Аналити́ческая тео́рия дифференциа́льных уравне́ний, раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором решения исследуются с точки зрения теории аналитических функций. Типичная постановка задачи в аналитической теории дифференциальных уравнений такова: дан некоторый класс дифференциальных уравнений, все решения которых суть аналитические функции одной переменной; требуется выяснить, какими специфическими свойствами обладают аналитические функции, являющиеся решениями данного класса уравнений. В таком широком понимании аналитическая теория дифференциальных уравнений включает теорию алгебраических функций, теорию абелевых интегралов, теорию специальных функций и т. д. Специальные функции: функции Бесселя, функции Эйри, функции Лежандра, функции Лагерра, функции Эрмита, многочлены Чебышёва, функции Сонина, функции Уиттекера, функции Вебера, функции Матьё, гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами.

Линейная теория

Рассмотрим систему из $n$ уравнений в матричной записи

$$\dot{x}=A(t) x+f(t). \tag{1}$$1. Пусть матрицы $A(t), f(t)$ голоморфны в области $G \subset C(t)$ [$C(t)$ – комплексная плоскость переменной $t$]. Тогда всякое решение системы (1) аналитично в $G$ (но, вообще говоря, неоднозначно, если область $G$ неодносвязна). Предположим, что $A(t)$ мероморфна в области $G$, и рассмотрим однородную систему

$$\dot{x}=A(t) x. \tag{2}$$[Матрица $A(t)$ называется голоморфной (мероморфной) в области $G$, если все её элементы голоморфны (мероморфны) в этой области]. Точка $t_{0} \in G$ называется полюсом матрицы $A(t)$ порядка $\nu \geqslant 1$, если в некоторой окрестности этой точки

$$\begin{gathered} A(t)=A_{-\nu}\left(t-t_{0}\right)^{-\nu}+A_{-\nu+1} \left(t-t_{0}\right)^{-\nu+1}+\cdots \\ \cdots+A_{-1}\left(t-t_{0}\right)^{-1}+B(t), \end{gathered}$$где $A_{-j}$ – постоянные матрицы, $A_{-\nu} \neq 0$, а матрица $B(t)$ голоморфна в точке $t_{0}$. Полюс $t_0 \neq \infty$ порядка $\nu$ называется регулярной особой точкой при $\nu=1$ и иррегулярной особой точкой при $\nu\geqslant 2$. Случай $t_{0}=\infty$ сводится к случаю $t_{0}=0$ заменой $t \rightarrow t^{-1}$. Hиже $t_{0}\neq\infty$.

2. Пусть $t_{0}$ – полюс матрицы $A(t)$. Тогда существует фундаментальная матрица $X(t)$ системы (2) вида

$$X(t)=\Phi(t)\left(t-t_{0}\right)^{D},\tag{3}$$где $D$ – постоянная матрица, $\Phi(t)$ голоморфна при $\left|t-t_{0}\right|<\rho$, если $t_{0}$ – регулярная особая точка, и $\Phi(t)$ голоморфна при $0<\left|t-t_{0}\right|<\rho$, если $t_{0}$ – иррегулярная особая точка, для некоторого $\rho>0$ [здесь $\left(t-t_{0}\right)^D =\exp (\ln (t-t_{0} )^D )$ по определению]. Для регулярной особой точки матрица $D$ выражается через $A(t)$ в явном виде (Коддингтон. 1958; Вазов. 1968); для иррегулярных особых точек это не так.

Аналогичная классификация особых точек вводится для дифференциальных уравнений порядка $n$ с мероморфными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и системы, все особые точки которых регулярны, называются дифференциальными уравнениями (системами) класса Фукса. Общий вид матрицы $A(t)$ для такой системы:$$\left(t-t_{j}\right)^{-1} A_{j}, \quad A_{j}=\operatorname { const },\quad k<\infty .$$Примером дифференциального уравнения класса Фукса является гипергеометрическое уравнение.

3. Пусть $A(t)=t^{q} B(t)$, $q \geqslant 0$ – целое, $B(t)$ голоморфна при $t=\infty$ [это иррегулярная особая точка, если $B(\infty) \neq 0$]. Если $S$ – достаточно узкий сектор вида $|t|>R$, $\alpha<\arg t<\beta$, то существует фундаментальная матрица вида

$$X(t)=P(t) t^Q \exp (R(t)),\tag{4}$$где $Q$ – постоянная матрица, $R(t)$ – диагональная матрица, элементы которой суть полиномы от $t^{1 / p}$, $p \geqslant 1$ – целое и

$$P(t) \sim \sum_{j=0}^{\infty} P_{j} t^{-j / p}$$при $|t| \rightarrow \infty$, $t \in S$. Вся плоскость $C(t)$ разбивается на конечное число секторов, в каждом из которых есть фундаментальная матрица вида (4) (Birkhoff. 1909; Trjitzinsky. 1933).

