Дифференциа́льная фо́рма, 1) дифференциальная форма степени $p$ ($p$-форма на дифференцируемом многообразии $M$) – $p$ раз ковариантное тензорное поле на $M$. Её можно интерпретировать также как $p$-линейное [над алгеброй $F(M)$ гладких вещественных функций на $M$] отображение $\mathscr X(M)^p \to F(M)$, где $\mathscr X(M)$ есть $F(M)$-модуль гладких векторных полей на $M$. Формы степени $1$ называют также пфаффовыми формами. Примером такой формы является дифференциал $df$ гладкой функции $f$ на $M$, определяемый следующим образом: $(df)(X)$, $X \in \mathscr X(M)$, есть производная $Xf$ функции $f$ по направлению поля $X$. Римановы метрики на многообразии $M$ служат примерами симметрических дифференциальных форм степени $2$. Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений.

Если $(x^1, \dots, x^n)$ – локальная система координат в области $U\subset M$, то формы $dx^1,\dots,dx^n$ составляют базис в кокасательном пространстве $T_x(M)^*$, $x\in U$. Поэтому (см. в статье Внешняя алгебра) любая внешняя $p$-форма $\alpha$ записывается в $U$ в виде$$\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_p} a_{i_1,\dots,i_p} dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_p}, \tag{1}$$где $a_{i_1 \dots i_p}$ – функции в $U$. В частности,$$df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i.$$Пусть $E^p = E^p(M)$ – пространство всех внешних $p$-форм класса $C^\infty$, причём $E^0(M) = F(M)$. Внешнее умножение $\alpha\wedge\beta$ превращает $E^*(M) = \sum_{p=0}^n E^p(M)$ (где $n = {\rm dim}\, M$) в ассоциативную градуированную алгебру над $F(M)$, удовлетворяющую условию градуированной коммутативности$$\alpha\wedge\beta = (-1)^p \beta\wedge\alpha, \qquad \alpha \in E^p, \quad \beta \in E^q. \tag{2}$$Гладкое отображение многообразий $f:M\to N$ порождает гомоморфизм $f^*: E^*(N) \to E^*(M)$ алгебр над $\mathbb R$.

Понятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого $p\ge 0$ существует единственное линейное отображение $d: E^p \to E^{p+1}$ (внешний дифференциал), совпадающее при $p=0$ с введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами:$$d (\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta+(-1)^p \alpha\wedge d\beta, \quad \alpha\in E^p, \quad \beta \in E^q,\quad d(d\alpha)=0.$$Внешний дифференциал формы $\alpha$, записанной в локальных координатах в виде $(1)$, выражается формулой$$d\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_p} d a_{i_1\dots i_p} \wedge dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_p}.$$Его бескоординатная запись:$$\begin{aligned} d\alpha(X_1,\dots,X_{p+1}) = \sum_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X_i \alpha(X_1, \dots, \hat X_i, \dots, X_{p+1}) - \\ - \sum_{i<j} (-1)^{i+j} \alpha([X_i, X_j], X_1, \dots, \hat X_i, \dots, \hat X_j, \dots, X_{p+1}), \end{aligned}$$где $X_1,\dots,X_{p+1}\in \mathscr X(M)$. Оператор взятия производной Ли $L_X$, $X\in \mathscr X(M)$, на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношением$$L_X = d \circ i_X + i_X \circ d,$$где $i_X: E^p \to E^{p-1}$ – оператор внутреннего умножения на $X$:$$\begin{aligned} (i_X \alpha)(X_1, \dots,X_{p-1}) = \alpha(X, X_1, \dots,X_{p-1}), \\ \alpha \in E^p(M), \quad X_1,\dots, X_{p-1} \in \mathscr X(M). \end{aligned}$$Оператор $d$ превращает $E^*(M)$ в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно теореме де Рама, алгебра когомологий$$H^*(M) = \sum_{p=0}^n H^p(M)$$комплекса де Рама изоморфна алгебре $H^*(M, \mathbb R)$ вещественных когомологий многообразия $M$. В частности, $H^p(\mathbb R^n) = 0$ при $p>0$ (лемма Пуанкаре).

С теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть $D$ – ограниченная область в $\mathbb R^p$, $s$ – гладкое отображение $\mathbb R^p \to M$, определённое в окрестности замыкания $\bar D$. Если $\alpha \in E^p(M)$, то $s^* \alpha = a dx^1 \wedge \dots\wedge dx^p$, где $a$ – гладкая функция в $\bar D$. Интеграл формы $\alpha$ по поверхности $s$ определяется формулой$$\int_s \alpha = \int_D a(x_1, \dots, x_p) dx^1\dots dx^p.$$Если $D$ имеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула$$\int_s d\alpha = \int_{\partial s} \alpha, \quad \alpha \in E^{p-1}(M), \tag{3}$$где $\int_{\partial s} \alpha$ определяется как сумма интегралов формы $\alpha$ по гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница, Грина, Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также Теорема Стокса). В силу формулы (3) каждая замкнутая $p$-форма $\alpha$ определяет $p$-мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе $s$ равно $\int_s \alpha$. Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама.

