Диофа́нтовы уравне́ния, алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами относительно неизвестных, принимающих целые или рациональные значения. Названы по имени Диофанта, изучавшего такие уравнения. Число неизвестных в диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, поэтому их обычно называют неопределёнными. Простейшее диофантово уравнение – уравнение $a x+b y=1$, где $a$ и $b$ – целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное множество решений: если $\left(x_0, y_0\right)$ – одно решение, то пары $(x, y)$, где $x=x_0+b_n$, $y=y_0-a_n$, $n$ – любое целое число, также являются решениями, которыми и исчерпывается вся совокупность решений.

Другим типом диофантовых уравнений являются уравнения 2-й степени

$$a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0,$$где $a, b, c, d, e, f$ – целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений. Примером может служить уравнение Пелля $x^2-d y^2=1$, где $d$ – натуральное число, не являющееся полным квадратом. Это уравнение имеет бесконечное число решений, которые можно выписать в явном виде.

Изучались диофантовы уравнения вида

$$a_0 x^n+a_1 x^{n-1} y+\ldots+a_n y^n=0,$$где $n, a_0, a_1, \ldots, a_n$ – целые числа, $n \geqslant 3$. Если многочлен $a_0 t^n+a_1 t^{n-1}+\ldots+a_n$ неприводим в поле рациональных чисел, т. е. не разлагается на множители в этом поле, то соответствующее уравнение не может иметь бесконечно много решений.

Известной задачей теории диофантовых уравнений является Великая теорема Ферма – гипотеза об отсутствии при целых $n \geqslant 3$ нетривиальных целых решений диофантовых уравнений

$$x^n+y^n=z^n.$$Доказательство этого утверждения для $n=4$ получено Л. Эйлером. Этот результат сводит общий случай к доказательству отсутствия нетривиальных целых решений уравнения (1) при простом $n \geqslant 3$. Великая теорема Ферма была доказана английским математиком Э. Уайлсом (1995). Задачи о целых или рациональных точках на алгебраических многообразиях составляют предмет т. н. диофантовой геометрии.