Производная

Произво́дная, основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции $f(x)$ при изменении аргумента $x$; производная есть функция, определяемая при каждом $x_0$ как предел

$$\lim_{x\rightarrow x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$если он существует. Производная функции $y=f(x)$ обозначают $f'(x)$, $y'$, $\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{df}{dx}$, $Df(x)$. Функция, имеющая производную в точке $x_0$, непрерывна в этой точке, однако существуют непрерывные функции, не имеющие производных во всех точках заданного промежутка. Если существует производная функции $f'(x)$, то её называют второй производной функции $y=f(x)$ и обозначают $f''(x)$, $y''$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, $\dfrac{d^2f}{dx^2}$, $D^2f(x)$. Аналогично определяется производная любого (целого) порядка $n$, которую обозначают $f^{(n)}(x)$, $y^{(n)}$, $\dfrac{d^ny}{dx^n}$, $\dfrac{d^nf}{dx^n}$, $D^nf(x)$. Для функций действительного переменного производная может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной же области существование первой производной влечёт существование производных всех порядков. Для функций многих переменных определяются частные производные – производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны.

Термин «производная» (а также «вторая производная» и др.) ввёл Ж.-Л. Лагранж (1797), обозначения $y'$, $f'(x)$, $f''(x)$ – он же (1770, 1779), а $\dfrac{dy}{dx}$ – Г. В. Лейбниц (1675). Частные производные появились в трудах И. Ньютона, Лейбница, Я. Бернулли и И. Бернулли, обозначения $\dfrac{\partial f}{\partial  x}$, $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ ввёл А.-М. Лежандр (1786), $f'_x,\,z'_x$  – Лагранж (1797, 1801), $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\dfrac{\partial^2z}{\partial x \partial y}$  – К. Якоби (1837).