По́ле (в математике), алгебраическое понятие, широко используемое во многих разделах математики. Поле составляют особый класс колец (см. Теория колец).

Поле может быть определено как множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собой законом дистрибутивности, т. е. для любых $a, b, c$ из поля справедливы равенства

$$a+b=b+a, ab=ba,\\(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc),\\(a+b)c=ac+bc.$$Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента $0$ (нуля), для которого $0+a=a$, и для каждого элемента $a$ противоположного элемента $–a$, т. е. такого элемента, что $a+(–a)=0$, а также существование единичного элемента $e$ (единицы), для которого $ae=a$, и для каждого ненулевого элемента $a$ существование обратного элемента $a^{–1}$, т. е. такого элемента, что $aa^{–1}=e$. Отсюда следует, что в поле выполнима операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Т. о., все элементы поля образуют коммутативную группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы – коммутативную группу по умножению (мультипликативная группа поля).

Примерами поля (относительно естественных операций сложения и умножения) являются:

1. Множество всех рациональных чисел $\mathbf Q$. 2. Множество всех действительных чисел $\mathbf R$. 3. Множество всех комплексных чисел $\mathbf C$. 4. Множество всех рациональных функций от одного или нескольких переменных с действительными коэффициентами (а также с коэффициентами из произвольного поля). 5. Множество всех чисел вида $a+b\sqrt{2}$, где $a, b$ – рациональные числа. 6. Пусть $p$ – простое число. Множество целых чисел можно разбить на классы, объединив в один класс все числа, дающие при делении на $p$ один и тот же остаток. В двух классах можно взять по представителю и сложить их; тот класс, в который попадёт эта сумма, называют суммой классов. Аналогично определяется произведение. При таком определении сложения и умножения все классы образуют поле, оно состоит из $p$-элементов и называется полем вычетов по модулю $p$.

Может оказаться, что в поле равно нулю целое кратное $na$ какого-либо отличного от нуля элемента $a$. В этом случае существует такое простое число $p$, что $p$-кратное любого элемента этого поля равно нулю. Говорят, что в этом случае характеристика поля равна $p$ (таково поле из примера 6). Если же $na≠0$ ни для каких ненулевых $n$ и $a$, то характеристика поля считается равной нулю (таковы поля примеров 1–5).

Если часть $F$ элементов поля $G$ сама образует поле относительно тех же операций сложения и умножения, то $F$ называется подполем поля $G$, а $G$ надполем или расширением поля $F$. Поле, не имеющее подполей, называется простым. Все простые поля исчерпываются полями примеров 1 и 6 (при всевозможных выборах простого числа $p$). Всякое поле содержит единственное простое подполе (поля примеров 2–5 содержат поле рациональных чисел). Одна из задач теории полей состоит в том, чтобы, отправляясь от простого поля, получить описание всех полей, изучив структуру расширений.

Некоторые расширения имеют сравнительно простое строение. Это: а) простые трансцендентные расширения, которые сводятся к тому, что в качестве поля $G$ берётся поле всех рациональных функций от одного переменного с коэффициентами из $F$, и б) простые алгебраические расширения (пример 5), которые получаются, если совокупность $G$ всех многочленов степени $n$ складывать и умножать по модулю данного не приводимого над $F$ многочлена $f(x)$ степени $n$ (конструкция, аналогичная примеру 6). Расширения второго типа сводятся к тому, что к $F$ добавляется корень многочлена $f(x)$ и все элементы, которые можно выразить через этот корень и элементы $F$; каждый элемент надполя $G$ является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из $F$. Расширения, обладающие последним свойством, называются алгебраическими. Любое расширение можно выполнить в два приёма: сначала сделать трансцендентное расширение (образовав поле рациональных функций, не обязательно от одной переменной), а затем алгебраическое (теорема Штейница). Алгебраических расширений не имеют только такие поля, в которых каждый многочлен разлагается на линейные множители. Такие поля называются алгебраически замкнутыми. Поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым (основная теорема алгебры). Любое поле можно включить в качестве подполя в алгебраически замкнутое.

Некоторые специальные поля были детально изучены. В теории алгебраических чисел рассматриваются главным образом простые алгебраические расширения поля рациональных чисел. В теории алгебраических функций исследуются простые алгебраические расширения поля рациональных функций с комплексными коэффициентами; значительное внимание уделяется конечным расширениям поля рациональных функций над произвольным полем констант (т. е. с произвольными коэффициентами). Конечные расширения поля, в особенности их автоморфизмы, изучаются в теории Галуа; здесь находят ответы на многие вопросы, возникающие при решении алгебраических уравнений. Во многих вопросах алгебры, особенно в различных разделах теории поля, большую роль играют т. н. нормированные поля. В связи с геометрическими исследованиями появились и изучались упорядоченные поля.