда и только тогда, когда $G$ дискретна.

Если $G$ коммутативна, то можно построить точное представление банаховой алгебры $L^1(G)$, сопоставляя каждой функции $f \in L^1(G)$ преобразование Фурье этой функции, т. е. функцию

$$\hat{f}(\chi)=\int_G \chi(g) f(g)\, d g,$$на группе характеров $\hat{G}$ группы $G$. Совокупность функций $\hat{f}\left(\chi\right)$ образует некоторую алгебру $A(\hat{G})$ непрерывных функций на $\hat{G}$ (относительно обычных поточечных операций), называемую алгеброй Фурье локально компактной абелевой группы $\hat{G}$. В частности, если $G$ есть группа целых чисел $\mathbb{Z}$, то $A(\mathbb{Z})$ есть алгебра непрерывных функций на окружности, разлагающихся в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд.

5) Пусть $G$ – топологическая группа. Непрерывная комплексная функция $f(g)$ на $G$ называется почти периодической, если совокупность её сдвигов $f\left(g_0 g\right)$, $g_0 \in G$ образует компактное семейство относительно равномерной сходимости на $G$. Совокупность почти периодических функций образует коммутативную банахову алгебру относительно поточечных операций и нормы

$$\|f\|=\sup _{g \in G}|f(g)|.$$6) Тело кватернионов не образует банахову алгебру над полем комплексных чисел, т. к. произведение элементов банаховой алгебры $A$ должно быть согласовано с умножением на числа: для любых $\lambda \in \mathbb{C}$ и $x, y \in A$ должно выполняться равенство

$$\lambda(x y)=(\lambda x) y=x(\lambda y) \text {, }$$которое не выполняется в теле кватернионов при $\lambda=i$, $x=j$, $y=k$.

Всякая банахова алгебра с единицей есть топологическая алгебра с непрерывным обратным. Более того, если $\varepsilon(A)$ – множество элементов банаховой алгебры $A$, обладающих (двусторонним) обратным относительно умножения, то $\varepsilon(A)$ – топологическая группа в топологии, индуцированной вложением $\varepsilon(A) \subset A$. Если $\|e-a\|<1$, то $a \in \varepsilon(A)$, причём

$$a^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} b^n,$$где $b=e-a$, и ряд сходится абсолютно. Совокупность элементов, обратимых справа (слева) в $A$, также образует открытое множество в $A$.

Если в банаховой алгебре $A$ всякий элемент обладает обратным (или хотя бы левым обратным), то алгебра $A$ изометрически изоморфна полю комплексных чисел (теорема Гельфанда – Мазура).

Поскольку некоторая окрестность единицы в банаховой алгебре $A$ состоит из обратимых элементов, то замыкание любого нетривиального идеала есть снова идеал, не совпадающий с $A$. В частности, максимальный (левый, правый, двусторонний) идеал замкнут.

Одну из важных задач теории банаховой алгебры составляет задача описания замкнутых идеалов в банаховой алгебре. В ряде случаев она решается просто. В алгебре $C(X)$ (см. пример 1) всякий замкнутый идеал имеет вид $I=\left\{f \in C(X):\left.f\right|_Y=0\right\}$, где $Y$ – замкнутое множество в $X$. Если $A$ – алгебра всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве, то единственным замкнутым двусторонним идеалом в $A$ служит идеал вполне непрерывных операторов.

Элемент $a \in A$ имеет левый (правый) обратный тогда и только тогда, когда он не содержится ни в каком максимальном левом (правом) идеале. Пересечение всех левых максимальных идеалов в $A$ совпадает с пересечением всех правых максимальных идеалов; это пересечение называется радикалом алгебры $A$ и обозначается $\operatorname{Rad} A$. Элемент $a_0 \in A$ принадлежит $\operatorname{Rad} A$ тогда и только тогда, когда $e + a a_0 \in \varepsilon(A)$ для любого $a \in A$. Алгебры, для которых $\operatorname{Rad} A=\{0\}$, называются полупростыми. Алгебры $C(X)$ и групповые алгебры $L^1(G)$ полупросты. Полупростыми являются все неприводимые (т. е. не имеющие нетривиального инвариантного подпространства) замкнутые подалгебры алгебры всех ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве.

Резольвентой элемента $a \in A$ называется функция

$$\lambda \rightarrow a_\lambda=(a-\lambda e)^{-1},$$определённая на множестве тех $\lambda \in \mathbb{C}$, для которых (двусторонний) обратный к $a-\lambda e$ существует. Область существования резольвенты содержит все точки $\lambda$ с $|\lambda|>\|a\|$. Максимальная область существования резольвенты есть открытое множество; на этом множестве резольвента непрерывна и даже аналитична, причём $\frac{d a_{\lambda}}{d \lambda}=a_\lambda^2$. Кроме того, имеет место тождество Гильберта

$$a_{\lambda_2}-a_{\lambda_1}=\left(\lambda_2-\lambda_1\right) a_{\lambda_1} a_{\lambda_2} \text {. }$$Дополнение к области существования резольвенты называется спектром элемента $a$ и обозначается $\sigma(a)$. Для любого $a \in A$ множество $\sigma(a)$ непусто, замкнуто и ограничено.

