Тригонометрический ряд

Тригонометри́ческий ряд, ряд по синусам и косинусам кратных дуг, т. е. ряд вида $$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx + b_k\sin kx)\tag{1}$$или (в комплексной форме) $$\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{ikx}.$$Числа $a_k$, $b_k$ или, соответственно, $c_k$ называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Впервые тригонометрические ряды встречаются у Л. Эйлера (1744), который получил разложения $$\begin{aligned}\frac{π-x}{2}&=\sin x+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+... \quad(0 < x < 2π);\\ \frac{1-r\cos x}{1-2r\cos x + r^2}&=1+r\cos x+r^2\cos 2x+\ldots;\\ \frac{r\sin x}{1-2r\cos x + r^2}&=r\sin x+r^2\sin 2x+\ldots\,.\end{aligned}$$В середине 18 в. в связи с задачей о свободном колебании струны возник вопрос о представлении функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы тригонометрического ряда. Этот вопрос вызвал продолжавшиеся несколько десятилетий споры лучших аналитиков того времени – Д. Бернулли, Ж. Д’Аламбера, Ж. Лагранжа, Л. Эйлера. Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитическим заданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость представить в виде тригонометрического ряда функцию, графиком которой является достаточно произвольная кривая.

Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математического анализа вообще, – представление функций рядами Тейлора и аналитическое продолжение функций, использование расходящихся рядов, перестановка пределов, бесконечные системы уравнений, интерполирование функций многочленами и др.

И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория тригонометрических рядов служила источником новых идей математического анализа и влияла на развитие других его разделов. Существенную роль играли исследования по тригонометрическим рядам в построении интегралов Римана и Лебега. Теория функций действительного переменного возникла и затем развивалась в тесной связи с теорией тригонометрических рядов. Как обобщения тригонометрических рядов появились интеграл Фурье, почти периодические функции, общие ортогональные ряды, абстрактный гармонический анализ. Исследования по тригонометрическим рядам были исходным пунктом при создании теории множеств. Тригонометрические ряды являются мощным средством представления и исследования функций.

Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решён в 1807 г. Ж. Фурье, указавшим формулы для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда (1), который должен представлять на $(0,2π)$ функцию $f(x)$: $$\begin{gathered}a_k&=\frac{1}{π}\int\limits_0^{2π} f(x)\cos kxdx,\\b_k&=\frac{1}{π}\int\limits_0^{2π} f(x)\sin kxdx,\end{gathered}\tag{2}$$и применившим их для решения задачи теплопроводности. Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро (1754), а Л. Эйлер получал их (1777) с помощью почленного интегрирования. Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого определяются по формулам (2), называется рядом Фурье функции $f$, а коэффициенты $a_k$, $b_k$ – её коэффициентами Фурье.

Характер результатов, получаемых для тригонометрических рядов, зависит от того, как понимается представление функции рядом, и от того, как понимается интеграл в формулах (2). Современный вид теория тригонометрических рядов приобрела после появления интеграла Лебега.

В теории тригонометрических рядов можно условно выделить два раздела – теорию рядов Фурье, когда предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье некоторой функции, и теорию общих тригонометрических рядов, где такое предположение не делается. Первое систематическое исследование общих тригонометрических рядов принадлежит Б. Риману (1853). Поэтому теорию общих тригонометрических рядов иногда называют римановской теорией тригонометрических рядов.

Если тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю. Для тригонометрических рядов со стремящимися к нулю коэффициентами справедлив принцип локализации Римана, согласно которому поведение ряда (1) в точке $x$ зависит только от поведения в произвольно малой окрестности этой точки функции, к которой сходится ряд, полученный двукратным почленным интегрированием ряда (1).

Одной из центральных проблем теории общих тригонометрических рядов является задача о представлении произвольной функции тригонометрическим рядом. Усилив результаты Н. Н. Лузина (1915) о представлении функций тригонометрическими рядами, суммируемыми почти всюду методами Абеля – Пуассона и Римана (см. Суммирование рядов), Д. Е. Меньшов доказал (1940), что для каждой измеримой и конечной почти всюду функции $f$ существует тригонометрический ряд, сходящийся к ней почти всюду. Следует отметить, что если даже функция $f$ интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять её ряд Фурье, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.

Много исследований посвящено проблеме единственности тригонометрических рядов. Множество $E\subset [0,2π)$ называется множеством единственности, если из сходимости тригонометрического ряда к нулю вне $E$ следует, что все коэффициенты ряда равны нулю. Каждое не более чем счётное множество является множеством единственности (Г. Кантор, 1872). Множества положительной меры не являются множествами единственности. Существование множеств неединственности меры нуль было установлено Д. Е. Меньшовым (1916). Отсюда, в частности, следует, что при представлении функций тригонометрическими рядами, сходящимися почти всюду, эти ряды определяются неоднозначно.