Термины

Производная

Произво́дная, основное понятие , характеризующее скорость изменения функции f(x)f(x) при изменении аргумента xx; производная есть функция, определяемая при каждом x0x_0 как

limxx0=f(x)f(x0)xx0,\lim_{x\rightarrow x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},если он существует. Производная функции y=f(x)y=f(x) обозначают f(x)f'(x), yy', dydx\dfrac{dy}{dx}, dfdx\dfrac{df}{dx}, Df(x)Df(x). Функция, имеющая производную в точке x0x_0, непрерывна в этой точке, однако существуют непрерывные функции, не имеющие производных во всех точках заданного промежутка. Если существует производная функции f(x)f'(x), то её называют второй производной функции y=f(x)y=f(x) и обозначают f(x)f''(x), yy'', d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2}, d2fdx2\dfrac{d^2f}{dx^2}, D2f(x)D^2f(x). Аналогично определяется производная любого (целого) порядка nn, которую обозначают f(n)(x)f^{(n)}(x), y(n)y^{(n)}, dnydxn\dfrac{d^ny}{dx^n}, dnfdxn\dfrac{d^nf}{dx^n}, Dnf(x)D^nf(x). Для функций действительного переменного производная может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной же области существование первой производной влечёт существование производных всех порядков. Для функций многих переменных определяются частные производные – производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны.

Термин «производная» (а также «вторая производная» и др.) ввёл (1797), обозначения y y', f(x)f'(x), f(x)f''(x) – он же (1770, 1779), а dydx \dfrac{dy}{dx} (1675). Частные производные появились в трудах , Лейбница, и , обозначения f x\dfrac{\partial f}{\partial  x}, zx\dfrac{\partial z}{\partial x} ввёл (1786), fx,zxf'_x,\,z'_x  – Лагранж (1797, 1801), 2zx2\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}, 2zxy\dfrac{\partial^2z}{\partial x \partial y}  – (1837).

Редакция математических наук
  • Пределы