Эллипти́ческая фу́нкция в собственном смысле, двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного $z$. Эллиптические функции обладают следующими основными свойствами.

Не существует целых эллиптических функций, кроме констант (теорема Лиувилля).

Пусть $2 \omega_1$, $2 \omega_3$ – примитивные периоды эллиптической функции $f(z)$, $\operatorname{Im} \left(\omega_3 / \omega_1\right)>0$. Сумма вычетов всех полюсов $f(z)$ в её параллелограмме периодов

$$\Delta=\left\{z=2 t \omega_1+2 \tau \omega_3 ; \quad 0 \leqslant t<1, \quad 0 \leqslant \tau<1\right\}$$равна нулю.

Пусть $r$ – число полюсов (с учётом их кратности) эллиптической функции $f(z)$ в параллелограмме периодов $\Delta$. Тогда $f(z)$ принимает в $\Delta$ каждое конечное значение с учётом кратности в точности $r$ раз. Число $r$ называется порядком эллиптической функции. Не существует эллиптических функций, порядок которых меньше $2$.

Если $a_i$ и $b_i$, $i=1, \ldots, r$ – все нули и полюсы эллиптической функции $f(z)$ в её параллелограмме периодов $\Delta$ с учётом их кратности, то сумма

$$\sum_{i=1}^r\left(a_i-b_i\right)$$сравнима с нулём по модулю периодов, т. е.

$$\sum_{i=1}^r\left(a_i-b_i\right)=2 m_1 \omega_1+2 m_3 \omega_3,$$где $m_1$, $m_3$ – целые числа (частный случай теоремы Абеля, см. Абелева функция).

Все эллиптические функции с фиксированными примитивными периодами $2 \omega_1$, $2 \omega_3$ образуют алгебраическое поле эллиптических функций с двумя образующими. В качестве этих образующих можно взять, например, функцию Вейерштрасса $\wp$ и её производную (см. Эллиптические функции Вейерштрасса).

Производная эллиптической функции является, в свою очередь, эллиптической функцией того же порядка, с теми же периодами. Каждая эллиптическая функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка.

Каждая эллиптическая функция $f(z)$ допускает алгебраическую теорему сложения, т. е. значения $f\left(z_1\right)$, $f\left(z_2\right)$, $f\left(z_1+z_2\right)$ связаны неприводимым алгебраическим уравнением с постоянными коэффициентами. Верно и обратное; именно, справедлива теорема Вейерштрасса: всякая аналитическая функция $f(z)$, допускающая алгебраическую теорему сложения, либо является рациональной функцией от $z$ или от $e^z$, либо есть эллиптическая функция.

Иногда применяется более общая терминология, связанная с теорией тета-функций. Эллиптической функцией 3-го рода называется всякая мероморфная функция $f(z)$, удовлетворяющая функциональному уравнению

$$f\left(z+2 \omega_i\right)=\exp \left[a_i\left(z+\omega_i\right)+b_i\right] \cdot f(z), \quad i=1,3,$$где $a_i$, $b_i$ – некоторые постоянные. Если $a_1=a_3=0$, то $f(z)$ называется эллиптической функцией 2-го рода. Если $a_1=a_3=b_1=b_3=0$, то $f(z)$ называется эллиптической функцией 1-го рода или эллиптической функцией в собственном смысле. По этой терминологии тета-функции Якоби (см. Эллиптические функции Якоби) и сигма-функции Вейерштрасса суть эллиптические функции 3-го рода.

Впервые эллиптические интегралы исследовались в работах учёных конца 17 – начала 19 вв. Я. Бернулли (Ј. Bernoulli), И. Бернулли (Ј. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера (L. Euler), A.-М. Лежандра (A. Legendre). Эти интегралы появились в задачах вычисления длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка. Они имеют вид $\int R(z, w)\, d z$, где $R$ – рациональная функция от переменных $z$ и $w$, связанных алгебраическим уравнением

$$w^2=a_0 z^4+a_1 z^3+a_2 z^2+a_3 z+a_4,$$в котором справа стоит многочлен 4-й или 3-й степени без кратных корней. Подынтегральная функция однозначна на двулистной компактной римановой поверхности $F$ рода $g=1$ с четырьмя точками ветвления. Дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го рода на F (см. Дифференциал на римановой поверхности) порождают соответственно эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода. Интеграл 1-го рода является главной униформизирующей поверхности $F$ и поля алгебраических функций, порождаемых $F$. Если принять его за независимую переменную, то это поле переходит в поле эллиптических функций.

Идея непосредственного обращения эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была развита в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Јacobi) в начале 19 в. Развитое К. Якоби построение эллиптических функций на основе тета-функций имеет основное значение для приложений эллиптических функций. Теоретически более простое построение поля эллиптических функций, при котором в качестве образующих берутся функция $\wp$ и её производная, было дано К. Вейерштрассом (K. Weierstraβ) в 70-х гг. 19 в.

При развитии теории эллиптических функций одной из основных является проблема преобразования эллиптических функций и связанных с ними величин при переходе от примитивных периодов $2 \omega_1$, $2 \omega_3$ к другим примитивным периодам $2 \hat{\omega}_1$, $2 \hat{\omega}_3$, связанным соотношениями

$$\hat{\omega}_1=\alpha \omega_1+\beta \omega_3, \quad \hat{\omega}_3=\gamma \omega_1+\delta \omega_3,$$где $\alpha, {\beta}, \gamma, \delta$ – целые числа, такие, что $\alpha \delta-\beta \gamma=n$, $n$ – натуральное число, называемое порядком преобразования. Площадь параллелограмма периодов $2 \hat{\omega}_1, 2 \hat{\omega}_3$ в $n$ раз больше площади параллелограмма периодов $2 \omega_1, 2 \omega_3$. При $n=1$ получаются преобразования модулярной группы, откуда возникла связанная с эллиптическими функциями теория модулярных функций.

Эллиптические функции можно трактовать как мероморфные функции, инвариантные относительно преобразований группы сдвигов

$$\left\{z \rightarrow z+2 n \omega_1+2 m \omega_3 ; \quad n, m \in \mathbb{Z}\right\}$$комплексной плоскости. Обобщение этого подхода привело к рассмотрению автоморфных функций, инвариантных относительно дробно-линейных отображений, составляющих группы более общей природы. Эллиптические функции и модулярные функции суть частные случаи автоморфных функций.

Обращение эллиптических интегралов сразу же привело к проблеме обращения Якоби более общих абелевых интегралов$\int R(z, w)\, d z$, где переменные $z$ и $w$ связаны произвольным алгебраическим уравнением. На этом пути получаются абелевы функции – обобщение эллиптических функций на случай нескольких комплексных переменных.

Эллиптические функции и эллиптические интегралы находят многочисленные применения (как специальные функции) во многих разделах анализа, как средство униформизации в алгебраической геометрии, а также в механике, электродинамике и других прикладных областях.