Неевкли́довы геоме́трии, геометрические системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин «неевклидовы геометрии» применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причём с той же степенью свободы, что и в евклидовой геометрии. При этом степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между её точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее заданное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки. В евклидовом трёхмерном пространстве каждая фигура может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее заданное положение; помимо этого, каждая фигура может вращаться вокруг любой оси, проходящей через любую её точку.

Среди неевклидовых геометрий особое значение имеют геометрия Лобачевского и геометрия Римана, которые чаще всего подразумеваются, когда говорят о неевклидовых геометриях. Геометрия Лобачевского – первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория, включающая евклидову геометрию как предельный случай. Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем является её дополнением. Исследование геометрий Евклида, Лобачевского и Римана позволило выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами.

Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением одной аксиомы о параллельных. Именно: согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой и не пересекает её; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).

В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит части системы аксиом евклидовой геометрии (с исключением аксиомы о параллельных). Т. о., система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, отличается от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных иным утверждением, но и некоторыми другими аксиомами. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования т. н. отношений порядка геометрических элементов. Суть состоит в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологической моделью плоскости Римана служит проективная плоскость). Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трёх геометрий одинаковы.

Примеры теорем неевклидовых геометрий:

1. В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).

2. В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой

   $$S=R^2(π-α-β-γ),\tag1$$где $α,\; β,\; γ$ – внутренние углы треугольника, $R$ – некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана справедлива формула

   $$S=R^2(α+β+γ-π)\tag2$$при аналогичном значении символов. В евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет.

3. В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, например:

   $$\displaystyle\ch\frac{a}{R} =\ch\frac{b}{R} \ch\frac{c}{R} -\text{sh} \frac{b}{R} \text{sh}\frac{c}{R} \text{cos}\:\alpha, \tag3$$где $\sh, \ch$ – гиперболические синус и косинус, $a, b, c$ – стороны треугольника, $α, β, γ$ – противолежащие им углы, $R$ – постоянная, определяемая выбором масштаба. Для прямоугольного треугольника (с гипотенузой $c$ и прямым углом $γ$) имеет место равенство

   $$\ch\dfrac{c}{R} = \text{ctg}\:\alpha\;\text{ctg}\:\beta. \tag4$$При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная $R$ в формулах $(1), (3), (4)$ одна и та же. Число $R$ называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Это число при данном масштабе выражает определённый отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число $R$, но радиус кривизны, как отрезок, остаётся неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то $R=1.$

В геометрии Римана существуют сходные равенства:

$$\displaystyle\cos\frac a R=\cos\frac b R\cos\frac c R +\sin\frac b R\sin\frac c R\cos\alpha, \tag5$$(для произвольного треугольника) и

$$\cos \dfrac c R=\text{ctg}\: \alpha\; \text{ctg}\: \beta \tag6$$ (для прямоугольного треугольника) при аналогичном значении символов. Число $R$ называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Из формул $(4)$ и $(6)$ следует, что в каждой из неевклидовых геометрий гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в неевклидовых геометриях стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам $(4)$ и $(6)$, и нет никаких других формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене $R$ на $R_i$, где $i$ – мнимая единица, формулы $(1), (3), (4)$превращаются в формулы$(2), (5), (6)$; вообще, при замене $R$ на $R_i$ все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При $R→∞$ и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины $R$ означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы неевклидовых геометрий переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличаются от евклидовых.

В каждой из неевклидовых геометрий дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства; в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты $u, v$, так что дифференциал $ds$ дуги кривой, соответствующий дифференциалам $du, dv$ координат, определяется равенством

$$ds^2= Edu^2+ 2Fdudv+ Gdv^2. \tag7$$Пусть, в частности, в качестве координаты $u$ произвольной точки $M$ берётся длина перпендикуляра, опущенного из $M$ на фиксированную прямую, а в качестве координаты $v$ – расстояние от фиксированной точки $O$ этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины $u, v$ следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид

$$ds^2=du^2+\text {ch}^2\! \left( \dfrac u {R}\right )\!dv^2,\tag8$$а для плоскости Римана

$$ds^2=du^2+\text {cos}^2 \!\left( \dfrac u {R}\right )\!dv^2,\tag9$$ $R$ (радиус кривизны) – та же постоянная, которая входит в предыдущие формулы. Правые части $(8)$ и $(9)$ суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну $K=-1/R^2$ (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну $K=1/R^2$ (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене $R$ на $R_i$ метрическая форма $(8)$ переходит в метрическую форму $(9)$. Т. к. метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При $R=∞$ каждое из равенств (8) и (9) даёт $ds^2=du^2+dv^2$, т. е. метрическую форму евклидовой плоскости.

Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну. Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную $–1/R^2$, пространство Римана – положительную кривизну, равную $1/R^2$ ($R$ – радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.

Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства) и топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.

Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты $(x_1,x_2,x_3)$ и задана некоторая овальная линия 2-го порядка, обозначаемая дальше буквой $k$, например $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$. Каждое проективное преобразование проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию $k$, называется автоморфизмом относительно $k$. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии $k$ также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии $k$ составляет группу. Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри $k$; хорды линии $k$ называются «прямыми». Пусть две фигуры считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Т. к. автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура $A$ равна фигуре $B$, то $B$ равна $A$; если фигура $A$ равна фигуре $B$, а $B$ равна фигуре $C$, то $A$ равна $C$. В получаемой т. о. геометрической теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского. Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию $k$ называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно $k$ играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта. Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно, она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0.\tag{10}$$При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение $(10)$ в уравнение того же вида. Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта $x_1^2+x_2^2=0,\; x_3=0$Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично. Соответственно характеру уравнений абсолютов геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана – эллиптической, геометрия Евклида – параболической. Неевклидовы геометрии применяются в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и других науках (например, в теории относительности).