Квадратичная форма
Квадрати́чная фо́рма, однородный многочлен 2-й степени от переменных , т. е. многочлен вида
Обычно предполагается, что коэффициенты квадратичной формы являются действительными или комплексными числами, в этом случае квадратичную форму можно записать в виде
где , . Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы.
Квадратичную форму можно рассматривать как функцию от переменных или от вектора в -мерном векторном пространстве. Переход к другой системе координат (другому базису) в этом векторном пространстве приводит к замене переменных в квадратичной форме новыми переменными , линейно выражающимися через . Матрица квадратичной формы в новой системе координат имеет вид , где $ – матрица перехода от старого базиса к новому , а означает транспонирование (см. Матрица). Переход к новому базису используется, например, для упрощения уравнения линии (поверхности) 2-го порядка.
Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, в этом случае
Такой вид квадратичной формы называется каноническим. Если коэффициенты квадратичной формы – комплексные числа, то можно выбрать все ненулевые коэффициенты равными единице. Базис, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, не единственен, но число ненулевых коэффициентов в каноническом виде не зависит от выбора базиса и называется рангом квадратичной формы. Над полем действительных чисел квадратичную форму можно привести к каноническому виду, в котором все ненулевые коэффициенты равны или . Такой вид квадратичной формы называется нормальным. Количество коэффициентов, равных или , не зависит от выбора базиса (теорема Сильвестра, или закон инерции). Разность между числом положительных и числом отрицательных членов в нормальном виде квадратичной формы называется её сигнатурой. Если все ненулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы равны , то квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой), в противном случае форма называется неопределённой.
Для квадратичных форм, заданных в евклидовом пространстве и имеющих действительные коэффициенты, справедлива теорема о приведении к главным осям: от любого ортонормированного базиса можно перейти к другому такому ортонормированному базису, что квадратичная форма имеет в нём канонический вид. Замена координат осуществляется при этом ортогональной матрицей. В применении к линиям и поверхностям 2-го порядка это даёт их приведение к главным осям.
Теория квадратичной формы впервые изложена Ж. Лагранжем (1798). Общая теория квадратичной формы создана К. Гауссом (1801); ему же принадлежит термин «квадратичная форма».