Ортогональная система функций
Ортогона́льная систе́ма фу́нкций, система функций ортогональных с весом на отрезке, т. е. таких, что
Тригонометрическая система: даёт пример ортогональной системы функций с весом на отрезке .
Если каждая функция из ортогональной системы функций такова, что
(условие нормированности), то такая система функций называется ортонормированной.
Любую ортогональную систему функций можно отнормировать, умножив на число – нормирующий множитель. Из любой системы линейно независимых функций для каждой из которых существует интеграл
можно построить нормированную ортогональную систему функций. Для этого достаточно рассмотреть линейные комбинации этих функций
и определить коэффициенты из условия ортогональности ко всем функциям – из этого следует ортогональность ко всем – и условия нормированности (процесс ортогонализации). Например, ортогонализуя с весом на отрезке последовательность функций приходят к многочленам Лежандра.
Отдельные классы ортогональных систем функций изучались ещё в 18 в. Например, Л. Эйлер и Д. Бернулли рассматривали разложения функций в ряды по тригонометрическим и другим системам функций. Исследования по теории потенциала способствовали созданию теории сферических функций. Однако систематическое изучение ортогональных систем функций связано с введением одного метода решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит обычно к задаче о разыскании значений параметра , которым соответствуют не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения вида , удовлетворяющие граничным условиям , , где , – постоянные (см. Задача Штурма – Лиувилля). Соответствующие значения называются собственными значениями, а решения – собственными функциями задачи. Можно показать, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны с весом на отрезке . Чрезвычайно важный класс ортогональных систем функций открыт П. Л. Чебышёвым в его исследованиях по интерполированию методом наименьших квадратов и проблеме моментов (см. Многочлены Чебышёва).
Одной из основных задач теории ортогональных систем функций является задача о разложении достаточно произвольной, удовлетворяющей некоторым ограничениям функции в ряд вида , где – ортогональная система функций. Исторически к этой задаче привёл вопрос о возможности разложения любой функции по собственным функциям, получаемым при применении метода Фурье. Если положить формально , где – нормированная ортогональная система функций, и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на и интегрируя от до , получают
Коэффициенты , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы , обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом , т. е.
имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же другими линейными выражениями вида . Отсюда, в частности, получается неравенство Бесселя
Ряд с коэффициентами , вычисленными по формуле , называются рядом Фурье по ортогональной системе функций . Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция своими коэффициентами Фурье. Ортогональные системы функций, для которых это имеет место, называются полными или замкнутыми. Условия замкнутости ортогональных систем функций могут быть даны в нескольких эквивалентных формах: 1) любая непрерывная функция может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций , т. е. (в этом случае говорят, что ряд сходится в среднем к функции ); 2) для всякой функции , квадрат которой интегрируем относительно веса , выполняется условие замкнутости Ляпунова – Стеклова
3) не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке квадратом модуля, ортогональной ко всем функциям
Полнота тригонометрической системы функций была доказана А. М. Ляпуновым (1896), а полнота системы собственных функций уравнения Штурма – Лиувилля установлена В. А. Стекловым в ряде исследований 1896–1919 гг.
Из полноты системы не следует, вообще говоря, справедливость соотношения , т. е. из сходимости в среднем ряда Фурье функции не следует его сходимость к в каждой точке . Однако для большинства встречающихся в математическом анализе ортогональных систем функций это соотношение справедливо для всех достаточно гладких функций.
Глубокие исследования о сходимости ряда провёл Д. Е. Меньшов, доказавший, что этот ряд сходится почти всюду, если сходится ряд , причём функция в общем случае не может быть заменена медленнее растущей функцией (для некоторых ортогональных систем функций такая замена возможна; так, для тригонометрической системы функций можно вместо взять ).
Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом модуля как элементы гильбертова пространства, то нормированные ортогональные системы функций будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение функции в ряд по нормированной ортогональной системе функций – разложением вектора по ортам. При таком подходе многие понятия нормированных ортогональных систем функций приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; условие Ляпунова – Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость ортогональной системы функций означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т. д.