Арифме́тика (от греч. ἀριθμός – число), раздел математики, предметом которого являются числа, в первую очередь целые. Арифметические исследования послужили базой для многих разделов математики. Арифметика возникла и развивалась в странах Древнего Востока: Египте (см. Математические папирусы), Вавилоне (см. Клинописные математические тексты), Китае, Индии, позднее в Древней Греции из практических потребностей хозяйственной деятельности, торговли и в связи с задачами измерения расстояний, времени, площадей, а также с астрономическими расчётами.

Древние греки делали различие между теоретической наукой арифметикой и искусством выполнения вычислений – логистикой. Примерно с начала 16 в. название «арифметика» стало применяться к обеим дисциплинам. Позднее оно закрепилось также за школьным предметом, посвящённым свойствам целых и рациональных чисел и правилам выполнения над ними арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. В России слово «арифметика» вошло в употребление после появления первого русского печатного учебника математики, изданного в 1703 г. Л. Ф. Магницким. Иногда говорят об элементарной арифметике, отличая её от высшей арифметики, которая составляет часть теории чисел. Эта классификация достаточно условна.

Одним из первых вопросов элементарной арифметики был вопрос о записи чисел. Наиболее распространённой является т. н. позиционная десятичная система записи натуральных (т. е. целых положительных) чисел. Для записи натуральных чисел используются десять знаков-цифр $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. При этом имеет значение место (позиция) цифры в ряду других цифр, записывающих число. Запись $a_n \ldots a_1 a_0$, где $a_n, \ldots, a_1, a_0$ – цифры и $a_n \neq 0$, обозначает целое число, состоящее из $a_0$ единиц, $a_1$ десятков и т. д., т. е. число $a_n 10^n+\ldots+a_1 10+a_0$. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. Применяются и другие позиционные системы. Например, в двоичной системе используются два знака 0 и 1.

Если ненулевые целые числа $a, b, c$ связаны равенством $a c=b$, то говорят, что число $b$ делится на $a$. Число $a$ называется делителем $b$. Запись $a \mid b$ означает, что число $b$ делится на $a$. Нуль делится на любое целое число $a \neq 0$. Запись $a b$ означает, что $b$ не делится на $a$. Известны различные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления. Так, число делится на 3 или на 9, если сумма цифр в его записи делится на 3 или на 9, число делится на 2 или на 5, если его последняя цифра делится на 2 или на 5; число $a_n \ldots a_1 a_0$ делится на 4, если $2 a_1+a_0$ делится на 4. Существуют и другие признаки делимости.

Пусть $a_1, \ldots, a_d$ – целые числа, не все равные нулю. Множество общих делителей этих чисел конечно, наибольший из них называется наибольшим общим делителем этого набора чисел. Он обозначается $\left(a_1, \ldots, a_d\right)$. Если $a, b$ – целые числа и $a>0$, то существует единственная пара целых чисел $q, r$, для которых $b=a q+r$, $0 \leqslant r<a$. Число $q$ называется частным, a $r$ – остатком от деления $b$ на $a$. Справедливо равенство $(a, b)=(r, a)$. Оно сводит вычисление наибольшего общего делителя пары чисел $a, b$ к его вычислению для чисел $r, a$. Повторное применение этих действий ведёт к уменьшению чисел, для которых приходится вычислять наибольший общий делитель, и в конечном счёте позволяет вычислить $(a, b)$ (алгоритм Евклида). Если $(a, b)=1$, то числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми.

