Термины

Тригонометрические функции

Тригонометри́ческие фу́нкции, элементарные функции , , , , , . Обозначаются соответственно sinα\sin \alpha, cosα\cos \alpha, tgα\tg \alpha, ctgα\ctg \alpha, secα\sec \alpha, cosecα\cosec \alpha. Используются и другие обозначения, например tanα\tan \alpha (для тангенса), cotα\cot \alpha, cotgα\cotg \alpha и ctnα\mathop{\mathrm{ctn}} \alpha (для котангенса), cscα\csc \alpha (для косеканса).

Для наглядного изображения аргументов и значений тригонометрических функций используется тригонометрическая окружность – окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1).

Тригонометрические функции. Тригонометрическая окружностьРис. 1. Тригонометрическая окружность. БРЭ. Т. 32.Пусть AA – точка на тригонометрической окружности, αα – угол между осью абсцисс и вектором OAOA, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс. Если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной.

Тригонометрические функции синус и косинус по определению равны декартовым прямоугольным координатам (xα,yα)(x_α, y_α) точки AA:sinα=yα,cosα=xα.\sin\alpha=y_\alpha,\qquad \cos{\alpha}=x_\alpha. Остальные тригонометрические функции определяются следующими равенствами: tgα=sinαcosα,ctgα=cosαsinα,secα=1cosα,cosecα=1sinα. \tg\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}},\qquad\ctg\mathrm\alpha=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}},\qquad\sec{\alpha}=\frac{1}{\cos{\alpha}},\qquad\cosec\alpha=\frac{1}{\sin{\alpha}}.Функции секанс и косеканс используются редко, обычно их выражают через синус и косинус.

В тригонометрии угол как вещественный аргумент тригонометрических функций принято измерять в угловых градусах или в радианах. Аргумент изменяется от -\infty до ++\infty. Чаще используется радианное измерение, при этом обозначение «радиан» опускается и тригонометрические функции считаются функциями числового аргумента. При радианном измерении считается, что αα есть взятая с соответствующим знаком длина дуги единичной окружности, соединяющей точки (1,0)(1, 0) и AA, при этом допускается, что эта дуга, прежде чем закончиться в точке AA, делает несколько полных оборотов. Точку AA называют ещё точкой αα, при этом нужно иметь в виду, что числам αα и α+2kπα + 2kπ, k=0,±1,±2,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots соответствует одна и та же точка единичной окружности. Точки окружности делятся на четверти (квадранты), в каждой четверти тригонометрические функции имеют определённый знак (рис. 2).

Четверти (квадранты) тригонометрической окружностиРис. 2. Четверти (квадранты) тригонометрической окружности. Архив БРЭ.Знаки тригонометрических функций приведены в таблице 1.

Таблица 1

Четверть\textbf{Четверть}

sinα\bm{\sin\alpha}

cosα\bm{\cos\alpha}

tgα\bm{\tg\alpha}

ctgα\bm{\ctg\alpha}

secα\bm{\sec\alpha}

cosecα\bm{\cosec\alpha}

I\textbf{I}

++

++

++

++

++

++

II\textbf{II}

++

++

III\textbf{III}

++

++

IV\textbf{IV}

++

++

В таблице 2 приведены значения тригонометрических функций некоторых углов.

