Преде́л, одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в рассматриваемом процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Точный смысл термин «предел» имеет лишь при наличии корректного понятия близости между элементами (точками) множества, в котором указанная переменная принимает значения. Основные понятия математического анализа – непрерывность, производная, интеграл – определяются с помощью предела. Наиболее простыми являются понятия предела функции (в частности, предела последовательности) и понятие предела интегральных сумм.

Предел числовой последовательности

Число $a$ называют пределом последовательности$\{x_n\}$, $n=1, 2, \ldots$, если для любого числа $ε>0$ существует (зависящее от него) натуральное число $N$ такое, что при всех $n>N$ выполняется неравенство

$$\left |x_n-a \right |\lt ε.\tag1$$При этом пишут

$$\lim_{n→\infty} x_n=a\quadили\quad x_n→a$$и говорят, что последовательность $\{x_n\}$ стремится (сходится) к $a$, предел последовательности $\{x_n\}$ равен $a.$ Неравенство (1) можно переписать в виде $a-ε\lt x_n\lt a+ε$, оно означает, что точка (число) $x_n$ принадлежит $ε$-окрестности точки $a$. Геометрический смысл понятия предела последовательности состоит в том, что в любой $ε$-окрестности точки $a$ лежат все элементы последовательности $\{x_n\}$, кроме, быть может, конечного их числа. Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Не всякая последовательность сходится; например, последовательность $\{(–1)^n\}$, $n=1, 2, \ldots,$ не стремится ни к какому пределу, её элементы попеременно равны $–1$ и $+1$ и не могут одновременно попасть в интервал $(a-ε, a+ε)$ при $0\lt ε\lt 1$ ни при каком $a.$ Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Последовательность может иметь лишь единственный предел. Если последовательность сходится, то она ограничена, т. е. её элементы лежат на некотором ограниченном отрезке действительной оси. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано – Вейерштрасса). Если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся, то справедливы равенства: для любых чисел $λ$ и $μ$

$$\begin{aligned}\lim_{n→∞}(λx_n+μy_n) &=λ\lim_{n→∞}x_n +μ\lim_{n→∞}y_n, \\ \lim_{n→∞}(x_ny_n) &=(\lim_{n→∞}x_n)(\lim_{n→∞}y_n), \end{aligned}$$если $y_n≠0$ и $\lim\limits_{n→∞}y_n\neq 0$, то

$$\lim_{n→∞}\frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim_{n→∞}x_n}{\lim_{n→∞}y_n}.$$Числовая последовательность сходится к конечному пределу тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию Коши: для любого числа $ε>0$ существует натуральное число $N$ (зависящее от $ε$) такое, что для всех $n>N$ и любого натурального $m$ расстояние между элементами последовательности $x_n$ и $x_{n+m}$ меньше $ε$, т. е. $\left | x_n-x_{n+m}\right |\lt ε$ (критерий Коши). Такие последовательности называются фундаментальными. Т. о., сходящимися являются фундаментальные последовательности и только они.

Всякая ограниченная и монотонная последовательность является сходящейся. В частности, если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел и этот предел есть точная верхняя (нижняя) грань множества значений элементов последовательности. Примером возрастающей и ограниченной сверху последовательности является последовательность периметров правильных $n$-угольников, $n⩾3$, вписанных в некоторую окружность. Пределом этой последовательности является длина окружности. Другой пример возрастающей и ограниченной сверху последовательности: $\left\{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$, $n= 1, 2, \ldots$. Предел этой последовательности есть иррациональное число, обозначаемое $e$.

Пределы некоторых числовых последовательностей:

$$\lim_{n→∞} \sqrt[n]{a}=1,\quad a\gt 0;\\ \lim_{n→∞}\sqrt[n]{n}=1;\\\lim_{n→∞} n^aq^n=0,\quad a\gt 0,\quad |q|\lt1;\\ \lim_{n→∞}\frac{1}{\sqrt[n]{n}!}=0;\\ \lim_{n→∞}\left( 1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a,\quad -\infty\lt a \lt \infty;\\ \lim_{n→∞}\left(1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\right)=e;\\ \lim_{n→∞}\frac{\log_a n}{n^\alpha}=0, \quad a\gt 0,\,a\neq1,\,\alpha\gt 0.$$Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Бесконечно малые последовательности играют особую роль в теории пределов последовательностей, т. к. общее определение предела последовательности может быть дано в терминах бесконечно малых: предел последовательности $\{x_n\}$, $n=1, 2, \ldots$, равен $a$ тогда и только тогда, когда последовательность $\{x_n-a\}$, $n=1, 2, \ldots$, есть бесконечно малая. В период формирования основных понятий математического анализа он назывался анализом бесконечно малых.