Формула (3) была опубликована в 1899 г. А. Пуанкаре (Poincaré. 1987), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно Э. Картан (см. Cartan. 1953) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй.

Наряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в векторном пространстве $V$ над $\mathbb R$. Если $V$ является алгеброй, то в пространстве $E(M, V)$ форм со значениями в $V$ определено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра $V$ ассоциативна, то и $E(M,V)$ ассоциативна; если $V$ коммутативна, то $E(M,V)$ градуированно-коммутативна [формула (2)]; если $V$ – алгебра Ли, то $E(M,V)$ – градуированная алгебра Ли. Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть $F$ – гладкое векторное расслоенное пространство с базой $M$. Если сопоставить каждой точке $x\in M$ кососимметрическую $p$-линейную функцию на $T_x(M)$ со значениями в слое $F_x$ расслоения $F$, то получится т. н. $F$-значная $p$-форма. $F$-значную $p$-форму можно интерпретировать также как $p$-линейное [над $F(M)$] отображение модуля $\mathscr X(M)^p$ в модуль гладких сечений расслоения $F$. Пространство таких форм обозначается $E^p(F)$. Если $F$ задано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в $F$ задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай.

Формы со значениями в касательном расслоении $T(M)$ называют также векторными дифференциальными формами; векторные $p$-формы можно отождествить с $p$ раз ковариантными и $1$ раз контравариантными тензорными полями на $M$, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм $E(M)$ (Frölicher. 1956). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях.

Аналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к X. Уитни (Уитни. 1960), может быть использована для вычисления рациональных когомологий симплициального комплекса $K$. Кусочно-линейной формой (или $PL$-формой) на $K$ называется согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса $K$ и имеющих в качестве коэффициентов при записи в барицентрических координатах многочлены с рациональными коэффициентами. $PL$-формы на $K$ образуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру $E^*_{PL}(K)$ над $\mathbb Q$. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру $H^*(|K|, \mathbb Q)$, где $|K|$ – полиэдр, отвечающий комплексу $K$. Алгебра $E^*_{PL}(K)$ полностью определяет также рациональный гомотопический тип (в частности, ранги гомотопических групп) пространства $|K|$. Аналогично алгебра $E^*(M)$ на дифференцируемом многообразии $М$ определяет его вещественный гомотопический тип (Вещественная гомотопическая теория ... 1977).

Исчисление внешних форм на комплексном аналитическом многообразии имеет ряд особенностей (Уэллс. 1976). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства $E^p(M, \mathbb C)$ комплекснозначных форм или пространства $E^p(F)$, где $F$ – голоморфное векторное расслоение на $M$. Имеет место разложение$$E^p(M, \mathbb C) = \sum_{r+s=p} E^{r,s}(M),$$где $E^{r,s}(M)$ – пространство форм типа $(r,s)$, т. е. форм $\alpha$, локально представимых в виде$$\sum a_{i_1,\dots,i_r, j_1, \dots j_s} dz^{i_1}\wedge \dots \wedge dz^{i_r}\wedge d\bar z^{j_1}\wedge \dots \wedge d\bar z^{j_s},$$где $(z^1,\dots,z^n)$ – локальная аналитическая система координат на $M$. Аналогично$$E^p(F) = \sum_{r+s=p} E^{r,s} (F).$$Далее, $d=d'+d''$, где$$d: E^{r,s}(M)\to E^{r+1,s}(M),\quad d'': E^{r,s}(M)\to E^{r,s+1}(M).$$При этом $d'^2 = d''^2 = 0$, так что $d'$ и $d''$ определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора $d''$ (комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через $H^{r,s}(M)$. $d''$-коциклы типа $(p,0)$ суть голоморфные $p$-формы. Для $d''$ справедлива следующая лемма Гротендика: если $\alpha$ – форма типа $(r,s)$ с $s>0$ в окрестности нуля пространства $\mathbb C^n$ и $d''\alpha = 0$, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма $\beta$ типа $(r,s-1)$, что $\alpha = d'' \beta$. Комплекс Дольбо можно определить также и для $F$-значных форм, где $F$ – голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий $H^{r,s}(F)$. Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм:$$H^{r,s}(F) \cong H^s (M, \Omega^r(F)),$$где $\Omega^r(F)$ – пучок ростков голоморфных $F$-значных $r$-форм (теорема Дольбо). В частности,$$H^{r,s}(M)\cong H^s(M, \Omega^r(M)),$$где $\Omega^r(M)$ – пучок ростков голоморфных $r$-форм на $M$. Существует спектральная последовательность с первым членом $\sum_{r,s} H^{r, s}(M)$, сходящаяся к $H^*(M, \mathbb C)$. Эйлерова характеристика $\chi(M)$ компактного комплексного многообразия $M$ выражается через когомологии Дольбо по формуле$$\chi(M) = \sum_{r,s} (-1)^{r+s} {\rm dim}\ H^{r,s}(M).$$Дифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. Стернберг. 1970, Картан. 1971). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются потоки. Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье Модуль дифференциалов) позволяет определить дифференциальные формы на алгебраических многообразиях и на аналитических пространствах (см. Дифференциальное исчисление на аналитических пространствах, Когомологии де Рама, Дифференциал на римановой поверхности, Гармоническая форма, Голоморфная форма, Оператор Лапласа).

2) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть $X$ – неприводимое алгебраическое многообразие размерности $d$ над алгебраически замкнутым полем $k$, $K$ – его поле рациональных функций. Дифференциальной формой степени $r$ на $X$ называется элемент $K$-пространства$$\Omega^r(X) = \overset{r}{\wedge} \Omega^1_{K/k},$$где $\Omega_{K/k}$ – модуль дифференциалов поля $K$ над полем $k$. Если $x_1, \dots, x_d$ – сепарабельный базис трансцендентности расширения $K/k$, то каждая дифференциальная форма $\omega \in \Omega^r(X)$ записывается в виде$$\omega = \sum a_{i_1\dots i_r} dx_{i_1}\wedge \dots \wedge dx_{i_r},$$где $a_{i_1\dots i_r}\in K$. Дифференциальная форма $\omega$ называется регулярной на открытом множестве $U \subset X$, если $\omega$ принадлежит подмодулю $\Omega^r_{k[U]/k}$ пространства $\Omega^r(X)$, рассматриваемого как модуль над кольцом $k[U]$ регулярных функций на подмножестве $U$. Дифференциальная форма $\omega$ называется регулярной, если любая точка $x\in X$ имеет такую окрестность $U$, что $\omega$ регулярна на $U$. Регулярные дифференциальные формы на $X$ образуют модуль над $k[X]$, обозначаемый $\Omega^r[X]$. Его элементы отождествляются с сечениями пучка $\Omega^r_{X/k}$ на многообразии $X$. В окрестности любой точки $x\in X$ регулярная дифференциальная форма $\omega\in\Omega^r[X]$ записывается в виде$$\omega = \sum \alpha_{i_1\dots i_r} df_{i_1}\wedge\dots\wedge df_{i_r},$$где функции $a_{i_1\dots i_r}, f_{i_1}, \dots, f_{i_r}$ регулярны в точке $x$. Если $X$ – полное многообразие, то пространства $\Omega^r[X]$ конечномерны, а в случае, когда $X$ неособое, размерность $p_g(X) = {\rm dim}_k \Omega^d[X]$ называется геометрическим родом многообразия $X$. В случае, когда $X$ – полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство $\Omega^r[X]$ совпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени $r$ на соответствующем аналитическом пространстве $X^{an}$.

Пусть $X$ – нормальное многообразие и $\omega\in\Omega^d[X]$; для любой точки $x\in X^{(1)}$ коразмерности $1$ дифференциальная форма $\omega$ может быть записана в виде$$\omega = a dt\wedge dt_1\wedge\dots\wedge dt_{d-1}, \tag{$*$}$$где $a$ принадлежит полю частных $K_x$ локального кольца $\mathcal O_{X,x}$, $t$ – образующая его максимального идеала, $t_1,\dots,t_{d-1}$ – сепарабельный базис трансцендентности над $k$ поля вычетов кольца $\mathcal O_{X, x}$. Значение нормирования на элементе $a$, определяемое кольцом $\mathcal O_{X, x}$, не зависит от выбора представления $\omega$ в виде $(*)$ и обозначается $\nu_x(\omega)$. Дивизор$$D = \sum_{x\in X^{(1)}} \nu_x(\omega)\{\bar x\}$$определён и называется дивизором дифференциальной формы $\omega$. Дифференциальная форма $\omega$ регулярна тогда и только тогда, когда её дивизор $D\ge 0$, т. е. $\nu_x(\omega)\ge 0$ для всех $x\in X^{(1)}$. Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия $X$ и обозначается через $K_X$. Для неособого многообразия $X$ класс $K_X$ совпадает с первым классом Чженя обратимого пучка $\Omega^d_{X/k}$, в частности$$\Omega^d_{X/k} \simeq \mathcal O_X(D)$$для любого $D \in K_X$.

Для любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий $f: X'\to X$ определён канонический гомоморфизм$$f^*: \Omega^r(X)\to \Omega^r(X').$$При этом если $X$ и $X'$ – неособые, а $X$ – полное, то $f^*$ переводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия $X$ и $X'$ бирационально изоморфны, то векторные пространства $\Omega^r[X]$ и $\Omega^r[X']$ изоморфны над полем $k$.

Для любого $i>1$ элементы $i$–й симметрической степени $S^i(\Omega^r(X))$ $K$-пространства $\Omega^r(X)$ называются $i$-кратными дифференциальными формами степени $r$ на $X$. Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка $S^i(\Omega^r_{X/k})$. Регулярные сечения$$\omega \in \Gamma(X, S^i(\Omega^r_{X/k}))$$называются регулярными $i$-кратными дифференциальными формами степени $r$ на $X$. Для неособого полного многообразия $X$ размерность $$P_i(X) = {\rm dim}_k \Gamma(X, S^i(\Omega^d_{X/k}))$$называется $i$-родом многообразия $X$. Для бирационально изоморфных многообразий их $i$-роды совпадают.