Статисти́ческая фи́зика, раздел физики, в котором на основе статистических (вероятностных) представлений описываются свойства физических объектов любой природы, находящихся в тепловом контакте с внешним окружением (например, термостатом с фиксированной температурой $T_0$). В общем случае статистическая физика является неравновесной (её полная теория пока отсутствует), однако в случае теплового (термодинамического) равновесия между объектом и термостатом существует детально и окончательно разработанная равновесная статистическая физика.

Статистический характер описания физического объекта в рамках статистической физики (в отличие от более полного и информативного динамического) обусловлен неконтролируемым (вероятностным, стохастическим) влиянием окружающей среды (термостата), что предполагает выполнение условия $f_{окр} ≫ f_{об};$ здесь $f_{окр}$ и $f_{об}$ – числа степеней свободы окружающей среды и объекта соответственно. Связь с экспериментально наблюдаемыми физическими величинами в статистической физике реализуется посредством усреднения микро- или макроскопических характеристик объекта по времени. Связь между динамическим и статистическим описаниями определяется эргодической гипотезой, которая позволяет заменить усреднение по времени усреднением по статистическому ансамблю.

Равновесная статистическая физика включает в себя два подхода – статистическую механику, созданную Дж. Гиббсом для классических объектов в 1902 г. и обобщённую для квантовых объектов Дж. фон Нейманом в 1927 г., и статистическую термодинамику, построенную А. Эйнштейном в 1903–1904 гг. и завершённую Л. Силардом в 1925 г. Оба подхода статистической физики физически и математически эквивалентны, а конкретный выбор подхода определяется физической постановкой задачи.

Как правило, описываемые в статистической физике объекты являются макроскопическими и состоят из большого числа (порядка числа Авогадро, 10²³) микрочастиц (молекул, атомов, ионов, электронов и т. п.), однако в рамках статистической физики вполне возможно также рассмотрение находящихся в термостате одиночных частиц или выделенных мод электромагнитного излучения. Выбор классического или квантового описания определяется внешними физическими условиями, например значениями температуры $T_0$ по сравнению с температурой квантового вырождения для данного объекта.

В отличие от соотношений классической (или феноменологической) термодинамики, имеющих универсальный характер для всех объектов, соотношения статистической физики различны для различных классов объектов, например классических и квантовых идеальных или неидеальных газов, магнитных (спиновых) систем, теплового излучения и т. п., и требуют информации о внутренних свойствах конкретного объекта, прежде всего о микроскопических свойствах этих частиц – их массы, заряда, спина и т. п.

Функции распределения

Основной инструмент описания в статистической физике – статистические функции распределения $w,$ которые в рамках статистической механики определены в фазовом пространстве обобщённых координат $q$ и импульсов $p$ объекта, а в рамках статистической термодинамики – в пространстве макроскопических переменных объекта (например, полной энергии $ℰ$, объёма $V$, числа частиц $N$ и т. п.). Важное значение для статистической физики имеет вид полной энергии $ℰ$ объекта, пространственно ограниченного стенками, с конечным объёмом $V_0$. В предположении об аддитивности энергии полная энергия объекта$$ℰ(p,q;V_0)=\\=ℰ_к(р)+ℰ_п(q)+ℰ_{вн}(q;V_0)\tag{1}$$состоит из суммы кинетической энергии $ℰ_к(р)=[ℰ_0^2+(cp)^2]^{1/2}$ всех частиц с импульсами $р$ $(ℰ_0=m_0c^2$, $m_0$– масса объекта, $c$ – скорость света в вакууме) и потенциальной энергии $ℰ_п(q)$, которая определяется видом взаимодействия между частицами этого объекта; энергия $ℰ_{вн}(q;V_0)$ определяется взаимодействием частиц объекта с внешней стенкой (как правило, абсолютно твёрдой и непроницаемой для частиц).

Согласно основным положениям статистической физики, если для физического объекта применимо классическое описание, а его энергия аддитивна, то функция распределения имеет канонический (экспоненциальный) вид:$$w(q,p;V_0,T_0) =\\= Z^{–1}(V_0,T_0)\exp[–ℰ(p,q;V_0)/kT_0],\\ \int w (q,p;V_0,T_0)dpdq\equiv 1;\tag{2}$$$$Z(V_0,T_0)=\int \exp[–ℰ(p,q;V_0)/kT_0]dpdq,\\ F(V_0,T_0)=–kT_0\ln Z(V_0,T_0),\tag{3}$$где $Z(V_0,T_0)$ – статистический интеграл, играющий роль нормировочного множителя для функции распределения $w$ для любых значений объёма $V_0$ и температуры $T_0$, заданных внешними условиями; $k$ – постоянная Больцмана. Таким образом, выражения (2) и (3) в рамках статистической физики определяют термодинамические свойства физического объекта посредством одного из потенциалов термодинамических – свободной энергии $F(V_0,T_0)$. В частном случае идеального газа с учётом только кинетической энергии частиц $ℰ_к(р)≈p^2/(2m_0)$ (в нерелятивистском приближении), $ℰ_п(q)=ℰ_{вн}(q;V_0)=0$, распределение (2) было получено Дж. Максвеллом в 1859 г., а с учётом потенциальной энергии во внешнем поле $ℰ_{вн}(q;V_0)$ – Л. Больцманом в 1871 г.

