Гомеоморфи́зм, гомеоморфное отображение, взаимно однозначное соответствие между двумя топологическими пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называются гомеоморфными, или топологическими, отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат к одному топологическому типу и называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными. Они являются изоморфными объектами в категории топологических пространств и непрерывных отображений. Следует отличать гомеоморфизм от уплотнения (в котором непрерывность обязательна только в одну сторону); однако уплотнение бикомпакта на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.

Примеры: 1) Функция $1 /\left(e^x+1\right)$ устанавливает гомеоморфизм между числовой прямой $\mathbb{R}$ и интервалом $(0,1)$; 2) замкнутый круг гомеоморфен любому замкнутому выпуклому многоугольнику; 3) трёхмерное проективное пространство гомеоморфно группе вращений пространства $\mathbb{R}^3$ вокруг начала и также пространству единичных касательных векторов к сфере $S^2$; 4) все бикомпактные нульмерные группы со счётной базой гомеоморфны канторову множеству; 5) бесконечномерные и сепарабельные банаховы пространства и даже пространства Фреше гомеоморфны между собой; 6) сфера и тор негомеоморфны.

Термин «гомеоморфизм» был введен А. Пуанкаре в 1895 г. (см. Пуанкаре. 1972) в применении к (кусочно) дифференцируемым отображениям областей и подмногообразий пространства $\mathbb{R}^n$; однако понятие было известно и ранее, например Ф. Клейну (F. Klein; 1872) и в рудиментарной форме A. Мёбиусу (А. Мӧbius – элементарное средство, 1863). В начале 20 в. под влиянием развития теории множеств и аксиоматического метода началось изучение гомеоморфизма без предположений дифференцируемости. Такая задача, в явной форме впервые поставленная Д. Гильбертом (см. Проблемы Гильберта. 1969. С. 31), составляет содержание пятой проблемы Гильберта. Особое значение имело установление Л. Брауэром негомеоморфности $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$ при $n \neq m$. Этим была восстановлена вера математиков в геометрическую интуицию, поколебленная результатами Г. Кантора о равномощности $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$ и Дж. Пеано о возможности непрерывного отображения $\mathbb{R}^n$ на $\mathbb{R}^m$, $n<m$. Введённые М. Фреше и Ф. Хаусдорфом понятия метрического (соответственно топологического) пространства поставили на прочный фундамент понятие гомеоморфизма и позволили сформулировать понятия топологического свойства (свойства, не меняющегося при гомеоморфизме), топологической инвариантности и т. п. и сформулировать задачу классификации топологических пространств тех или иных типов с точностью до гомеоморфизма. В такой постановке эта задача, однако, чрезвычайно сложна уже для очень узких классов пространств. Кроме классического случая двумерных многообразий, классификация указана лишь для некоторых видов графов, для двумерных полиэдров, для некоторых классов многообразий. Алгоритмически проблема классификации в общем виде вообще неразрешима, так как невозможен алгоритм для различения, например, многообразий размерности больше $3$. Поэтому обычно задача о классификации ставится в рамках более слабого отношения эквивалентности, например, в алгебраической топологии для гомотопического типа или, наоборот, для классификации пространств, снабжённых какой-либо структурой. В этом случае вопрос о гомеоморфизме остаётся всё же очень важным. В топологии многообразий лишь в конце 1960-х гг. разработаны методы, позволяющие изучать многообразия с точностью до гомеоморфизма. При этом изучение проводится здесь в тесной связи гомотопической, топологической, кусочно линейной и гладкой структур.

