Ме́тод Ру́нге – Ку́тта, одношаговый метод численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида$$\tag{1} u ^ \prime = f ( t, ~u ) .$$Основная идея метода Рунге – Кутта была предложена К. Рунге (Runge. 1895) и развита затем В. Куттой (Kutta. 1901) и др. Первоначально эта идея использовалась только для построения явных схем метода Рунге – Кутта, которые разыскивались в виде$$\tag{2} y _ {j+1} = y _ {j} + \tau\sum _ { i= 1} ^ { q } A _ {i} k _ {i} ,$$где$$y _ {j +\alpha } \cong u ( t _ {j} + \alpha\tau) ,\qquad k _ {1} = f( t _ {j} , ~y _ {j} ) , \\ k _ {n} = f \biggl ( \tau_ {j} + \alpha _ {n} \tau, y _ {j} + \tau\sum _ { m= 1} ^ { n- 1} \beta _ {nm} k _ {m} \biggr) ,\qquad n = 2, 3, \dots, q ,$$при этом значения постоянных $A _ {i}$, $\alpha _ {n}$, $\beta _ {nm}$, $i = 1, 2, \dots, q$, $n = 2, 3, \dots, q$, $m = 1, 2, \dots, n - 1$, определялись из требования, чтобы погрешность равенства (2) на точном решении уравнения (1) имела возможно высокий порядок малости в сравнении с шагом $\tau$ для любых уравнений вида (1).

В отличие от метода Адамса и других многошаговых методов, метод Рунге – Кутта, как и всякий одношаговый метод, не требует предварительного построения начала таблицы значений приближённого решения и даёт возможность вести вычислительный процесс при естественных для уравнения (1) начальных условиях, что позволяет использовать его непосредственно и в случае неравномерных сеток. Однако поскольку в этом методе не используется информация о решении в предыдущих узлах сетки, то он, вообще говоря, оказывается локально менее экономичным, чем, например, метод Адамса.

Наиболее широко известным (см., например, Бахвалов. 2001) среди методов Рунге – Кутта является метод $$y _ {j+1} = y _ {j} + { \frac{1}{6} } \tau ( k _ {1} + 2 k _ {2} + 2 k _ {3} + k _ {4} ) , \\ k _ {1} = f( t _ {j} , y _ {j} ) ,\quad k _ {2} = f \Bigl ( t _ {j} + { \frac{1}{2} } \tau, ~y _ {j} + { \frac{1}{2} } \tau k _ {1} \Bigr) , \\ k _ {3} = f \Bigl ( t _ {j} + { \frac{1}{2} } \tau, ~y _ {j} + { \frac{1}{2} } \tau k _ {2} \Bigr) ,\quad k _ {4} = f ( t _ {j} + \tau,~ y _ {j} + \tau k _ {3} ) ,$$принадлежащий зависящему от двух свободных параметров семейству методов четвёртого порядка точности вида (2) с $q = 4$. Популярен и простейший явный метод Рунге – Кутта первого порядка точности, получающийся из (2), при $q = 1$. Этот метод известен под названием метода Эйлера. При значениях $q,$ равных $2$ и $3$, из (2) могут быть найдены семейства методов Рунге – Кутта второго и третьего порядка точности, зависящие от одного и двух свободных параметров соответственно. В случае $q > 4$ имевшее место ранее соответствие между значением $q$ и порядком точности метода уже нарушается. Метод Рунге – Кутта вида (2) пятого порядка точности удаётся построить лишь при $q = 6$, шестого – при $q = 7$, седьмого – при $q = 9$ и т. д. В этом случае с увеличением значения $q$ на единицу расширение множества подлежащих выбору в (2) постоянных $A _ {i}$, $\alpha _ {i}$, $\beta _ {nm}$ часто оказывается уже недостаточным, чтобы удовлетворить условиям, возникающим из требования повышения на единицу порядка точности явного метода Рунге – Кутта. С целью увеличения числа выбираемых в (2) параметров можно рассмотреть, например, следующее обобщение конструкции одношаговых методов, основанных на идее К. Рунге:$$\tag{3} k _ {n} = f \biggl( t _ {j} + \alpha _ {n} \tau, ~y _ {j} + \tau \sum _ { m= 1} ^ { q } \beta _ {nm} k _ {m} \biggr) ,\qquad n=1,2,\dots,q.$$Методы вида (2), (3) в общем случае являются уже неявными, что значительно осложняет их численную реализацию: величины $k _ {n}$, $n = 1, 2, \dots, q$, на каждом шаге приходится находить из системы, вообще говоря, нелинейных уравнений (3). Однако за счёт достигнутого здесь значительного увеличения числа подлежащих выбору констант такие методы приобретают следующее свойство (Butcher. 1964): для каждого значения $q$ существует неявный метод Рунге – Кутта порядка точности $2q$. Кроме того, при таком расширении класса методов Рунге – Кутта появляются методы, хорошо ориентированные на случай жёстких дифференциальных систем.

