Алгебраи́ческая геоме́трия, раздел математики, изучающий геометрические объекты, связанные с решениями алгебраических уравнений. Такими объектами являются алгебраические многообразия (алгебраические кривые, алгебраические поверхности, алгебраические группы) и их обобщения (схемы, алгебраические пространства). В алгебраической геометрии рассматриваются отображения двух типов: регулярные (морфизмы), задаваемые многочленами, и рациональные, задаваемые рациональными функциями. Регулярное отображение, имеющее обратное, называется бирегулярным отображением или изоморфизмом; рациональное отображение, имеющее обратное, – бирациональным изоморфизмом. Исходной задачей алгебраической геометрии является классификация объектов с точностью до изоморфизма или до бирациональной эквивалентности. Классификация начинается с малых размерностей. В современной алгебраической геометрии основной интерес представляют её взаимосвязи с другими математическими дисциплинами: коммутативной алгеброй, гомологической алгеброй, теорией групп, теорией чисел, топологией, дифференциальной геометрией, комплексным анализом, дифференциальными уравнениями, математической физикой, алгебраической теорией кодирования. В алгебраической геометрии выделяются две группы методов исследования: алгебро-геометрические, с использованием коммутативной алгебры и проективной геометрии, и трансцендентные, с использованием комплексного анализа и топологии.

Возникновение алгебраической геометрии относится к 17 в., когда в геометрию были введены системы координат, позволяющие описывать геометрические фигуры как совокупность решений подходящих алгебраических уравнений. Первоначальными объектами были кривые и поверхности 2-го порядка, изучаемые в аналитической геометрии. С развитием проективной геометрии выяснилось, что проективная классификация кривых и поверхностей является наиболее естественной и обозримой. Геометрическая интуиция, возникающая при изображении решений алгебраических уравнений геометрическими фигурами, оказалась важным подспорьем при постановках новых задач и предсказании результатов. Полезной оказалась и наглядность геометрических методов, например использование метода проектирования в бирациональной теории. Изучение специальных классов алгебраических кривых и поверхностей (преимущественно небольших порядков) продолжалось вплоть до 19 в., в основном в проективной геометрии. Принципиальные изменения в развитии алгебраической геометрии произошли в конце 18 – начале 19 вв. в связи с изучением эллиптических кривых, точнее, эллиптических интегралов, средствами комплексного анализа. Изучались интегралы вида $$\int R(x, y)\, dx,\tag1$$где $R(x, y)$ – рациональная функция, а $x$ и $y$ связаны алгебраическим уравнением $$F(x, y)=0. \tag2$$Уравнение (2) задаёт плоскую аффинную алгебраическую кривую. Если эта кривая рациональна, т. е. допускает параметризацию рациональными функциями $x=φ(t)$, $y=ψ(t)$, то заменой переменных интеграл (1) сводится к интегралу от рациональной функции и вычисляется в конечном виде. Однако для эллиптических кривых (и тем более для алгебраических кривых большего рода) такие интегралы, как функции верхнего предела, являются многозначными (см. Абелев интеграл). Изучение этих интегралов заложило основы теории алгебраических кривых. С построенных Н. Х. Абелем и К. Якоби многообразий, называемых якобиевыми многообразиями, начинается общая теория наиболее изученных многомерных объектов алгебраической геометрии – абелевых многообразий. Так называются проективные многообразия, для точек которых определена операция сложения. Над полем $\bf C$ все они являются комплексными торами. Одномерное абелево многообразие – эллиптическая кривая. Теория якобиевых многообразий алгебраических кривых над произвольными полями была развита в 1940-х гг. в работах А. Вейля.

Значительный прогресс в развитии алгебраической геометрии связан с работами Б. Римана. Он ввёл понятие поверхности, которая теперь называется римановой поверхностью (одномерным комплексным многообразием). Для неособой проективной кривой $X$ рода $g$ над полем $\bf C$ её риманова поверхность – компактная ориентируемая поверхность с $g$ ручками. Для отображений таких поверхностей в проективные пространства используются линейные пространства мероморфных функций, кратности полюсов которых ограничены дивизорами. Дивизор $$D=\sum n_PP$$– конечная формальная линейная комбинация точек $\{ P \}$ с целыми коэффициентами $\{ n_P \}$. Пространства мероморфных функций $L \{ D \}$, кратности полюсов которых в точках $P$ ограничены числами $n_P$, оказываются конечномерными. Для их размерности $l(D)$ Риман получил неравенство $$l(D)⩾ \deg D+1-g,$$где $\deg D=\sum n_p$ – степень дивизора $D$, а $g$ – род кривой (римановой поверхности) $X$. Немецкий математик Г. Рох доказал, что $$l(D)-l(K-D)= \deg D+1-g,$$где $K$ – канонический дивизор, т. е. дивизор нулей и полюсов любого дифференциала $f(z)\,dz$, где $f(z)$ – мероморфная функция на $X$ (теорема Римана – Роха). Впоследствии эта теорема была обобщена на алгебраические многообразия любой размерности сначала немецким математиком Ф. Хирцебрухом, а затем в наиболее общей форме французским математиком А. Гротендиком. Теорема Римана – Роха – одно из самых важных технических средств в алгебраической геометрии.

