Алгебраи́ческая крива́я, кривая, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением, в общем случае – алгебраическое многообразие размерности 1. Простейшими примерами алгебраической кривой являются аффинные и проективные прямые и кривые 2-го порядка. Плоская алгебраическая кривая задаётся одним алгебраическим уравнением $$F(x, y)=0$$на аффинной плоскости ${\bf A}^2_k$ или одним однородным алгебраическим уравнением $$Φ(x_0, x_1, x_2)=0$$на проективной плоскости ${\bf P}^2_k$ над некоторым полем $k$. Степень многочленов $F(x, y)$ и $Φ(x_0, x_1, x_2)$ называется степенью (или порядком) соответствующей алгебраической кривой. Существуют аффинные и проективные кривые в пространствах любой размерности, не изоморфные плоским кривым.

В алгебраической геометрии изучаются в основном неособые проективные алгебраические кривые над алгебраически замкнутым основным полем. Основной задачей для алгебраических кривых является их бирациональная классификация. В каждом бирациональном классе существует единственная (с точностью до изоморфизма) полная неособая кривая. Она может быть изоморфно вложена (различными способами) в проективные пространства. Единственным дискретным бирациональным инвариантом алгебраической кривой $X$ является её род $g=g(X)$. Он равен размерности пространства регулярных дифференциальных форм на $X$ и принимает любые неотрицательные целые значения. Значение $g=0$ характеризует рациональные кривые: это кривые, накрываемые проективной прямой ${\bf P}^1_k$. Кривые рода $g=1$ называются эллиптическими кривыми. С точностью до изоморфизма они параметризуются аффинной прямой ${\bf A}^1_k$. Классы изоморфизмов всех кривых фиксированного рода $g⩾2$ образуют неприводимое алгебраическое многообразие $M_{3g-3}$ размерности $3g-3$, называемое многообразием модулей.

Для всякой кривой рода $g⩾2$ определено каноническое отображение её в проективное пространство ${\bf P}^{g-1}_k$ размерности $g-1$. В случае, когда оно является изоморфным вложением (и тогда его образ – кривая степени $2g-2$), алгебраическая кривая называется канонической, в противном случае она называется гиперэллиптической. Гиперэллиптическая кривая рода $g⩾2$ может быть задана аффинным уравнением вида $y^2=P(x)$, где $P(x)$ – многочлен степени $2g+2$ без кратных корней.

Теория алгебраических кривых возникла в конце 18 в. как теория эллиптических кривых, точнее, эллиптических интегралов над полем комплексных чисел $\bf C$. Н. Х. Абель в 1826 г. рассмотрел более общие интегралы, названные впоследствии абелевыми интегралами, и заложил основы общей теории алгебраических кривых над полем $\bf C$.

Н. Абель и К. Якоби построили также отображение алгебраической кривой в комплексный тор, вложение которого в проективное пространство при помощи тэта-функций задаёт на нём структуру проективного алгебраического многообразия, называемого якобиевым многообразием или якобианом кривой $X$. Теория якобианов алгебраических кривых над произвольными полями была развита в 1940-х гг. в работах А. Вейля.

Изучая алгебраические функции комплексного переменного, Б. Риман в 1851 г. ввёл понятие, называемое теперь римановой поверхностью (одномерным комплексным многообразием), и положил начало изучению топологии комплексных алгебраических кривых. Был выяснен топологический смысл рода как числа ручек соответствующей компактной римановой поверхности. Риманова поверхность для ${\bf P}^3_{\bf C}$ – это сфера Римана, для эллиптической кривой – одномерный комплексный.

О связи алгебраической кривой и автоморфных функций см. в ст. Автоморфная функция. В современной теории изучаются также арифметические свойства алгебраической кривой над конечными и числовыми полями.