Иногда рассматриваются бесконечные пределы последовательностей. Бесконечный предел последовательности вводится как свойство последовательности $\{x_n\}$, $n=1, 2, \ldots$, быть бесконечно большой: для любого положительного числа $K$ существует такое натуральное число $N$, что при всех $n>N$ справедливо неравенство $|x_n|>K$. При этом пишут

$$\lim_{n→∞}x_n=\infty\quad\text{или}\quad x_n→∞$$и говорят, что последовательность $\{x_n\}$ стремится к бесконечности, имеет бесконечный предел. Например, $n^2→∞$, $2^n→∞$, $n!→∞$. Если последовательность $\{x_n\}$, $n= 1, 2, \ldots$, бесконечно большая и, начиная с некоторого $n$, принимает только положительные (отрицательные) значения, то $\lim\limits_{n→∞}x_n=+\infty$ (соответственно, $\lim\limits_{n→∞}x_n=-\infty$).

Если множества точек $x$, удовлетворяющие условиям $x\gt\frac{1}{ε}$, $x\lt-\frac{1}{ε}$ и $|x|\gt\frac{1}{ε}$, $ε\gt 0$, назвать $ε$-окрестностями $+∞$, $–∞$ и $∞$ соответственно, то определения как конечного, так и бесконечного пределов формулируются одинаково: предел последовательности $\{x_n\}$, $n=1, 2, \ldots$, равен $a$ (где $a$ – число или один из символов $+∞$, $–∞$, $∞$), если для любого числа $ε>0$ существует такое натуральное $N$, что все элементы последовательности с номерами $n>N$ лежат в $ε$-окрестности $a$.

Некоторые свойства предела последовательности одинаковы в случае конечного и бесконечного пределов. Например, если последовательности$\{x_n\}$, $n=1, 2, \ldots,$ и $\{y_n\}$, $n=1, 2,\ldots$, имеют пределы (конечные или бесконечные) и, начиная с некоторого $n$, справедливы неравенства $x_n⩽y_n$, то и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n⩽\lim\limits_{n\rightarrow\infty} y_n$, т. е. при предельном переходе нестрогие неравенства сохраняются.

Если последовательность имеет предел (конечный или определённого знака бесконечный), то любая её подпоследовательность имеет тот же предел. Конечный или бесконечный пределы подпоследовательности данной последовательности называют её частичным пределом. Наибольший (наименьший) из частичных пределов числовой последовательности всегда существует и называется верхним (нижним) пределом этой последовательности. Совпадение верхнего и нижнего пределов последовательности равносильно тому, что она имеет (конечный или определённого знака бесконечный) предел.

Для последовательности комплексных чисел определение предела аналогично: число $a=α+iβ$ называется пределом последовательности $\{z_n\}$, $z_n=x_n+iy_n$, $n=1, 2, \ldots$, если для любого числа $ε>0$ существует натуральное число $N$ такое, что при всех $n>N$ имеет место неравенство $|z_n-a|<ε$. Этот предел сводится к пределу последовательностей действительных чисел, т. к. $\lim\limits_{n→\infty} z_n=a$ тогда и только тогда, когда $\lim\limits_{n→\infty} x_n=\alpha$ и $\lim\limits_{n→\infty}y_n=\beta$. Кроме того, по определению,$\lim\limits_{n→\infty} z_n=\infty$ если $\lim\limits_{n→\infty} |z_n|=\infty$.

С помощью понятия предела числовой последовательности определяются многие понятия пределов последовательностей, состоящих из элементов более сложной природы. Например, пусть на множестве $M$ задана последовательность функций $\{f_n\}$, $n=1, 2,\ldots$, и функция $f$. Говорят, что эта последовательность сходится к $f$ поточечно, если для любого $x∈M$ числовая последовательность $\{f_n(x)\}$, $n=1, 2, \ldots$, сходится к числу $f(x)$. Говорят, что эта последовательность функций сходится к $f$ равномерно на $M$, если числовая последовательность точных верхних граней $\{\sup\limits_{x∈M}\left|f_n(x)-f(x)\right|\}$, $n=1, 2, \ldots$, сходится к нулю.