Если $a, b \in A$, то множества $\sigma(a b)$ и $\sigma(b a)$ могут не совпадать, но

$$\sigma(a b) \cup\{0\}=\sigma(b a) \cup\{0\}.$$Число

$$|a|=\max _{\lambda \in \sigma(a)}|\lambda|$$называется спектральным радиусом элемента $a \in A$; имеет место формула Гельфанда

$$|a|=\lim \left\|a^n\right\|^{1 / n},$$где предел справа всегда существует. Если $a \in \mathrm{Rad} A$, то $|a|=0$; обратное верно, вообще говоря, лишь в коммутативных банаховых алгебрах, радикал которых совпадает с множеством обобщённых нильпотентов, т. е. элементов $a \in A$, для которых $|a|=0$. В любой банаховой алгебре справедливы соотношения $\left|a^k\right|=|a|^k$, $|\lambda a|=|\lambda||a|$ и $|a| \leqslant\|a\|$; если A коммутативна, то $|a b| \leqslant|a||b|$ и $|a+b| \leqslant|a|+|b|$.

Известны примеры некоммутативных алгебр, в которых отсутствуют ненулевые обобщённые нильпотенты. Однако, если $\left\|a^2\right\|=\|a\|^2$ для любого $a \in A$, то банахова алгебра $A$ коммутативна. Условие $\|a b\|=\|b a\|$ для всех $a, b \in A$ также достаточно для коммутативности (алгебры с единицей) $A$.

Алгебра $A$ называется алгеброй с инволюцией, если на $A$ определена операция $a \rightarrow a^*$, удовлетворяющая условиям:

$$(\lambda a+\mu b)^*=\bar{\lambda} a^*+\bar{\mu} b^*,\quad \left(a^*\right)^*=a,\quad (a b)^*=b^* a^*$$для всех $a, b \in A$, $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$; отображение $a \rightarrow a^*$ называется инволюцией в $A$. Линейный функционал $\psi$ на алгебре $A$ с инволюцией называется положительным, если $\psi\left(a a^*\right) \geqslant 0$ для любого $a \in A$. При положительном линейном функционале $\psi$

$$|\psi(a)|^2 \leqslant \psi(e) \psi\left(a a^*\right)$$для всех $a \in A$. Если инволюция в $A$ изометрична, то есть $\left\|a^*\right\|=\|a\|$ для всех $a \in A$, то

$$\psi\left(a^* a\right) \leqslant \psi(e)\left|a^* a\right| .$$Банахова алгебра с инволюцией $A$ называется вполне симметричной, если $e+a^* a \in \varepsilon(A)$ для любого $a \in A$; $A$ называется $C^*$-алгеброй (вполне регулярной алгеброй), если $\left\|a^* a\right\|=\|a\|^2$ для любого $a \in A$. Всякая $C^*$-алгебра вполне симметрична. Примерами вполне симметричных алгебр служат групповые алгебры $L^1(G)$ коммутативных, или компактных, групп. Примерами $C^*$-алгебр служат алгебры $C(X)$ (инволюция в $C(X)$ определяется как переход к комплексно сопряжённой функции) и замкнутые подалгебры алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, содержащие вместе с данным оператором сопряжённый оператор (инволюция определяется как переход к сопряжённому оператору). Любая $C^*$-алгебра изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из таких алгебр (теорема Гельфанда – Наймарка). В частности, любая коммутативная $C^*$-алгебра $A$ изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из алгебр $C(X)$ (это утверждение содержит теорему Стоуна – Вейерштрасса).

Элемент $a$ банаховой алгебры с инволюцией называется эрмитовым, если $a^*=a$. Для того чтобы банахова алгебра с инволюцией была $C^*$-алгеброй, необходимо и достаточно выполнение условия $\left\|e^{i a}\right\|=1$ для всех эрмитовых элементов $a$. Если в банаховой алгебре с инволюцией $\operatorname{sup} \left\|e^{i a}\right\|<\infty$ (верхняя грань по всем эрмитовым элементам), то такая алгебра топологически $t$-изоморфна $C^*$-алгебре. Если в произвольной банаховой алгебре $\left\|e^{i t a}\right\|=1$ при всех действительных $t$ для некоторого элемента $a$, то $\|a\|$ совпадает со спектральным радиусом, т. е. $\|a\|=|a|$.

Теория банаховых алгебр (в особенности коммутативных банаховых алгебр) имеет многочисленные приложения в различных областях функционального анализа и ряде других математических дисциплин.