Интегра́льное уравне́ние, уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения.

Линейные интегральные уравнения имеют вид

$$\displaystyle A(x)φ(x) + \int\limits_D K(x, s)φ(s)ds=f(x), \,\, x∈D, \tag 1$$где $A, K, f$ – заданные функции, $A$ называется коэффициентом, $K$ – ядром, $f$ – свободным членом (или правой частью) интегральных уравнений, $D$ – ограниченная или неограниченная область евклидова пространства одного или многих измерений, $x, s$ – точки этого пространства, $ds$ – элемент объёма, $φ$ – искомая функция. Требуется найти функцию $φ$ такую, что уравнение (1) удовлетворяется при всех (или почти всех, если интеграл рассматривается в смысле Лебега) точек $x$ из $D$. Если в (1) $A$ и $K$ – матрицы, $f$ и $φ$ – вектор-функции, то (1) называется системой линейных интегральных уравнений. Если $f$ тождественно равна нулю, то интегральное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

В зависимости от коэффициента $A$ различают 3 типа линейных интегральных уравнений. Если $A(x)=0$ для всех $x∈D$, то (1) называется уравнением 1-го рода; если $A(x)≠0$ для всех $x∈D$ – уравнением 2-го рода; если $A(x)$ обращается в нуль на некотором подмножестве области $D$ – уравнением 3-го рода.

Далее рассматриваются лишь интегральные уравнения в случае, когда $D$ – конечный отрезок $[a, b]$. В этом случае линейные интегральные уравнения 1-го и 2-го рода можно представить соответственно в виде

$$\displaystyle\int\limits_a^b K(x, s)φ(s)ds=f(x), \,\, x∈[a,b], \tag2$$

$$\displaystyle φ(x) - λ \int\limits_a^b K(x, s)φ(s)ds=f(x), \,\, x∈[a,b], \tag3$$число $λ$ называется параметром интегрального уравнения. При исследовании задач математической физики особенно часто встречаются уравнения 2-го рода. Если ядро $K$ фредгольмово, т. е. интегральный оператор в уравнениях (2), (3) вполне непрерывен, то интегральные уравнения (2), (3) называются уравнениями Фредгольма 1-го и 2-го рода соответственно. Важным классом уравнений Фредгольма являются уравнения, в которых ядро $K$ удовлетворяет условию

$$\displaystyle\int\limits_a^b \int\limits_a^b|K(x, s)|^2dxds{<}\infty, \tag4$$а правая часть $f$ и искомая функция $φ$ – измеримые функции, квадраты которых интегрируемы.

Уравнение

$$\displaystyle φ(x) - λ \int_a^b K(x, s)φ(s)ds=0, \,\, x∈[a,b] \tag5$$называется однородным интегральным уравнением, соответствующим неоднородному интегральному уравнению (3). Аналогично определяется однородное интегральное уравнение, соответствующее уравнению (2). Однородное интегральное уравнение всегда имеет решение $φ≡0$, которое называется нулевым (или тривиальным) решением. Значение параметра $λ$, при котором интегральное уравнение (5) имеет ненулевое решение $φ$, называется собственным (или характеристическим) значением ядра $K$ или интегрального уравнения (5), а ненулевое решение $φ$ – собственной функцией ядра $K$ или интегрального уравнения (5), соответствующей данному собственному значению $λ$. Если $λ$ не является собственным значением, то его называют правильным значением параметра.

Комплексное ядро $K$ называется эрмитовым, если

$$\overline{K(x, s)}=K(s, x), \tag6$$где черта означает переход к комплексно сопряжённому значению. В случае действительного ядра равенство (6) принимает вид $K(x, s)=K(s, x)$. Такое ядро называется симметричным.

Если фредгольмово ядро $K$ обращается в нуль при $s>x$ (т. н. ядро Вольтерры), то уравнения (2) и (3) соответственно принимают вид

$$\displaystyle\int\limits_a^x K(x, s)φ(s)ds=f(x), \,\, a{⩽}s{⩽}x{⩽}b, \tag7$$

$$\displaystyle φ(x) - λ \int\limits_a^x K(x, s)φ(s)ds=f(x), \,\, a{⩽}s{⩽}x{⩽}b. \tag8$$Эти уравнения называются уравнениями Вольтерры 1-го и 2-го рода соответственно.