Предел функции

Говорят, что функция $f$, принимающая действительные значения, имеет в конечной или бесконечно удалённой точке $x_0$ конечный или бесконечный предел $a$, если для любой последовательности

$$\{x_n\},\quad n=1, 2, \ldots,\tag2$$стремящейся к точке $x_0$, числовая последовательность $\{f(x_n)\}$, $n=1, 2, \ldots$, стремится к $a$. В этом случае пишут:

$$\lim\limits_{x→x_0}f(x)=a\,\,или\,\,f(x)→a\,\,при\,\,x→x_0.\tag3$$Здесь предполагается, что все элементы последовательности (2) принадлежат области определения функции $f$. Если это множество лежит на действительной оси, то $x_0$ может быть либо действительным числом, либо одной из бесконечностей $+∞$, $–∞$, $∞$. Если область определения функции $f$ лежит в плоскости, в пространстве, вообще говоря, $m$-мерном, $m>1$, то $x_0$ может быть либо точкой этой плоскости, соответственно пространства, либо бесконечно удалённой точкой. Предел функции может быть либо числом, либо одной из бесконечностей $+∞$, $–∞$, $∞$.

Точка $x_0$, в которой рассматривается предел функции, может принадлежать или не принадлежать области определения этой функции. Например, $\lim\limits_{x→0}\sin x=0$ и $\lim\limits_{x→0}\frac{\sin x}{x}=1.$ В первом случае функция sin x определена для всех действительных значений $x$, а во втором – для всех, кроме $x=0$. Если точка $x_0$ принадлежит области определения функции $f$, существует предел (3) и он равен $f(x_0)$, т. е.

$$\lim_{x→x_0} f(x)=f(x_0),$$то функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$.

Иногда при определении предела (3) на функции накладывается дополнительное ограничение

$$x_n≠x_0,\quad n=1, 2, \ldots\tag4$$Так, определённое понятие «предела» является частным случаем введённого выше, а именно, соответствующим случаю, когда точка $x_0$ не принадлежит множеству, на котором рассматривается функция $f$.

Определение предела (3) можно сформулировать и в терминах неравенств. Например, число $a$ является пределом функции $f$ в точке $x_0$, если для любого $ε>0$ существует такое $δ>0$, что для всех $x$, принадлежащих области определения функции $f$ и удовлетворяющих неравенству $\left| x-x_0\right| \lt δ$, выполняется неравенство $\left |f(x)-f(x_0)\right |\lt ε$.

Всё многообразие различных случаев, встречающихся при определении предела в терминах неравенств, сводится к одному с помощью понятия окрестности. Существование предела (3) для функции $f$, заданной на множестве $X\subset\bf{R}^{\it m}$, $m⩾1$, означает, что для любой окрестности $V$ точки $a$ (конечной или бесконечно удалённой) существует такая окрестность $U$ точки $x_0$ (конечной или бесконечно удалённой), что из включения $x∈X∩U$ следует $f(x)∈V$, т. е. $f(X∩U)⊂V$. В случае определения предела с дополнительным условием (4) здесь для получения равносильного определения надо потребовать, чтобы условие $f(x)∈V$ выполнялось при добавочном ограничении $x≠x_0$.

В данной точке функция может иметь только один конечный или определённого знака бесконечный предел.

Условие существования конечного предела функции в точке даёт критерий Коши: функция $f$, заданная на множестве $X⊂\bf{R}^{\it m}$, $m⩾1$, имеет в точке $x_0$ (конечной или бесконечно удалённой) конечный предел, если для любого $ε>0$ существует такая окрестность $U$ точки $x_0$, что как только $x∈X∩U$, $x'∈X∩U$, то выполняется неравенство $|f(x)-f(x')|\lt ε$.

Функция, имеющая конечный предел в точке $x_0$, локально ограничена, т. е. существует окрестность точки $x_0$, на пересечении которой с областью определения функции эта функция ограничена.