Таблица 2

α, радианы\bm{\alpha,}\textbf{ радианы}

0\bm{0}

π6\bm{\dfrac\pi6}

π4\bm{\dfrac\pi4}

π3\bm{\dfrac\pi3}

π2\bm{\dfrac\pi2}

π\bm{\pi}

3π2\bm{\dfrac{3\pi}2}

2π\bm{2\pi}

α, градусы\bm{\alpha,}\textbf{ градусы}

0°\bm{0\degree}

30°\bm{30\degree}

45°\bm{45\degree}

60°\bm{60\degree}

90°\bm{90\degree}

180°\bm{180\degree}

270°\bm{270\degree}

360°\bm{360\degree}

sinα\bm{\sin\alpha}

00

12\dfrac12

22\dfrac{\sqrt2}2

32\dfrac{\sqrt3}{2}

11

00

1–1

00

cosα\bm{\cos\alpha}

11

32\dfrac{\sqrt3}{2}

22\dfrac{\sqrt2}2

12\dfrac12

00

1–1

00

11

tgα\bm{\tg\alpha}

00

13\dfrac{1}{\sqrt3}

11

3\sqrt3

00

00

ctgα\bm{\ctg\alpha}

3\sqrt3

11

13\dfrac{1}{\sqrt3}

00

00

secα\bm{\sec\alpha}

11

23\dfrac{2}{\sqrt3}

2\sqrt2

22

1–1

11

cosecα\bm{\cosec\alpha}

22

2\sqrt2

23\dfrac{2}{\sqrt3}

11

1–1

-

Для углов, величины которых лежат между 00 и π2\dfrac{\pi}{2}, значения тригонометрических функций можно определять как отношения сторон прямоугольного треугольника. На рис. 3 показан прямоугольный треугольник с катетами aa и bb и гипотенузой cc.

Тригонометрические функции. Прямоугольный треугольникРис. 3. БРЭ. Т. 32.Для угла α\alpha, противолежащего катету aa, справедливы следующие равенства:

sinα=ac,cosα=bc,tgα=ab,ctgα=ba,secα=cb,cosecα=ca.\sin\alpha=\frac ac, \quad \cos\alpha=\frac bc, \quad \tg\alpha=\frac ab, \quad \ctg\alpha=\frac ba,\quad \sec\alpha=\frac cb, \quad \cosec\alpha=\frac ca.На рис. 4 показано представление тригонометрических функций как отрезков, связанных с единичной окружностью: sinα=AB,cosα=OB,tgα=CD,ctgα=EF,secα=OC,cosecα=OF.\begin{gathered}\sin\alpha=AB,\quad \cos\alpha=OB,\quad \tg\alpha=CD,\quad \ctg\alpha=EF,\\ \sec\alpha=OC,\quad \cosec\alpha=OF.\end{gathered}

Тригонометрические функции. Отрезки, связанные с единичной окружностьюРис. 4. БРЭ. Т. 32.С этими отрезками связано происхождение названий тригонометрических функций. Так, латинское слово tangens означает «касающийся» (CDCD – отрезок касательной к окружности), латинское secans означает «секущая» (OCOC – отрезок секущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus – пазуха) – перевод арабского слова «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально – тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс» и «косеканс» происходят от сокращённого слова complementi (дополнение). Например, «косинус» – от complementi sinus («синус дополнения»). Это связано с тем, что cosα\cos{\alpha}, ctgα\ctg \alpha и cosecα\cosec\alpha равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента, дополняющего α\alpha до π2\dfrac{\pi}{2}: cosα=sin(π2α),ctgα=tg(π2α),cosecα=sec(π2α).\cos\alpha=\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right),\qquad \ctg\alpha=\tg\left(\frac\pi2-\alpha\right), \qquad \cosec\alpha=\sec\left(\frac\pi2-\alpha\right).Тригонометрические функции sinα\sin{\alpha} и cosα\cos{\alpha} определены при всех действительных α\alpha, множество значений этих функций – отрезок[1,1] [–1, 1]. Функция tgα\tg\alpha определена при всех действительных α\alpha, таких, что απ2+kπ, k=0, ±1, ±2,\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k=0,\ \pm1,\ \pm2,\ldots Функция ctgα\ctg\alpha определена при всех действительных α\alpha, таких, что αkπ, k=0, ±1, ±2,\alpha\neq k\pi,\ k=0,\ \pm1,\ \pm2,\ldots Множеством значений функций tgα\tg \alpha и ctgα\ctg \alpha является множество всех действительных чисел.