Если для объекта в данных физических условиях необходимо квантовое описание, то принципиальная схема описания остаётся той же, однако вычислительная часть становится существенно сложнее. Функция распределения по квантовым состояниям, определяемым совокупностью квантовых чисел $\{n, α\}$ ($n$ – главное квантовое число, $α$ – совокупность остальных квантовых чисел), имеет вид (при суммировании для ферми-частиц учитывается принцип Паули): $$w_{n,α}(V_0,T_0)=\exp \{[F(V_0,T_0)-ℰ_{n,α}(V_0)]/kT_0\},\\ \sum_{n,α}w_{n,α}(V_0,T_0)\equiv1. \tag{4}$$Здесь $ℰ_{n,α}(V_0)$ – энергетический спектр физического объекта, определяемый посредством решения стационарного уравнения Шрёдингера (с учётом граничных условий) с операторным аналогом выражения (1) для энергии.

Во многих практически важных случаях спектр $ℰ_{n,α}$ фактически зависит только от главного квантового числа $n$, т. е. имеет место вырождение по другим квантовым числам $α$ с кратностью $g_n ⩾ 1$. Тогда формула (4) принимает вид $$w_n(V_0,T_0)=\\=g_n \exp \{[F(V_0,T_0)-ℰ_{n,α}(V_0)]/kT_0\},\\ \sum_n w_n(V_0,T_0)\equiv 1, \tag{5}$$одинаковый как в статистической механике, так и в статистической термодинамике квантового объекта. Соответственно, аналог выражения (5) для классического объекта может быть получен из формул (2) и (3) посредством введения структурной функции, или плотности состояний, $g(ℰ) > 1$, причём $g(ℰ)dℰ$ – число различных состояний объекта в фазовом пространстве, приходящихся на малый интервал энергий $dℰ$. Существенно, что имеется связь $S_B(ℰ)=k \ln g(ℰ)$, где $S_B(ℰ)$ – энтропия Больцмана. Тогда в рамках статистической термодинамики имеет место выражение $$w(ℰ;V_0,T_0)=\\= \exp \{[F(V_0,T_0)-S_B(ℰ )T_0-ℰ_{n,α} (V_0)]/kT_0\},\\ \int dpdq(...) = \int g(ℰ)dℰ(...). \tag{6}$$

Средние значения и корреляционные функции

Описание объектов в рамках статистической физики позволяет находить не только свободную энергию $F(V_0,T_0)$, но и средние значения $$\overline{A(V_0,T_0)} = \\ = \int dpdqA(p,q) \exp \{ [F(V_0,T_0) - ℰ(p,q; V_0)]/kT_0 \}$$ динамических величин $A(p,q)$, зависящих, как правило, от координат и импульсов не всех частиц, а лишь одной (одночастичные величины – например, кинетическая энергия) или пáры частиц (двухчастичные величины – например, потенциальная энергия взаимодействия). Аналогично, важными характеристиками в рамках статистической физики являются дисперсии $σ^2_{AA} = [\overline{\Delta A}]^2$, где $\Delta A = A(p,q) - \overline{A(V_0,T_0)}$ – флуктуация, или случайное отклонение от среднего, величины $A(p,q)$, а также корреляционные функции $σ_{AB}=\overline{\Delta A \Delta B}$ для пар динамических величин $A(p,q)$ и $B(p,q)$. Существенно, что корреляционная матрица (набор всех $σ_{AA}$ и $σ_{AB}$) в статистической термодинамике пропорциональна матрице обобщённых восприимчивостей $χ_{AA}$ и $χ_{AB}$ классической термодинамики. Как правило, относительные флуктуации $σ_{AA}^2/\overline{A}^2 \propto 1/\sqrt{N}$ для любых величин $A$ малы для макроскопических объектов, однако играют важную роль вблизи критических точек $Т_{кр}$ фазовых переходов, где обобщённые восприимчивости обнаруживают аномальный рост.

Для расчёта средних величин и корреляционных функций полная функция распределения (2) содержит избыточную информацию и вполне достаточно ограничиться $r$-частичными $(r=1,2,...$) функциями распределения $w_r$, представляющими собой условные вероятности, или полную функцию распределения $w_N$ (2), проинтегрированную по всем остальным $N-r$ пáрам переменных фазового пространства ($N$ – полное число частиц объекта).

Кинетические уравнения

Для набора $r$-частичных функций распределения существует цепочка кинетических уравнений, определяемая взаимодействием частиц и позволяющая при определённых приближениях найти явный вид одно- и двухчастичных функций распределения.

В неравновесной статистической физике все функции распределения $w_r$ приобретают явную зависимость от времени $t$, причём, как и в равновесном случае, для величин $\partial w_r/ \partial t$ имеет место цепочка кинетических уравнений, решение которых в пределе $t→∞$ (фактически уже при $t ≫ τ,$ где $τ$ – время термодинамической релаксации) воспроизводит набор канонических $r$-частичных функций распределения. Существенно, что в ходе временнóй эволюции энтропия объекта $S(t)$ растёт в соответствии со вторым началом термодинамики; впервые такой подход сформулировал Л. Больцман в 1871 г., получивший распределение Максвелла в качестве решения своего уравнения для случая идеального классического газа. В современной равновесной и неравновесной статистической физике используются математические методы, заимствованные из квантовой теории поля, т. к. объекты в этих разделах физики обладают очень большим числом степеней свободы.

Приложения

Приложения статистической физики к конкретным физическим объектам многочисленны и разнообразны – см. статьи Идеальный газ, Квантовый газ, Жидкость, Твёрдое тело, Металлы, Плазма, Тепловое излучение, Статистика Бозе – Эйнштейна, Статистика Ферми – Дирака, Квазичастицы, Физическая кинетика, Фазовый переход.