При́нцип ма́ксимума Понтря́гина, соотношения, выражающие необходимые условия сильного экстремума для неклассической вариационной задачи математической теории оптимального управления. Сформулирован в 1956 г. Л. С. Понтрягиным (Математическая теория оптимальных процессов. 1983).

Принятая формулировка принципа максимума Понтрягина относится к следующей задаче оптимального управления. Дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\dot{x}=f(x, u), \tag{1}$$где $x\in\mathbb{R}^{n}$ – фазовый вектор, $u\in\mathbb{R}^{p}$ – управляющий параметр, $f$ – вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемая по $x$. В пространстве $\mathbb{R}^{p}$ задано множество $U$ допустимых значений управляющего параметра $u$; в фазовом пространстве $\mathbb{R}^n$ даны точки $x^0$ и $x^1$; фиксирован начальный момент времени $t_0$. Допустимым управлением является любая кусочно непрерывная функция $u(t)$, $t_0 \leqslant t \leqslant t_1$, со значениями во множестве $U$. Говорят, что допустимое управление $u=u(t)$ переводит фазовую точку из положения $x^0$ в положение $x^1 \left(x^0 \rightarrow x^1\right)$, если соответствующее ему решение $x(t)$ системы $(1)$, удовлетворяющее условию $x\left(t_0\right)=x^0$, определено при всех $t \in\left[t_0, t_1\right]$ и $x\left(t_1\right)=x^1$. Среди всех допустимых управлений, переводящих фазовую точку из положения $x^0$ в положение $x^1$, требуется найти оптимальное управление – функцию $u^*(t)$, минимизирующую функционал

$$J=\int_{t_0}^{t_1} f^0(x(t), u(t))\, d t, \tag{2}$$здесь $f^0(x, u)$ – заданная функция того же класса, что и компоненты $f(x, u)$, $x(t)$ – решение системы $(1)$ c начальным условием $x\left(t_0\right)=x^0$, отвечающее управлению $u(t)$, $t_1$ – момент прохождения этого решения через точку $x^1$. Под решением задачи понимают пару, состоящую из оптимального управления $u^*(t)$ и отвечающей ему оптимальной траектории $x^*(t)$ системы $(1)$.

Пусть

$$H(\psi, x, u)=(\psi, f(x, u))$$– скалярная функция (гамильтониан) переменных $\psi, x, u$, где $\psi=\left(\psi_0, \psi^1\right) \in \mathbb{R}^{n+1}$, $\psi_0 \in \mathbb{R}^1$, $\psi^1 \in \mathbb{R}^n$, $f=\left(f^0, f\right)$. Функции $H(\psi, x, u)$ ставится в соответствие каноническая (гамильтонова) система (относительно $\psi, x$)

$$\frac{d x}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \psi},\quad \frac{d \psi}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x} \tag{3}$$[первое из этих уравнений есть система$(1)$]. Пусть

$$M(\psi, x)=\sup \{H(\psi, x, u) \mid u \in U\}.$$Принцип максимума Понтрягина: если $u^*(t), x^*(t)$ $\left(t \in\left[t_0, t_1\right]\right)$ – решение задачи оптимального управления $(1), (2)$ $\left(x^0 \rightarrow x^1, u \in U\right)$, то существует такая ненулевая абсолютно непрерывная функция $\psi(t)$, что тройка функций $\psi(t), x^*(t), u^*(t)$ удовлетворяет на $\left[t_0, t_1\right]$ системе $(3)$ и для почти всех $t\in[t_0,t_1]$ выполняется условие максимума

$$H\left(\psi(t), x^*(t), u^*(t)\right) = M\left(\psi(t), x^*(t)\right), \tag{4}$$а в конечный момент $t_1$ – условия

$$M\left(\psi\left(t_1\right), x\left(t_1\right)\right)=0, \quad \psi_0\left(t_1\right) \leqslant 0. \tag{5}$$Если функции $\psi(t), x(t), u(t)$ удовлетворяют соотношениям $(3), (4)$ [т. е. $x(t), u(t)$ образуют экстремаль Понтрягина], то имеют место условия

$$\mathscr{A}(t)=M(\psi(t), x(t)) \equiv\operatorname{const}, \quad\psi_0(t) \equiv\operatorname{const}.$$Из данного утверждения вытекает принцип максимума для задачи о быстродействии $\left(f^0=1, J=t_1-t_0\right)$. Это утверждение допускает естественное обобщение на неавтономные системы, задачи с подвижными концами траекторий и задачи с ограничениями на фазовые координаты [условием $x(t) \in X$, где $X$ – замкнутое множество фазового пространства $\mathbb{R}^n$, удовлетворяющее некоторым дополнительным ограничениям (Математическая теория оптимальных процессов. 1983)].

Допущение к рассмотрению замкнутых множеств $U, X$ (эти области могут, в частности, задаваться системами нестрогих неравенств) обусловило неклассический характер задачи. Основные необходимые условия классического вариационного исчисления с обыкновенными производными вытекают из принципа максимума Понтрягина (Математическая теория оптимальных процессов. 1983, а также см. в статье Условия Вейерштрасса).

Распространённое доказательство изложенной формулировки принципа максимума Понтрягина, основанное на использовании т. н. игольчатых вариаций (т. е. на рассмотрении допустимых управлений, отклоняющихся от оптимального произвольным образом, но зато лишь на конечном числе малых интервалов времени), состоит в линеаризации задачи в окрестности оптимального решения, в построении некоторого выпуклого конуса вариаций оптимальной траектории и последующем использовании теоремы об отделимости выпуклых конусов (Математическая теория оптимальных процессов. 1983). Соответствующее условие далее записывается в аналитической форме $(4), (3)$, в терминах максимума гамильтониана $H(\psi, x, u)$ от фазовых переменных $x$, управлений $u$ и сопряжённых переменных $\psi$, играющих роль, аналогичную множителям Лагранжа в классическом вариационном исчислении. Эффективное использование принципа максимума Понтрягина часто приводит к необходимости решать двухточечную краевую задачу для системы $(3)$.

Наиболее полное решение задачи оптимального управления получено для линейных систем, где соотношения принципа максимума Понтрягина часто выступают не только как необходимое, но и как достаточное условие оптимальности.

Принцип максимума Понтрягина получил многочисленные обобщения, например в направлении охвата более сложных неклассических ограничений (в том числе смешанных ограничений на управления и фазовые координаты функциональных и разнообразных форм интегральных ограничений), в изучении достаточности соответствующих условий, в рассмотрении обобщённых решений, т. н. скользящих режимов, систем дифференциальных уравнений с негладкой правой частью, дифференциальных включений, задач оптимального управления для дискретных систем и систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых, в частности, уравнениями с частными производными, уравнениями с последействием (в том числе с запаздыванием), эволюционными уравнениями в банаховом пространстве и т. д. Последнее привело к рассмотрению новых классов вариаций соответствующих функционалов, введению т. н. интегрального принципа максимума, линеаризованного принципа максимума и т. д. Весьма общие классы вариационных задач с неклассическими ограничениями (в том числе в виде нестрогих неравенств) или негладкими функционалами принято называть задачами понтрягинского типа. Открытие принципа максимума Понтрягина послужило важным стимулом в создании математической теории оптимального управления. Оно стимулировало новые исследования в теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе и теории экстремальных задач, вычислительной математике и других смежных областях.