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Наименьший положительный период функций синус и косинус равен 2π2\pi, т. е. для любого действительного α\alpha sin(α+2π)=sinα,cos(α+2π)=cosα.\sin\left(\alpha+2\pi\right)=\sin\alpha,\qquad \cos\left(\alpha+2\pi\right)=\cos\alpha.Наименьший положительный период функций тангенс и котангенс равен π\pi, т. е. для любого действительного α\alpha из области определения этих функций tg(α+π)=tgα,ctg(α+π)=ctgα.\tg\left(\alpha+\pi\right)=\tg \alpha,\qquad \ctg\left(\alpha+\pi\right)=\ctg \alpha.Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Производные и интегралы от тригонометрических функций задаются следующими формулами:

(sinα)=cosα,(cosα)=sinα,(tgα)=1cos2α,(ctgα)=1sin2α,sinαdα=cosα+C,cosαdα=sinα+C,tgαdα=ln cosα+C,ctgαdα=ln sinα+C,(\sin\alpha)'=\cos\alpha, \qquad (\cos\alpha)'=-\sin\alpha,\\ (\tg\alpha)'=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad (\ctg\alpha)'=\frac{1}{\sin^2\alpha},\\ \begin{aligned} \int\sin\alpha\,d\alpha&=-\cos\alpha+C,\\ \int\cos\alpha\,d\alpha&=\sin\alpha+C,\\ \int\tg\alpha\, d\alpha&=-\ln\ |\cos\alpha|+C,\\ \int\ctg\alpha\, d\alpha&=\ln\ |\sin\alpha|+C, \end{aligned} где CC – постоянная.

Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. Ряды для синуса и косинуса имеют вид

sinα=αα33!+α55!+(1)nα2n+1(2n+1)!+,cosα=1α22!+α44!+(1)nα2n(2n)!+\begin{aligned}\sin{\alpha}&=\alpha-\frac{\alpha^3}{3!}+\frac{\alpha^5}{5!}-\ldots+{(-1)}^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}+\ldots,\\ \cos{\alpha}&=1-\frac{\alpha^2}{2!}+\frac{\alpha^4}{4!}-\ldots+{(-1)}^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}+\ldots\end{aligned}Эти ряды сходятся при всех действительных αα, отрезки этих рядов можно использовать для получения приближённых значений синуса и косинуса при малых значениях аргумента:sinααα36α,cosα1α22+α4241α22.\begin{aligned} \sin{\alpha}&\approx\alpha-\frac{\alpha^3}{6}\approx\alpha,\\ \cos{\alpha}&\approx1-\frac{\alpha^2}{2}+\frac{\alpha^4}{24}\approx1-\frac{\alpha^2}{2}. \end{aligned}Ряды для тангенса и котангенса имеют вид

tgα=α+α33+2α515+17α7315+...,α<π2,ctgα=1αα3 α3452α5945...,0<α<π.   \begin{aligned} \tg\alpha&=\alpha+\frac{\alpha^3}{3}+\frac{{2\alpha}^5}{15}+\frac{{17\alpha}^7}{315}+...,\qquad |\alpha|<\frac{\pi}{2},\\ \ctg\alpha&=\frac{1}{\alpha}-\frac{\alpha}{3}-\ \frac{\alpha^3}{45}-\frac{{2\alpha}^5}{945}-...,\qquad 0<|\alpha|<\pi.\ \ \ \end{aligned} Функции, обратные тригонометрическим функциям (), являются многозначными; для их обозначения используется префикс Arc\mathrm{Arc} (например, Arcsin\mathrm{Arcsin}, Arccos\mathrm{Arccos}). Для обозначения главных ветвей этих функций используется префикс arc\mathrm{arc} (например, arcsin\arcsin, arccos\arccos).

Тригонометрические функции определяются также для комплексных значений аргумента как аналитические продолжения тригонометрических функций действительного аргумента, либо с помощью их можно определить через экспоненту.

Тригонометрические функции появились в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся, по существу, тригонометрическими функциями, встречаются уже в работах математиков Древней Греции – , , и др. Однако эти соотношения не являлись у них самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Тригонометрические функции рассматривались как отрезки и в таком виде применялись , , и при решении . Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 3030^\prime с точностью до 10610^{–6}; это была первая таблица синусов. Формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения выводились и в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан составил таблицу синусов через 11^\prime. Разложения тригонометрических функций в степенные ряды были получены в 1669 г. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл , который предложил и принятую ныне символику.

  • Элементарные функции
  • Тригонометрия