Существенный вклад в развитие аналитической теории алгебраических многообразий внесли К. Вейерштрасс, А. Пуанкаре, С. Лефшец, А. Картан, Ж. Лере. Параллельно с аналитической теорией развивалась и алгебро-геометрическая, начиная с работ немецких математиков А. Клебша и М. Нётера в 1870-х гг. Если у Абеля и Римана основным объектом была функция, то у Клебша и Нётера – сама кривая. Была сформулирована общая программа изучения алгебраических кривых. Наибольший интерес при изучении алгебраических кривых в алгебро-геометрической теории представляют собой результаты, инвариантные относительно бирациональных преобразований.

Изучение алгебраических многообразий размерности, большей 1, началось во 2-й половине 19 в. с поверхностей 3-го порядка. Развитие бирациональной теории алгебраических поверхностей в 19 – начале 20 вв. связано с итальянской школой алгебраической геометрии (Г. Кастельнуово, Ф. Энриквес, Дж. Фано и Ф. Севери). К 1920-м гг. была практически завершена бирациональная классификация алгебраических поверхностей.

В итальянской школе алгебраической геометрии преобладали геометрические методы. В 1-й половине 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом, А. Вейлем и О. Зариским с целью укрепления основ алгебраической геометрии была предпринята алгебраизация алгебраической геометрии с использованием аксиоматических методов абстрактной алгебры. Область применения алгебраической геометрии расширилась в сторону изучения алгебраических многообразий над произвольными полями. Интерес к алгебраической геометрии арифметического типа первоначально возник в связи с идеей А. Пуанкаре рассматривать теорию сравнений как теорию алгебраических уравнений над конечными полями. В начале 1920-х гг. немецким математиком Э. Артином развивалась теория алгебраических функций от одной переменной с конечным полем констант параллельно теории алгебраических чисел. В частности, им была определена дзета-функция алгебраической кривой над конечным полем. Аналог гипотезы Римана для таких дзета-функций равносилен некоторой оценке для числа точек на кривой над конечным полем. Для эллиптических кривых аналог гипотезы Римана был доказан немецким математиком Х. Хассе в 1930-х гг. и несколько позднее для кривых любого рода Вейлем. В связи с этим Вейль, начав построение алгебраической геометрии над произвольными полями, заложил основы абстрактной алгебраической геометрии. Французский математик Ж.-П. Серр в 1950-х гг. стал применять в алгебраической геометрии теорию пучков.

В 1960-х гг. в алгебраической геометрии было введено понятие схемы, обобщающее алгебраическое многообразие. Вместе с теорией схем в алгебраическую геометрию вошёл язык функторов и категорий. Новый язык расширил возможности алгебраической геометрии и позволил свободно переносить многие классические конструкции, полученные трансцендентными методами, в коммутативную алгебру и арифметику. Непосредственное влияние теория схем оказала на решение ряда классических проблем. Важные результаты в алгебраической геометрии были получены японско-американским математиком Хиронакой Хэйсукэ (1964) (каждое многообразие над полем характеристики нуль бирационально изоморфно неособому многообразию), А. Гротендиком и бельгийским математиком П. Делинем (1973) (аналог гипотезы Римана для многообразий любой размерности). В арифметике алгебраических многообразий немецким математиком Г. Фальтингсом (1983) доказана справедливость гипотезы Морделла о конечности числа рациональных точек для алгебраических кривых рода, большего 1, и Э. Уайлсом (1994) доказана последняя теорема Ферма.

Строгие теоретические основания и удобный формализм позволили по-новому взглянуть на классические проблемы алгебраической геометрии. Однако некоторые проблемы пока (2022) не поддаются решению, например, доказательство или опровержение гипотезы Ходжа об алгебраических циклах или проблема рациональности для гладких кубических гиперповерхностей размерности 4 и выше.

Алгебраическая геометрия применяется в теории чисел, теории групп, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, теоретической физике и теории кодирования.