Термины

Тригонометрический ряд

Тригонометри́ческий ряд, по и кратных дуг, т. е. ряд вида a02+k=1(akcoskx+bksinkx)(1)\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx + b_k\sin kx)\tag{1}или (в форме) k=ckeikx.\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{ikx}.Числа aka_k, bkb_k или, соответственно, ckc_k называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Впервые тригонометрические ряды встречаются у (1744), который получил разложения πx2=sinx+sin2x2+sin3x3+...(0<x<2π);1rcosx12rcosx+r2=1+rcosx+r2cos2x+;rsinx12rcosx+r2=rsinx+r2sin2x+.\begin{aligned}\frac{π-x}{2}&=\sin x+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+... \quad(0 < x < 2π);\\ \frac{1-r\cos x}{1-2r\cos x + r^2}&=1+r\cos x+r^2\cos 2x+\ldots;\\ \frac{r\sin x}{1-2r\cos x + r^2}&=r\sin x+r^2\sin 2x+\ldots\,.\end{aligned}В середине 18 в. в связи с задачей о свободном колебании струны возник вопрос о представлении функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы тригонометрического ряда. Этот вопрос вызвал продолжавшиеся несколько десятилетий споры лучших аналитиков того времени – , , , Л. Эйлера. Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитическим заданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно . А здесь появилась необходимость представить в виде тригонометрического ряда функцию, графиком которой является достаточно произвольная кривая.

Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями вообще, – представление функций и функций, использование расходящихся рядов, перестановка пределов, бесконечные системы уравнений, интерполирование функций и др.

И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория тригонометрических рядов служила источником новых идей математического анализа и влияла на развитие других его разделов. Существенную роль играли исследования по тригонометрическим рядам в построении и . Теория функций действительного переменного возникла и затем развивалась в тесной связи с теорией тригонометрических рядов. Как обобщения тригонометрических рядов появились , , общие ортогональные ряды, абстрактный . Исследования по тригонометрическим рядам были исходным пунктом при создании . Тригонометрические ряды являются мощным средством представления и исследования функций.

Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решён в 1807 г. , указавшим формулы для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда (1), который должен представлять на (0,2π)(0,2π) функцию f(x)f(x): ak=1π02πf(x)coskxdx,bk=1π02πf(x)sinkxdx,(2)\begin{gathered}a_k&=\frac{1}{π}\int\limits_0^{2π} f(x)\cos kxdx,\\b_k&=\frac{1}{π}\int\limits_0^{2π} f(x)\sin kxdx,\end{gathered}\tag{2}и применившим их для решения задачи . Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у (1754), а Л. Эйлер получал их (1777) с помощью почленного интегрирования. Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого определяются по формулам (2), называется функции ff, а коэффициенты aka_k, bkb_k – её коэффициентами Фурье.

Характер результатов, получаемых для тригонометрических рядов, зависит от того, как понимается представление функции рядом, и от того, как понимается интеграл в формулах (2). Современный вид теория тригонометрических рядов приобрела после появления интеграла Лебега.

В теории тригонометрических рядов можно условно выделить два раздела – теорию рядов Фурье, когда предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье некоторой функции, и теорию общих тригонометрических рядов, где такое предположение не делается. Первое систематическое исследование общих тригонометрических рядов принадлежит (1853). Поэтому теорию общих тригонометрических рядов иногда называют римановской теорией тригонометрических рядов.

Если тригонометрический ряд на положительной , то его коэффициенты стремятся к нулю. Для тригонометрических рядов со стремящимися к нулю коэффициентами справедлив принцип локализации Римана, согласно которому поведение ряда (1) в точке xx зависит только от поведения в произвольно малой этой точки функции, к которой сходится ряд, полученный двукратным почленным интегрированием ряда (1).

Одной из центральных проблем теории общих тригонометрических рядов является задача о представлении произвольной функции тригонометрическим рядом. Усилив результаты (1915) о представлении функций тригонометрическими рядами, суммируемыми почти всюду методами Абеля – Пуассона и Римана (см. ), доказал (1940), что для каждой измеримой и конечной почти всюду функции ff существует тригонометрический ряд, сходящийся к ней почти всюду. Следует отметить, что если даже функция ff интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять её ряд Фурье, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.

Много исследований посвящено проблеме единственности тригонометрических рядов. Множество E[0,2π)E\subset [0,2π) называется множеством единственности, если из сходимости тригонометрического ряда к нулю вне EE следует, что все коэффициенты ряда равны нулю. Каждое не более чем является множеством единственности (, 1872). Множества положительной меры не являются множествами единственности. Существование множеств неединственности меры нуль было установлено Д. Е. Меньшовым (1916). Отсюда, в частности, следует, что при представлении функций тригонометрическими рядами, сходящимися почти всюду, эти ряды определяются неоднозначно.

  • Ряды Фурье
  • Разложение по системе функций
  • Ряды