В случае существования предела в неравенствах для функций можно переходить к пределу: если функции $f$, $g$, $h$ заданы на множестве $X$, существуют конечные или определённого знака бесконечные пределы

$$\lim_{x→x_0} f(x)=\lim_{x→x_0} g(x)=a,$$и для всех $x∈X$ выполняются неравенства $f(x)⩽h(x)⩽g(x)$, то существует

$$\lim_{x→x_0} h(x)=a.$$Если существуют конечные пределы

$$\lim_{x→x_0} f(x)\quadи\quad\lim_{x→x_0} g(x),$$то справедливы равенства, аналогичные тем, что справедливы для пределов числовых последовательностей: для любых чисел $λ$ и $μ$

$$\lim_{x→x_0}(λf(x)+μg(x))=λ\lim_{x→x_0}f(x)+μ\lim_{x→x_0}g(x),\\ \lim_{x→x_0}(x_ny_n)= (\lim_{x→x_0}f(x)) (\lim_{x→x_0}g(x)),\\ если\,\,g(x)\neq0\quad и\quad\lim_{x→x_0}g(x)\neq 0, то\\\lim_{x→x_0}\frac{x_n}{y_n} =\frac{\lim_{x→x_0}f(x)}{\lim_{x→x_0} g(x)}.$$При вычислении предела полезно использовать набор некоторых основных пределов, например следующих:

$$\lim\limits_{x→∞}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x→0}(1+x)^{1/x}=e;\\ \lim\limits_{x→0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a,\quad \lim\limits_{x→+∞}\frac{\log_a x}{x^\alpha}=0,\\ a\gt 0,\quad a\neq 0, \quad \alpha\gt 0;\\ \lim\limits_{x→0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1;\quad \lim\limits_{x→0}\frac{\sin x}{x}=1;\\ \lim\limits_{x→+∞}\rm{arctg}\,x=\frac{\pi}{2};\quad \lim\limits_{x→0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha.$$Предел композиции функций: если определена сложная функция $F(f(x))$ и существуют конечные или бесконечные пределы

$$\lim\limits_{x→x_0} f(x)=a\quad и\quad\lim\limits_{y→a} F(y)=b,$$то существует предел

$$\lim\limits_{x→x_0} F(f(x))=\lim\limits_{y→a} F(y)=b.$$Определение предела (3) для функций, принимающих действительные значения, переносится на комплекснозначные функции.

Основным общим методом вычисления пределов функций является выделение главных частей функций в окрестности данной точки, что делается обычно с помощью формулы Тейлора.

Понятие предела функции обобщается и на более широкие классы функций: если функция $f$ задана на множестве $X_f$, являющемся подмножеством топологического пространства $X$, а множество её значений принадлежит топологическому пространству $Y$ (в этом случае вместо термина «функция» обычно употребляют термин «отображение»), то точка $a∈Y$ называется пределом функции $f$ при $x→x_0∈X$, если для любой окрестности $V$ точки $a$ в пространстве $Y$ существует такая окрестность $U$ точки $x_0$ в пространстве $X$, что $f(X∩U)⊂V$. Ясно, что определение предела функции содержательно только в том случае, когда точка $x_0$ является точкой прикосновения множества $X_f$, на котором задана функция $f$, т. е. когда в любой окрестности этой точки содержится, по крайней мере, одна точка указанного множества.

Предел интегральных сумм

Предел интегральных сумм, использующийся при определении интеграла, определяется следующим образом. Пусть, например, функция $f$ определена на отрезке $[a, b]$. Совокупность $\{x_j\}^n_j=0$ таких точек, что $a=x_0\lt x_1\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b$, называется разбиением отрезка $[a, b]$. Пусть числа $ξ_j$ таковы, что $x_{j-1}⩽ξ_j⩽x_j$ и $\Delta x_j=x_j-x_{j-1}$, $j=1, 2, \ldots, n$. Сумма

$$f(ξ_1)\Delta x_1+f(ξ_2)\Delta x_2+\ldots+f(ξ_n)\Delta x_n$$называется интегральной суммой функции $f$. Число $A$ является пределом интегральных сумм, называется определённым интегралом и обозначается

$$\int\limits_a^b f(x)dx,$$если для любого $ε>0$ существует такое $δ>0$, что, каково бы ни было разбиение $\{x_j\}^n_j=0$ отрезка $[a, b]$, для которого $\max\limits_{l⩽j⩽n}\Delta x_j\lt δ$, и каковы бы ни были точки $ξ_j$, $x_{j-1}⩽ξ_j⩽x_j$, $j=1, 2, \ldots, n$, выполняется неравенство

$$\left| f(ξ_1)\Delta x_1+f(ξ_2)\Delta x_2+ \ldots+f(ξ_n)\Delta x_n-A\right |\lt ε.$$Понятие предела интегральных сумм может быть введено и с помощью предела последовательности.

