Определи́тель квадра́тной ма́трицы $A$ порядка $n$, многочлен от элементов матрицы $A=\begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}$, каждый член которого является произведением $n$ элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и снабжён определённым знаком, т. е. многочлен

$$\displaystyle \sum(-1)^ta_{1i_1}a_{2i_2}\dots a_{ni_n}.\tag{*}$$Здесь суммирование проводится по всем перестановкам $i_1,i_2,\dots,i_n$чисел $1,2,\dots,n$, а $t$ – число инверсий в этой перестановке, т. е. число пар $i_k$, $i_l$, $1 \leq k \lt l \leq n$ таких, что $i_k \gt i_l$. Этот многочлен содержит $n!$ членов, из которых $n!/2$ берётся со знаком плюс и $n!/2$ – со знаком минус. Число $n$ называется порядком определителя.

Определитель матрицы

$$A= \begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{Vmatrix}$$часто называют её детерминантом и обозначают $\text{det} A, \text{det} \begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}, \begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}$ или, более подробно,

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}.$$Для определителя 2-го и 3-го порядков формула $(*)$ принимает вид

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.$Определители обладают важными свойствами, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие.

1) Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (т. е. определитель квадратной матрицы $A$ равен определителю транспонированной матрицы $A^T$):

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n2}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} .$2) Определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки или два столбца матрицы.

3) Определитель равен нулю, если элементы двух строк или двух столбцов соответственно пропорциональны.

4) Общий множитель всех элементов любой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, причём в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых, остальные же строки (столбцы) – те же, что и в данной матрице.

6) Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель.

7) Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22} \ldots a_{nn}.$Если элементы $a_{ij}$ матрицы $A$ принадлежат некоторому полю, то $\det A$ есть элемент того же поля. Определитель можно рассматривать как функцию, определённую на множестве всех квадратных матриц порядка $n$ над полем $K$ со значениями в $K$. Оказывается, что существует лишь одна функция, обладающая свойствами 3), 4), 5), 7). Это может быть положено в основу аксиоматического построения теории определителей.

Перечисленные свойства используются при вычислении определителя матрицы над любым полем. Например, сначала при помощи элементарных преобразований, т. е. с использованием свойств 2), 4), 6), матрица приводится к треугольному виду, а затем применяется свойство 7). Другой метод вычисления определителя (при котором понижается порядок определителя) основан на следующей формуле, дающей разложение определителя по произвольной строке

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}= a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \ldots +a_{in}A_{in} ,$где $A_{ij},i,j=1,2,\dots,n,$ – алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$, т. е. $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, а $M_{ij}$ – дополнительный минор к элементу $a_{ij}$, т. е. определитель матрицы порядка $(n-1)$, полученной из матрицы $A$ выбрасыванием $i$-й строки и $j$-го столбца. Аналогичная формула даёт разложение определителя по произвольному столбцу. Разложение определителя по строке может быть положено в основу индуктивного построения теории определителей.

Теория определителей возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений и связанными с ней вопросами аналитической геометрии. Определители 2-го и 3-го порядков над полем действительных чисел допускают простое геометрическое истолкование: абсолютная величина определителя $\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ \end{vmatrix}$ равна площади параллелограмма, построенного на векторах $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ евклидовой плоскости, а абсолютная величина определителя $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\\ \end{vmatrix}$ равна объёму параллелепипеда, построенного на векторах $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ и $(x_3,y_3,z_3)$ 3-мерного евклидова пространства (системы координат предполагаются прямоугольными). Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать с помощью определителя; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$, может быть записано в виде

$\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_1 & y_1 & z_1 & 1\\ x_2 & y_2 & z_2 & 1\\ x_3 & y_3 & z_3 & 1\\ \end{vmatrix}= 0.$В математическом анализе рассматриваются функциональные определители, т. е. определители матриц, элементами которых являются функции, одним из таких определителей является якобиан.

Термин «определитель» в современном его значении ввёл О. Коши (1815), хотя ранее (1801) «детерминантом» К. Гаусс называл дискриминант квадратичной формы. Идея использования определителя принадлежит Г. В. Лейбницу, который применил определитель (1693) при решении систем линейных уравнений. В 1750 г. метод определителей был вновь разработан Г. Крамером. Французский математик А.-Т. Вандермонд (1772) опубликовал первое обширное исследование, посвящённое определителю. Первые полные изложения теории определителей даны в 1812 г. французским математиком Ж. Бине и О. Коши. Обозначение – вертикальные линии – ввёл А. Кэли (1841).