4. При аналитическом продолжении вдоль замкнутого пути $\gamma$ фундаментальная матрица $X(t)$ умножается на $B_{\gamma}: X(t) \rightarrow X(t) B_{\gamma}$, где $B_{\gamma}$ – постоянная матрица; возникает группа монодромии дифференциального уравнения. И. А. Лаппо-Данилевским (Лаппо-Данилевский. 1957) была исследована проблема Римана: пусть $A(t)$ – рациональная функция от $t$, и пусть известны особенности фундаментальной матрицы $X(t)$; требуется найти $A(t)$.

5. Пусть функция $z=\varphi(t)$ конформно отображает верхнюю полуплоскость $\operatorname{Im} t>0$ на внутренность многоугольника, граница которого состоит из конечного числа отрезков прямых и дуг окружностей. Тогда функция $\varphi(t)$ удовлетворяет уравнению Шварца

$$\{z, t\}=\frac{z^{\prime \prime \prime}}{z^{\prime}}-\frac{3}{2}\left(\frac{z^{\prime \prime}}{z^{\prime}}\right)^{2}=R(t), \tag{5}$$где $R(t)$ – рациональная функция, причём уравнение

$$w^{\prime \prime}+\frac{1}{2} R(t) w=0 \tag{6}$$принадлежит классу Фукса. Любое решение уравнения (5) может быть представлено в виде $z=w_{1} / w_{2}$, где $w_{1}$, $w_{2}$ – линейно независимые решения уравнения (6). Пусть $G$ – бесконечная дискретная группа, $\varphi(t)$ – автоморфная функция группы $G$; тогда $\varphi(t)$ может быть представлена в виде $\varphi=w_{1} / w_{2}$, где $w_{1}, w_{2}$ – линейно независимые решения уравнения (6) и $R(t)$ – некоторая алгебраическая функция.

Нелинейная теория

1. Рассмотрим задачу Коши:

$$\dot{x}=f(t, x), \quad x\left(t_{0}\right)=x^{0},\tag{7}$$здесь $t \in C(t)$, $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in C^{n}(x)$, $f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$.

Теорема Коши: пусть функция $f(t, x)$ голоморфна по $(t, x)$ в области $G \subset C(t) \times C^{n}(x)$ и $\left(t_{0}, x^{0}\right) \in G$. Тогда существует $\delta>0$, такое что в области $\left|t-t_{0}\right|<\delta$ существует решение $x\left(t ; t_{0}, x^{0}\right)$ задачи Коши (7), единственное и голоморфное.

Аналитическое продолжение решения $x\left(t ; t_{0}, x^{0}\right)$ также будет решением системы (7), однако полученная в результате продолжения функция может иметь особенности и, вообще говоря, будет неоднозначной функцией от $t$. Возникают вопросы: какие особенности может иметь эта функция, как устроено решение в целом? В линейном случае получены окончательные ответы на эти вопросы. В нелинейном случае ситуация значительно сложнее и не выяснена достаточно полно даже в том случае, когда $f_{j}(t, x)$ – рациональные функции от $t,x$.

2. Рассмотрим одно дифференциальное уравнение

$$\frac{d x}{d t}=\frac{P(t, x)}{Q(t, x)}, \tag{8}$$где $t \in C$, $x \in C$, а $P$ и $Q$ – голоморфные по $(t, x)$ функции в некоторой области $G$. Точка $\left(t_{0},x_{0}\right) \in G$ называется (существенно) особой точкой уравнения (8), если $P\left(t_{0}, x_{0}\right)=0$, $Q\left(t_{0}, x_{0}\right)=0$. Выясним структуру решений в окрестности особой точки уравнения. Разложим $P$ и $Q$ в ряды Тейлора:

$$\begin{aligned} &P(t, x)=a_{11}\left(x-x_{0}\right)+a_{12}\left(t-t_{0}\right)+\ldots, \\ &Q(t, x)=a_{21}\left(x-x_{0}\right)+a_{22}\left(t-t_{0}\right)+\ldots, \end{aligned}$$и пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ – собственные значения матрицы $\left\|a_{i j}\right\|$. Имеет место теорема: пусть $\lambda_{j} \neq 0$ и ни одно из чисел$\lambda_{1} / \lambda_{2}$, $\lambda_{2} / \lambda_{1}$ не является: а) целым неотрицательным числом, б) действительным отрицательным числом. Тогда существуют окрестность $U$ точки $\left(t_{0}, x_{0}\right)$, окрестность $V$ точки $\tilde{t}=0$, $\tilde{x}=0$ и функции $\tilde{t}=\tilde{t}(t, x)$, $\tilde{x}=\tilde{x}(t, x)$, такие что отображение $U \rightarrow V$, задаваемое этими функциями, является биголоморфным; дифференциальное уравнение (8) в новых переменных принимает вид (Bieberbach. 1953)

