Компа́ктность (от лат. compactus – сплочённый, плотный), свойство топологического пространства, состоящее в том, что каждое бесконечное его подмножество имеет предельную точку. Для метрического пространства понятие компактности совпадает с понятием бикомпактности. Свойство компактности может быть выражено в такой форме: всякое счётное подмножество имеет предельную точку, так что компактные пространства естественно называть компактными для мощности ${\aleph}_0$.

В связи с этим возникают понятия инициальной и финальной компактности или, более общо, компактности в отрезке мощностей $[a, b]$, или $[a, b]$-компактности, выражаемой в трёх эквивалентных формах: 1) всякое множество $M \subset X$ мощности $m \in[a, b]$ имеет точку полного накопления, т. е. такую точку $\xi$, что для каждой её окрестности $O_{\xi}$ множество $O_{\xi} \cap M$ имеет ту же мощность, что и $M$; 2) всякая вполне упорядоченная система порядкового типа $\omega \in\left[\omega_a, \omega_b\right]$ замкнутых множеств имеет непустое пересечение; 3) всякое открытое покрытие мощности $m \subset[a, b]$ содержит покрытие мощности $< m$. Если $a=\aleph_0$, то $X$ называется инициально компактным вплоть до мощности $b$. Просто компактность означает инициальную компактность до мощности $\aleph_0$ и поэтому иногда компактность называется счётной компактностью. Если $b \geqslant a$ – любое, то $X$ называется финально компактным начиная с мощности $a$; так, всякое пространство со счётной базой финально компактно с $a=\aleph_1$. Бикомпактные пространства инициально компактны до любой (бесконечной) мощности и одновременно финально компактны начиная с любой мощности, отсюда их название. Таким образом, всякое бикомпактное пространство компактно, но не наоборот: пространство $W\left(\omega_1\right)$ всех порядковых чисел $<\omega_1$ компактно, но не бикомпактно. Из компактности пространства $X$, вообще говоря, не следует, что $X$ является компактным множеством, например в пространстве (неметризуемом) $I^c$ существует замкнутое (и следовательно бикомпактное) множество, не содержащее никакой нестационарной сходящейся последовательности.