Биномиа́льный ряд, степенной ряд вида

$$\sum_{n=0}^{\infty}\binom\alpha n z^n = 1 + \binom\alpha1 z + \binom\alpha2 z^2 + \ldots,$$где $n$ – целое, а $\alpha$ – произвольное фиксированное число (вообще говоря, комплексное), $z=x+iy$ – комплексное переменное, $\dbinom\alpha n$ – биномиальные коэффициенты. Для целых $\alpha=m\geqslant0$ биномиальный ряд сводится к конечной сумме $m+1$ слагаемых

$$(1 + z)^m = 1 + m z + \frac{m(m-1)}{2!}z^2+...+z^m,$$называемой биномом Ньютона. Для остальных значений $\alpha$ биномиальный ряд абсолютно сходится при $|z| <1$ и расходится при $|z|> 1$. В граничных точках единичной окружности $|z| = 1$ биномиальный ряд ведёт себя следующим образом:

1) если $\mathrm{Re\,} \alpha > 0$, то он абсолютно сходится во всех точках окружности $|z| = 1$;

2) если $\mathrm{Re\,}\alpha\leqslant-1$, то он расходится во всех точках окружности $|z| = 1$;

3) если $-1\leqslant\mathrm{Re\,}\alpha\leqslant0$, то биномиальный ряд расходится в точке $z=-1$ и условно сходится во всех остальных точках окружности $|z| = 1$.

Во всех точках, в которых биномиальный ряд сходится, он представляет главное значение функции $(1+z)^\alpha$, равное $1$ при $z= 0$. Биномиальный ряд является частным случаем гипергеометрического ряда.

Если $z = x$ и $\alpha$ – действительные числа, причём $\alpha$ не есть целое неотрицательное число, то биномиальный ряд ведёт себя следующим образом:

1) если $\alpha> 0$, то он абсолютно сходится при $-1\leqslant x\leqslant1$;

2) если $\alpha\leqslant-1$, то биномиальный ряд абсолютно сходится при $-1<x<1$ и расходится при всех иных значениях $x$;

3) если $-1<\alpha\leqslant0$, то биномиальный ряд абсолютно сходится при $-1<x<1$, условно сходится при $x=1$ и расходится при $x=-1$; при $|x|>1$ биномиальный ряд всегда расходится.

Биномиальный ряд появляется впервые, по-видимому, у И. Ньютона в 1664–1665 гг. Исчерпывающее исследование биномиального ряда было проделано Н. Абелем (1826). Оно послужило началом теории степенных рядов в комплексной области.