Квадрати́чная фо́рма, однородный многочлен 2-й степени от $n$ переменных $x_1, x_2,\ldots x_n$, т. е. многочлен вида

$$q= \sum_{i=1}^n b_{ii}x_i^2 + \sum_{i \lt j}b_{ij}x_ix_j.$$Обычно предполагается, что коэффициенты квадратичной формы являются действительными или комплексными числами, в этом случае квадратичную форму можно записать в виде

$$q=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j,\tag{*}$$где $a_{ij}=a_{ji}$, $i, j=1, \dots, n$. Симметричная матрица $A=\|a_{ij}\|$ называется матрицей квадратичной формы.

Квадратичную форму можно рассматривать как функцию от $n$ переменных или от вектора в $n$-мерном векторном пространстве. Переход к другой системе координат (другому базису) в этом векторном пространстве приводит к замене переменных $x_1, \dots, x_n$ в квадратичной форме новыми переменными $y_1, \dots, y_n$, линейно выражающимися через $x_1, \dots, x_n$. Матрица квадратичной формы $(\ast)$ в новой системе координат имеет вид $\tilde{A}=C^TAC$, где $C=\|c_{ij}\|$$ – матрица перехода от старого базиса к новому $(x_i=\sum^n_{j=1}c_{ij}y_i,\,\,i=1, \dots, n)$, а $T$ означает транспонирование (см. Матрица). Переход к новому базису используется, например, для упрощения уравнения линии (поверхности) 2-го порядка.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, в этом случае

$$q=a_{11}x_1^2+ \ldots +a_{nn}x_n^2.$$Такой вид квадратичной формы называется каноническим. Если коэффициенты квадратичной формы – комплексные числа, то можно выбрать все ненулевые коэффициенты $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ равными единице. Базис, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, не единственен, но число ненулевых коэффициентов в каноническом виде не зависит от выбора базиса и называется рангом квадратичной формы. Над полем действительных чисел квадратичную форму можно привести к каноническому виду, в котором все ненулевые коэффициенты равны $1$ или $–1$. Такой вид квадратичной формы называется нормальным. Количество коэффициентов, равных $1$ или $–1$, не зависит от выбора базиса (теорема Сильвестра, или закон инерции). Разность между числом положительных и числом отрицательных членов в нормальном виде квадратичной формы называется её сигнатурой. Если все ненулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы равны $1 (–1)$, то квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой), в противном случае форма называется неопределённой.

Для квадратичных форм, заданных в евклидовом пространстве и имеющих действительные коэффициенты, справедлива теорема о приведении к главным осям: от любого ортонормированного базиса можно перейти к другому такому ортонормированному базису, что квадратичная форма имеет в нём канонический вид. Замена координат осуществляется при этом ортогональной матрицей. В применении к линиям и поверхностям 2-го порядка это даёт их приведение к главным осям.

Теория квадратичной формы впервые изложена Ж. Лагранжем (1798). Общая теория квадратичной формы создана К. Гауссом (1801); ему же принадлежит термин «квадратичная форма».