Каса́тельная к кривой линии, прямая, представляющая собой предельное положение секущей. Пусть $M$ – точка кривой $L$ (рис. 1). На $L$ выбирается вторая точка $M'$, и через них проводится секущая $l'$.Рис. 1. Касательная, как предельное положение секущей.Рис. 1. Касательная, как предельное положение секущей. Точка $M$ считается неподвижной, а точка $M'$ приближается к $M$ по кривой $L$.

Если при неограниченном приближении $M'$ к $M$ секущие $l'$ стремятся к определённой прямой $l$, как бы $M'$ не приближалась к $M$, то $l$ называется касательной к кривой $L$ в точке $M$. Не у всякой непрерывной кривой имеются касательные в каждой точке $M$, поскольку секущие могут не стремиться к предельному положению или могут стремиться к двум разным предельным положениям, когда $M'$ приближается к $M$ с разных сторон (рис. 2).

Рис. 2. Случай, когда секущие стремятся к двум разным положениям.Рис. 2. Случай, когда секущие стремятся к двум разным положениям.Встречающиеся в элементарной геометрии кривые имеют вполне определённые касательные во всех точках, кроме некоторого числа особых точек. Если кривая на плоскости в прямоугольных координатах определяется уравнением $y=f(x)$ и $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то кривая имеет касательную в точке $(x_0, f'(x_0))$ и угловой коэффициент касательной в этой точке равен значению производной $f'(x_0)$; уравнение касательной в этой точке имеет вид $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$Касательной (прямой) к поверхности $S$ в точке $M$ называют любую прямую, проходящую через точку $M$ и лежащую в касательной плоскости к $S$ в точке $M$.