Другая проблема состоит в топологической характеризации отдельных пространств и классов пространств (т. е. их указания характеристических топологических свойств, формулируемых на языке аксиом топологии). Она решена, например, для одномерных многобразий, двумерных многообразий, канторова множества, кривой Серпинского, кривой Менгера, псевдодуги, пространства Бэра и др. Универсальный метод для топологической характеризации пространств дают спектры. С их помощью получена теорема Александрова о гомеоморфизме (см. Александров. 1959). Последовательностью измельчающихся подразделений охарактеризована сфера и вообще класс локально евклидовых пространств (см. Нarrold. 1965). Посредством спектров дано описание локально бикомпактных групп (см. Понтрягин. 1973). Другой метод состоит в рассмотрении различных алгебраических структур, связанных с отображениями. Так, бикомпактное пространство совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры действительных функций, заданных на нём. Mногие пространства характеризуются полугруппой непрерывных отображений в себя (см. Группа гомеоморфизмов). В общей топологии даётся топологическое описание многих классов топологических пространств. Представляет интерес также характеризация пространств внутри данного класса. Например, очень полезно описание сферы как компактного многообразия, покрытого двумя открытыми клетками.

Вообще, если два топологических пространства негомеоморфны, то этот факт устанавливается указанием топологического свойства, которым обладает лишь одно из них (компактность, связность и т. д.; например, отрезок отличается от окружности тем, что он может быть разбит точкой); особое значение имеет здесь метод инвариантов. Инварианты определяются или аксиоматическим путём сразу для целого класса пространств, или алгоритмически, по конкретному представлению пространства, например по триангуляции, диаграмме Хегора, разложению на ручки и т. д. В первом случае возникает задача вычисления инварианта, во втором – доказательства топологической инвариантности. Возможен и промежуточный случай, например, характеристические классы гладких многообразий определялись сначала как препятствия к построению векторных и реперных полей, а затем стали определяться как образ касательного расслоения при преобразовании $K O$-функтора в когомологический функтор, но в обоих случаях обе указанные задачи не решаются определением. Исторически первый пример доказательства топологической инвариантности, а именно линейной размерности $\mathbb{R}^n$ дал Л. Брауэр (1912). Классический идущий от А. Пуанкаре метод состоит в том, чтобы дать сразу два определения: «вычислимое» и «инвариантное» и затем доказывать их совпадение. Этот приём оказался особенно успешным в теории гомологии полиэдров. Другой метод состоит в том, чтобы доказать, что инвариант не меняется при элементарных преобразованиях представления пространства (например, подразделениях триангуляций). Он достигает цели, если известно, что таким образом можно получить все представления данного типа. В связи с этим, например, в топологии полиэдра возникла т. н. основная гипотеза комбинаторной топологии. Этот метод (также идущий от А. Пуанкаре) оказался очень полезным в топологии двух и трёх измерений, в частности в теории узлов, но он выходит из употребления (если не считать конструктивного направления) не столько в связи с тем, что указанная гипотеза оказалась неверной, сколько потому, что развитие теории категорий позволило давать определения, более отвечающие существу дела, с более чёткой постановкой задачи о вычислении и топологической инвариантности. Так, инвариантность гомологий, определённых функториальным, но вычислимым образом для комплексов, следует из сравнения категорий комплексов и гомотопических классов симплициальных отображений с категорией гомотопических классов непрерывных отображений, что позволяет не давать отдельного определения для большей категории, а распространить его с меньшей. (Истоки этой идеи содержатся в теории степени Брауэра). Особенно ярко преимущество нового метода проявилось в связи с указанным выше вторым определением характеристических классов как преобразований функторов. Так, например, вопрос о топологической инвариантности естественным образом оказался частью вопроса о соотношении между K-функтором и его топологическим обобщением.

Если два пространства гомеоморфны, то для установления гомеоморфизма общее значение имеет лишь метод спектров (и измельчающихся подразделений). С другой стороны, в том случае, когда построена классификация, вопрос решается сравнением инвариантов. На практике установление гомеоморфизма часто оказывается очень трудной геометрической задачей, которую приходится решать специальными средствами. Так, гомеоморфизм евклидова пространства и некоторых его факторпространств устанавливается с помощью псевдоизотопии.