Числа, представимые в виде дробей $a / b$, где $a$ – целое и $b$ – натуральное, называются рациональными числами. Дробь $a / b$ называется сократимой, если существует равная ей дробь $a_1 / b_1$, для которой $0<b_1<b$. Чтобы выяснить, сократима или нет дробь $a / b$, можно вычислить $d=(a, b)$. Если $d=1$, т. е. числа $a$ и $b$ взаимно просты, то дробь несократима. Если же $d>1$, то дробь можно сократить на $d$, т. е. разделить на $d$ числитель и знаменатель, и получившаяся в результате дробь будет несократимой. Уравнение $a x+b y=c$, где $a, b, c$ – целые, разрешимо в целых числах $x, y$ тогда и только тогда, когда $c$ делится на $(a, b)$. Существует быстрый способ нахождения всех решений этого уравнения, основанный на алгоритме Евклида. Наименьшее натуральное число, делящееся как на $a$, так и на $b$, называется наименьшим общим кратным чисел $a$ и $b$. Оно равно $a b /(a, b)$. Для того чтобы сложить две дроби $a / b$ и $c / d$, можно найти наименьшее общее кратное $D$ знаменателей $b$ и $d$ и целые числа $u$ и $v$ такие, что $D=b u$, $D=d v$, тогда

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a u}{D}+\frac{c v}{D}=\frac{a u+c v}{D} .$$Аналогично можно поступать при вычитании дробей. Произведение и отношение дробей вычисляются по правилам

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}, \quad \frac{a}{b}: \frac{c}{d}=\frac{a d}{b c}.$$Целое число $a>1$ называется составным, если оно может быть представлено в виде произведения двух натуральных сомножителей, отличных от 1, т. е. в виде $a=u v$, $u>1$, $v>1$. В противном случае число $a>1$ называется простым. Простыми числами являются, например, $2,3,5,7,11,13$. Множество простых чисел бесконечно. Справедлива т. н. основная теорема арифметики: каждое отличное от 1 натуральное число представимо в виде произведения простых чисел, такое представление единственно (с точностью до порядка сомножителей). Если $N$ – натуральное число и $p_1<p_2<\ldots<p_n$ – все простые числа, делящие $N$, то справедливо равенство $N=p_1^{k_1} \ldots p_n^{k_n}$, где $k_i, i=1, \ldots, n$, – натуральные числа, оно называется каноническим разложением числа $N$. Для каждого целого числа $N>1$ каноническое разложение единственно. Основную теорему арифметики можно отнести к высшей арифметике.

K высшей арифметике можно отнести также алгоритм отыскания наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и теорему о бесконечности множества простых чисел, методы решения алгебраических уравнений в целых и рациональных числах, теорию сравнений, теорию степенных вычетов, теорию первообразных корней и индексов, теорию квадратичных форм с целыми коэффициентами и представление чисел такими формами, методы доказательства простоты чисел и разложения чисел на множители, исследования свойств некоторых арифметических функций и сумм. Среди конкретных утверждений высшей арифметики – теорема о представимости каждого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов, утверждение о неразрешимости в натуральных числах уравнения $x^4+y^4=z^4$, доказанное П. Ферма (не позднее 1665), и уравнение $x^3+y^3=z^3$, доказанное Л. Эйлером (1770), а также т. н. квадратичный закон взаимности, доказанный К. Ф. Гауссом, связывающий разрешимость сравнений $x^2 \equiv q(\bmod p)$ и $x^2 \equiv p(\bmod q)$ при различных простых нечётных числах $p, q$ и отвечающий на вопрос, для каких простых чисел $p$ разрешимо сравнение $x^2 \equiv a(\bmod p)$ для фиксированного целого $a$.

Можно сказать, что высшая арифметика есть элементарная теория чисел. Теория чисел использует аналитические, алгебраические, геометрические и многие другие методы для решения арифметических проблем, а также для исследования более широких классов чисел, например алгебраических, трансцендентных. К нерешённым арифметическим проблемам относятся, например, проблема близнецов – утверждение о бесконечности множества пар простых чисел $p, q$, разность которых равна двум, проблема Гольдбаха о представимости каждого чётного числа $n \geqslant 4$ в виде суммы двух простых чисел, вопросы существования быстрых алгоритмов для вычисления индексов (дискретных логарифмов) по простому модулю.