Фредгольмово ядро может не иметь собственных значений (например, в случае ядра Вольтерры). Если ядро симметрично и не равно нулю почти всюду, то оно имеет, по крайней мере, одно собственное значение, и все его собственные значения действительны.

Отдельные примеры интегральных уравнений начали появляться в 1-й половине 19 в. Систематическое изучение интегральных уравнений началось в конце 19 в. после того, как удалось свести решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа к исследованию линейного интегрального уравнения 2-го рода. В это же время началось построение общей теории линейных интегральных уравнений. Основоположниками этой теории считаются В. Вольтерра, Д. Гильберт, Э. И. Фредгольм и немецкий математик Э. Шмидт. Ещё до исследований этих учёных для построения решения интегрального уравнения был предложен метод последовательных приближений. Этот метод применялся сначала для решения нелинейных интегральных уравнений типа уравнений Вольтерры (по современной терминологии) в связи с исследованиями обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Ж. Лиувилля (1838), И. Фукса (1870), Дж. Пеано (1888) и др., а К. Нейманом (1877) – для построения решения линейного интегрального уравнения 2-го рода. Общую форму методу последовательных приближений придал Э. Пикар (1893).

При изучении уравнения колеблющейся мембраны А. Пуанкаре (1896) ввёл переменный параметр $λ$ в уравнение (3). Тогда же им была высказана гипотеза, что (аналогично случаю уравнения колеблющейся мембраны) решение интегрального уравнения (3) является мероморфной функцией от $λ$. Эту гипотезу доказал Э. И. Фредгольм (1900–1903). Работам Фредгольма предшествовали исследования В. Вольтерры (1896–1897), который изучал интегральные уравнения вида (7), (8). Он доказал, что если ядро и правая часть уравнения непрерывны, то уравнение (8) имеет при любом конечном значении $λ$ одно и только одно непрерывное решение, которое можно построить методом последовательных приближений. Уравнение (3) изучалось Фредгольмом в предположении, что ядро, а также правая часть и искомое решение –непрерывные функции соответственно на квадрате $[a, b]×[a, b]$ и на сегменте $[a, b]$. Следуя Вольтерре, Фредгольм заменил интеграл в уравнении (3) интегральной суммой и рассмотрел интегральное уравнение (3) как предельный случай конечной системы линейных алгебраических уравнений. С помощью формального перехода к пределу Фредгольм получил формулу для решения уравнения (3); доказал, что эта формула даёт решение уравнения (3) для всех $λ$, за исключением конечного или счётного множества значений, и доказал теоремы об условиях разрешимости уравнения (3). Построенную теорию уравнения (3) Фредгольм распространил на случай системы интегральных уравнений.

Д. Гильберт показал (1904), что теоремы Фредгольма можно доказать путём строгого обоснования предельного перехода, и построил общую теорию линейных интегральных уравнений на базе теории линейных и билинейных форм с бесконечным числом переменных. Э. Шмидт придал более простую и несколько более общую форму исследованиям Гильберта. Он построил теорию линейных интегральных уравнений с действительным симметричным ядром, независимую от теории Фредгольма.

Если линейное интегральное уравнение не является уравнением Фредгольма, то его называют сингулярным интегральным уравнением. Общая теория Гильберта квадратичных форм с бесконечным числом переменных даёт возможность и в этом случае получить ряд важных результатов. Для некоторых конкретных классов сингулярных интегральных уравнений разработаны специальные способы их решения, учитывающие характерные свойства этих уравнений.

Наряду с линейными изучались нелинейные интегральные уравнения, в которых неизвестная функция входит в уравнение в степени $n$, $n> 1$, как это, например, имеет место в уравнении

$$\displaystyle φ(x) - λ \int\limits_a^b K(x, s)φ^n(s)ds=f(x), \,\, x∈[a,b].$$Она может входить и более общим образом, как, например, в уравнении

$$\displaystyle φ(x) = λ \int\limits_a^b K(x, s, φ(s))ds$$(см. уравнение Гаммерштейна, нелинейное интегральное уравнение).