$$\frac{d \tilde{x}}{d \tilde{t}}=\frac{\lambda_{1} \tilde{x}}{\lambda_{2} \tilde{t}}.$$Все решения уравнения (8) в новых переменных записываются в виде $\tilde{x} = C\tilde{t}^{\lambda_1/\lambda_2}$ и $\tilde{x}\equiv0$. Таким образом, особая точка уравнения является точкой ветвления бесконечного порядка для всех решений уравнения (8) (кроме тривиальных). Особые точки решения, совпадающие с особыми точками уравнения, называются неподвижными. В отличие от линейного случая, решение нелинейного уравнения может иметь особые точки не только в особых точках уравнения; такие особые точки решения называются подвижными. Справедлива теорема Пенлеве: решения уравнения

$$P(t, x, \dot{x})=0,$$где $P$ – многочлен от $x$ и $\dot{x}$ с голоморфными по $t$ коэффициентами, не имеют подвижных трансцендентных особых точек (см. Голубев. 1950).

Если в уравнении (8) $P$ и $Q$ суть многочлены от $t, x$, то в силу теоремы Пенлеве все подвижные особые точки являются алгебраическими. При замене $t=1 / t^{\prime}$, $x=x^{\prime} / t^{\prime}$, уравнение (8) примет вид

$$\frac{d x^{\prime}}{d t^{\prime}}=\frac{P_{1}\left(t^{\prime}, x^{\prime}\right)}{Q_{1}\left(t^{\prime}, x^{\prime}\right)},$$где $P_{1}$, $Q_{1}$ – многочлены. Пусть $x_{j}$ – корни уравнения $P_{1}\left(0, x^{\prime}\right)=0$. Точки $\left(0, x_{j}^{\prime}\right)$ называются бесконечно удалёнными особыми точками уравнения (8); структуру решений в окрестности этих точек описывает приведённая выше теорема (Bieberbach. 1953).

Пусть $P, Q$ – многочлены степени $n$. Поскольку $P, Q$ определяются своими коэффициентами и пара $(\lambda P, \lambda Q)$ задаёт то же уравнение, получают взаимно однозначное соответствие между уравнениями (8) и точками комплексного проективного пространства $\mathbb{C P}^N$ $(N=(n+1) \times(n+2)-1)$. Имеет место теорема: если удалить из $\mathbb{C P}^N$ некоторое множество меры нуль, то оставшиеся уравнения (8) обладают следующим свойством: все решения $x=x(t)$ всюду плотны в $C^{2}=C(t) \times C(x)$ ( Худай-Веренов. 1962).

3. Рассмотрим автономную систему

$$\dot{x}=f(x), \tag{9}$$$t \in C(t)$, $x \in C^{n}(x)$, $f=\left( f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$. Точка $x^{0}$ называется особой точкой системы (9), если $f\left(x^{0}\right)=0$. Справедлива теорема Пуанкаре. Пусть $x^{0}$ – особая точка автономной системы (9). Пусть, кроме того: а) элементарные делители матрицы Якоби $f^\prime(x^0)$ простые и б) собственные значения $\lambda_j$ этой матрицы лежат по одну сторону от некоторой прямой в $C(\lambda)$, проходящей через начало координат. Тогда существуют окрестности $U, V$ точек $x=x^0$, $\tilde{x}=0$ и биголоморфное отображение $x=x$ $(\tilde{x}: V\rightarrow U)$, такое что в переменных $\tilde{x}$ автономная система (9) имеет вид (Немыцкий, Степанов. 1949):

$$\frac{d \tilde{x}_{j}}{d t}=\lambda_{j} \tilde{x}_{j}, \quad 1 \leqslant j \leqslant n.$$В том случае, когда выполнено только условие а), можно с помощью преобразования $x=\varphi(\tilde{x})$, где $\varphi(\tilde{x})$ – формальный степенной ряд, привести систему (9) в окрестности особой точки к системе, которая интегрируется в квадратурах (Немыцкий. 2017; Брюно.1964). Однако сходимость этих рядов доказана при предположениях, близких к а), б). В случае, когда функция $f(x)$ и преобразование $x=\varphi(\tilde{x})$ вещественны при вещественных $x$, $\tilde{x}$, доказана теорема (Зигель. 1961), аналогичная теореме Пуанкаре. Структура решений автономной системы (9) в целом, где $f_{j}(x)$ – полиномы и $n \geqslant 3$, не исследована.