Осо́бая то́чка аналити́ческой фу́нкции, препятствие для аналитического продолжения элемента аналитической функции вдоль некоторого пути. Каждая аналитическая функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ может быть задана своим регулярным элементом, т. е. степенным рядом

$\displaystyle f(z)=\sum^\infty_{n=0}a_n(z-z_0)^n,$представляющим эту функцию в своём круге сходимости $|z-z_0| \lt R$. Если аналитическое продолжение этого элемента возможно по всем путям во все точки $z$ комплексной плоскости, включая и бесконечно удалённую точку $z=\infty$, то функция $f(z)$ необходимо является постоянной. Для нетривиальных аналитических функций характерно наличие препятствий для аналитического продолжения по некоторым путям, т. е. особых точек. При этом может случиться, что в одну и ту же точку $z_0$ комплексной плоскости продолжение по некоторым путям возможно, а по другим невозможно; в этом случае говорят, что над $z_0$ расположены как правильная точка, так и особая точка.

Для однозначных элементарных функций характерно наличие изолированных особых точек, т. е. таких, для которых существует окрестность, свободная от других особых точек. При этом если $z_0$ – изолированная особая точка и $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$, то $z_0$ называется полюсом функции $f(z)$. Если же не существует конечного или бесконечного предела $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$, то $z_0$ называется существенно особой точкой. В случае конечного предела $\lim\limits_{z \to z_0}f(z)=A$ аналитическое продолжение в точку $z_0$ возможно и следует положить $f(z_0)=A$; в этом случае $z_0$ иногда называют устранимой особой точкой.

Ряд Лорана функции $f(z)$ в окрестности изолированной особой точки $z_0$

$\displaystyle f(z) =\sum^\infty_{n=0}a_n(z-z_0)^n +\sum^\infty_{n=1}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}$либо содержит лишь конечное число отрицательных степеней разности $z-z_0$, если $z_0$ – полюс (наивысшая степень $\frac{1}{z-z_0}$, встречающаяся в ряде Лорана, называется порядком полюса), либо содержит сколь угодно высокие степени $\frac{1}{z-z_0}$, если  $z_0$ – существенно особая точка. Например, для функции $1/z^3$ точка $z=0$ является полюсом порядка 3, а для функции

$\displaystyle\sin \frac{1}{z} =\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!z^{2n+1}},$

$z_0=0$ – существенно особая точка.

У многозначных аналитических функций, помимо уже описанных особых точек однозначного характера для однозначных элементов этих функций, могут встретиться изолированные особые точки многозначного характера, или точки ветвления. Точки ветвления $z_0$ характерны тем, что аналитическое продолжение функции $f(z)$ по достаточно малым окружностям $|z-z_0|=r$ с центром в $z_0$ приводит к новым значениям $f(z)$, отличным от исходного. Например, точка $z_0=0$ является точкой ветвления для функций $\sqrt{z}$ и $\text{Ln} z$; при однократном обходе вокруг неё функция $\sqrt{z}$ меняет знак, а к значению $\text{Ln} z$ прибавляется или вычитается $2\pi$ (в зависимости от направления обхода). Если после некоторого минимального числа $m \gt 1$ обходов точки ветвления $z_0$ в одном и том же направлении приходят к исходному элементу, то $z_0$ называется точкой ветвления конечного порядка $m-1$ ($z_0=0$ есть точка ветвления порядка 1 для $\sqrt{z}$). Если ни при каком числе последовательных обходов нельзя возвратиться к исходному элементу, то $z_0$ называется логарифмической точкой ветвления или точкой ветвления бесконечного порядка (точка $z_0=0$ для функции $\text{Ln} z$).

Если функция $f(z)$ представлена степенным рядом, то на границе круга сходимости этого ряда находится по крайней мере одна особая точка функции $f(z)$. Может оказаться, что все граничные точки области существования однозначной аналитической функции являются для неё особыми точками. Так, например, все точки единичной окружности $|z|=1$ являются особыми для функции

$\displaystyle f(z)=z+z^2+z^4+\ldots=\sum^\infty_{n=0}z^{2^n},$а сама окружность $|z|=1$ есть естественная граница этой функции.

Для (однозначных) аналитических функций $f(z_1,\ldots,z_n)$ многих комплексных переменных характерно прежде всего то, что у них не могут существовать изолированные особые точки. При $n \gt 1$ особые точки образуют некоторые непрерывные области.