Центра́льная преде́льная теоре́ма, общее название ряда предельных теорем теории вероятностей, в которых устанавливается, что, при большом числе слагаемых, распределения сумм независимых случайных величин близки к нормальному распределению. Эти теоремы являются обобщениями теоремы Муавра – Лапласа. Пусть $X_1$, $X_2$, $...$ – независимые случайные величины со средними значениями $\mathsf{E}X_j=a_j$ и дисперсиями $\mathsf{D}X_j=σ^2_j > 0$. Пусть $S_n=X_1+...+X_n$, $A_n=\mathsf{E}S_n=a_1+...+a_n$– среднее значение $S_n$ и $B_n^2=\mathsf{D}S_n=σ_1^2+...+σ_n^2$ – её дисперсия. Один из простейших вариантов центральной предельной теоремы утверждает, что при определённых условиях функции распределения нормированных сумм $S_n^*=\frac{S_n-A_n}{B_n}$, т. е. $F_n(x)=\mathsf{P}(S_n^* < x)$ при росте $n$ стремятся к функции распределения стандартного нормального закона $Φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}du$: $$F_n(x)→Φ(x),\,\ \ \ n→∞,\tag{*}$$причём эта сходимость равномерна по $-∞ < x < ∞$. Следствием этого является соотношение $\mathsf{P}(X_1+...+X_n < x) - Φ_n(x)→0,\,\ n→∞,$ где $Φ_n(x)$ – нормальная функция распределения со средним $A_n$ и дисперсией $B_n^2$, т. е. при больших $n$ функции распределения сумм $S_n=X_1+...+X_n$ мало отличаются от нормальных функций распределения с теми же средними и дисперсиями, что у $S_n$. Это позволяет в практических расчётах заменять функции распределения сумм независимых случайных величин, которые обычно неизвестны (их вычисление связано с очень большими трудностями), нормальными функциями распределения, работа с которыми трудностей не представляет.

Для справедливости (*) достаточно, чтобы для некоторого $δ > 0$ $$\frac{β_{2+δ}(X_1)+...+β_{2+δ}(X_n)}{B^{2+δ}_n} → 0,\,\ \ \ n→∞,$$где $β_{2+δ}(X_j)=\mathsf{E}|X_j-a_j|^{2+δ}$ (теорема Ляпунова, 1900). Для того чтобы выполнялось (*) и одновременно $B_n^{-2} \text{max}_{1 \leqslant j \leqslant n} σ^2_j → 0,\,\ n→∞,$ необходимо и достаточно выполнения условия $$B_n^{-2}\sum_{j=1}^n\int_{x-a_j | \geqslant εB_n} (x-a_j)^2dG_j(x)→0,\,\ \ \ n→∞,$$ где $G_j$ – функции распределения $X_j$ (теорема Линдеберга – Феллера). Если случайные величины $X_1$, $X_2$, $...$ одинаково распределены, то для справедливости (*) достаточно существования их дисперсии. Наряду с утверждением (*), которое иногда называют интегральной формой центральной предельной теоремы, рассматриваются её локальные формы. Одна из локальных форм центральной предельной теоремы для плотностей утверждает, что в случае одинаково распределённых величин $X_1$, $X_2$, $...$ плотности вероятностей $p_n(x)$ нормированных сумм $S_n^*$ сходятся к плотности стандартного нормального закона: $$p_n(x) →  φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-x^2/2},\, \ \ \ \ \ n→∞,\ \ -∞ < x < ∞.$$ Для cпрaвeдливоcти этого yтвeрждeния доcтaточно дополнитeльно прeдположить cyщecтвовaниe огрaничeнныx плотноcтeй y cлyчaйныx вeличин $X_1$, $X_2$, $...$ . О локальной форме центральной предельной теоремы для случайных величин с решётчатыми распределениями подробно – в статье Решётчатое распределение.

Один из важнейших вопросов, связанных с применениями центральной предельной теоремы, – вопрос о точности аппроксимации, которую она гарантирует. Самым известным результатом в этом круге вопросов является теорема Берри – Эссеена, которая, в частности, утверждает, что для одинаково распределённых величин $X_1$, $X_2$, $...$ со средним $a$ и дисперсией $σ^2$ $$ρ(F_n,Φ)=\text{sup}_{-∞ < x < ∞}|F_n(x)-Φ(x)| \leqslant c\frac{β_3}{σ^3\sqrt{n}},$$где $β_3=\mathsf{E}|X_1-a|^3$, $c$ – постоянная; известно, что $c≈0,4$.

Изучаются также асимптотические разложения в центральной предельной теореме, в которых к нормальному закону добавляются слагаемые, стремящиеся к нулю при $n→∞$. Эти слагаемые позволяют получить более высокую точность аппроксимаций для распределений сумм $X_1$$+ ... +$$X_n$ по сравнению с точностью аппроксимации в центральной предельной теореме.

Имеются многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на слабозависимые случайные величины, на случайные величины из многомерных и бесконечномерных пространств и на случайные процессы.