Обобщения понятия предела

Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия предела естественно возникло стремление включить их как частные случаи в более широкое понятие предела. Можно ввести понятие предела, обобщающее как предел числовой функции, так и понятие предела интегральных сумм. Система $S$ непустых подмножеств некоторого множества $X$ называется направлением, если для каждых двух подмножеств $A$ и $B$ этой системы выполняется одно из включений $A⊂B$ или $B⊂A$. Пусть на множестве $X$ задана числовая функция $f.$ Число $a$ называется пределом функции $f$ по направлению $S$, если для любого $ε>0$ существует такое множество $A$ из $S$, что во всех его точках выполняется неравенство $\left |f(x)-a\right |\lt ε$. При определении конечного предела числовой функции $f$, заданной на множестве $X$ $m$-мерного пространства $\bf{R}^{\it m}$, в точке $x_0$ за направление следует взять пересечения множества $X$ со всевозможными $δ$-окрестностями этой точки. При определении предела интегральных сумм функции $f$, заданной на отрезке $[a, b]$, следует рассмотреть множество $E$, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка $[a, b]$ с выбранными в них точками $ξ_j$. Подмножества $E_η$ множества $E$, отвечающие разбиениям, для которых длины отрезков $\Delta x_j$ не превышают $η$, образуют направление. Пределом интегральных сумм (которые при заданной функции $f$ являются функциями, определёнными на множестве $E$) по указанному направлению является интеграл $\int_a^b f(x)dx.$

Понятие предела обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) в другое. Наиболее полно задача определения предела решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный $f(x)$, меняющийся при изменении другого объекта, обозначенного $x$, при достаточно близком приближении объекта $x$ к объекту $x_0$ сколь угодно близко приближается к объекту $a$, который и называется пределом $f(x)$ при $x$, стремящемся к $x_0$. Основным в такого рода понятиях предела являются понятия близости объектов $x$ и $x_0$, $f(x)$ и $a$, которые нуждаются в строгих определениях. Только после того как это сделано, высказанному определению предела можно придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

Встречаются, однако, понятия предела и другой природы, не связанные с топологией, например понятие предела последовательности множеств. Последовательность множеств $\{A_n\}$, $n=1, 2, \ldots$, называется сходящейся, если существует множество $A$, называемое её пределом, такое, что каждая его точка принадлежит всем множествам $A_n$, начиная с некоторого номера $n$, и каждая точка из объединения всех множеств $A_n$, не принадлежащая $A$, принадлежит лишь конечному числу множеств $A_n$.

Историческая справка

К понятию предела вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур (тел) с помощью метода исчерпывания, доказывал, что разность между их площадями (объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя, по существу, представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории пределов. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предела не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия предела наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчисления. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. при вычислении площадей и объёмов широко использовали метод «неделимых», метод актуально бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлениям, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых конечных положительных величин. В этот период продолжает применяться и развиваться метод исчерпывания (швейцарский математик П. Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия предела появляются попытки создать общую теорию пределов. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвятил своеобразной теории пределов под названием «Метод первых и последних отношений», которую он положил в основу своего метода флюксий. В этой теории Ньютон взамен актуально бесконечно малых предложил концепцию «потенциально» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положительной конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о пределе. Понятие о пределе, наметившееся у математиков 17 в., в следующем 18 в. постепенно анализировалось и уточнялось (Л. Эйлер, Ж. Д’Аламбер, Н. Л. С. Карно, Я. Бернулли и И. Бернулли и др.). В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось основой разработки проблем математического анализа.

Современная теория пределов начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попытками доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов, сумм рядов, корней алгебраических и более общих уравнений и т. п.). В работах О. Коши понятие предела впервые стало основой построения математического анализа. Им были установлены основные свойства существования предела, основные теоремы о пределе и, что очень важно, получен внутренний критерий сходимости последовательности, носящий ныне его имя. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства. Окончательно понятие предела последовательности и функции оформилось на базе теории функций действительного переменного в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса.