Тригонометрические функции
Тригонометри́ческие фу́нкции, элементарные функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно , , , , , . Используются и другие обозначения, например (для тангенса), , и (для котангенса), (для косеканса).
Для наглядного изображения аргументов и значений тригонометрических функций используется тригонометрическая окружность – окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1).
Пусть – точка на тригонометрической окружности, – угол между осью абсцисс и вектором , отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс. Если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной.
Тригонометрические функции синус и косинус по определению равны декартовым прямоугольным координатам точки :Остальные тригонометрические функции определяются следующими равенствами: Функции секанс и косеканс используются редко, обычно их выражают через синус и косинус.
В тригонометрии угол как вещественный аргумент тригонометрических функций принято измерять в угловых градусах или в радианах. Аргумент изменяется от до . Чаще используется радианное измерение, при этом обозначение «радиан» опускается и тригонометрические функции считаются функциями числового аргумента. При радианном измерении считается, что есть взятая с соответствующим знаком длина дуги единичной окружности, соединяющей точки и , при этом допускается, что эта дуга, прежде чем закончиться в точке , делает несколько полных оборотов. Точку называют ещё точкой , при этом нужно иметь в виду, что числам и , соответствует одна и та же точка единичной окружности. Точки окружности делятся на четверти (квадранты), в каждой четверти тригонометрические функции имеют определённый знак (рис. 2).
Знаки тригонометрических функций приведены в таблице 1.
Таблица 1
В таблице 2 приведены значения тригонометрических функций некоторых углов.
Таблица 2
Для углов, величины которых лежат между и , значения тригонометрических функций можно определять как отношения сторон прямоугольного треугольника. На рис. 3 показан прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой .
Для угла , противолежащего катету , справедливы следующие равенства:
На рис. 4 показано представление тригонометрических функций как отрезков, связанных с единичной окружностью:
С этими отрезками связано происхождение названий тригонометрических функций. Так, латинское слово tangens означает «касающийся» ( – отрезок касательной к окружности), латинское secans означает «секущая» ( – отрезок секущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus – пазуха) – перевод арабского слова «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально – тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс» и «косеканс» происходят от сокращённого слова complementi (дополнение). Например, «косинус» – от complementi sinus («синус дополнения»). Это связано с тем, что , и равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента, дополняющего до : Тригонометрические функции и определены при всех действительных , множество значений этих функций – отрезок. Функция определена при всех действительных , таких, что Функция определена при всех действительных , таких, что Множеством значений функций и является множество всех действительных чисел.
Все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Наименьший положительный период функций синус и косинус равен , т. е. для любого действительного Наименьший положительный период функций тангенс и котангенс равен , т. е. для любого действительного из области определения этих функций Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Производные и интегралы от тригонометрических функций задаются следующими формулами:
где – постоянная.
Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. Ряды для синуса и косинуса имеют вид
Эти ряды сходятся при всех действительных , отрезки этих рядов можно использовать для получения приближённых значений синуса и косинуса при малых значениях аргумента:Ряды для тангенса и котангенса имеют вид
Функции, обратные тригонометрическим функциям (обратные тригонометрические функции), являются многозначными; для их обозначения используется префикс (например, , ). Для обозначения главных ветвей этих функций используется префикс (например, , ).
Тригонометрические функции определяются также для комплексных значений аргумента как аналитические продолжения тригонометрических функций действительного аргумента, либо с помощью формул Эйлера их можно определить через экспоненту.
Тригонометрические функции появились в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся, по существу, тригонометрическими функциями, встречаются уже в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являлись у них самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Тригонометрические функции рассматривались как отрезки и в таком виде применялись Аристархом Самосским, Гиппархом, Менелаем и Птолемеем при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через с точностью до ; это была первая таблица синусов. Формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения выводились Региомонтаном и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан составил таблицу синусов через . Разложения тригонометрических функций в степенные ряды были получены И. Ньютоном в 1669 г. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Л. Эйлер, который предложил и принятую ныне символику.