Дзе́та-фу́нкция Ри́мана ($\zeta$-функция), аналитическая функция комплексного переменного $s= \sigma+it$, при $\sigma>1$ определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле: $$\zeta (s)= \sum^\infty_{n=1} \frac {1}{n^s}.\tag{1}$$При $\sigma >1$ справедливо представление в виде произведения Эйлера:

$$\zeta(s)= \Pi_p \left(1-\frac {1}{p^s}\right)^{-1},\tag{2}$$где $p$ пробегает все простые числа.

Тождественность ряда $(1)$ и произведения $(2)$ представляет собой одно из основных свойств дзета-функции. Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие дзета-функцию с важнейшими теоретико-числовыми функциями. Поэтому дзета-функция играет большую роль в теории чисел.

Дзета-функция была введена как функция действительного переменного Л. Эйлером (1737, опубликовано в 1744), который указал её разложение в произведение $(2)$. Затем дзета-функция рассматривалась П. Дирихле и особенно успешно П. Л. Чебышёвым в связи с изучением закона распределения простых чисел. Наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены после работ Б. Римана, впервые в 1859 г. рассмотревшего дзета-функцию как функцию комплексного переменного; им же введено название «дзета-функция» и обозначение $\zeta(s)$.

Многие проблемы теории простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. Известно, что дзета-функция имеет нули в точках $s=-2n$, где $n=1,2,\ldots$ (эти нули принято называть тривиальными), и что все остальные (нетривиальные) нули дзета-функции находятся в полосе 0 $\lt \sigma \lt 1$, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули дзета-функции расположены на прямой $\sigma=1/2$. Эта гипотеза Римана до сих пор (2022) не доказана и не опровергнута.