Имеется ещё одно видоизменение (см., например, Бобков. 1967 ) идеи К. Рунге конструирования одношаговых методов численного решения уравнений вида (1). Именно, исходя из (1), записывается равенство$$u( t _ {j} + \tau) - u( t _ {j} ) = \tau \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( t _ {j} + \alpha \tau, ~u( t _ {j} + \alpha \tau))\, d \alpha .$$Приближённое представление последнего интеграла квадратурной формулой с $q$ узлами даёт$$\tag{4} u( t _ {j} + \tau) \cong u( t _ {j} ) + \tau \sum _ { i=1} ^ { q } A _ {i} f( t _ {j} + \alpha _ {i} \tau, ~u ( t _ {j} + \alpha _ {i} \tau)) .$$Если выбор узлов $\alpha _ {i}$ и коэффициентов $A _ {i}$, $i = 1, 2, \dots, q$, рассматриваемой квадратурной формулы подчинить условиям$$\tag{5} \sum _ { i= 1} ^ { q } A _ {i} = 1 ,\qquad \sum _ { i= 1} ^ { q } A _ {i} \alpha _ {i} ^ {n} = \frac{1}{n+1},\qquad n = 1, 2, \dots, p - 1 ,$$то погрешность приближённого равенства (4) будет величиной порядка $\tau^ {p+1}$. При $p \leqslant 2q$ система уравнений (5) разрешима и приближённое равенство (4) может быть построено. Аналогично можно записать приближённые равенства для неизвестных величин $u( t _ {j} + \alpha _ {i} \tau)$, входящих в правую часть (4), при этом требования к их точности могут быть понижены на порядок и т. д.

В качестве примера так построенного одношагового метода ниже приводится (Крылов. 1977) метод третьего порядка точности предсказывающе-исправляющего характера:$$\begin{aligned} y _ {j+1/4} &= y _ {j} + \frac{1}{4} \tau f( t _ {j} ,~ y _ {j} ) , \qquad y _ {j+1/2} = y _ {j} + \frac{1}{2} \tau f \Bigl ( t _ {j} + \frac{1}{4} \tau , ~y _ {j+ 1/4 } \Bigr) , \\ y ^ {*}_ {j+1 }& = y _ {j} + \tau f \Bigl ( t _ {j} + \frac{1}{2} \tau, ~y _ {j+1/2} \Bigr) , \\ y _ {j+1} &= y _ {j} + \frac{1}{6} \tau \Bigl ( f( t _ {j} , ~y _ {j)} + 4 f \Bigl ( t _ {j} + \frac{1}{2} \tau, ~y _ {j + 1/2} \Bigr) + f( t _ {j} + \tau, ~y _ {j+1} ^ {*} ) \Bigr) .\end{aligned}$$Если положить в (4) одно из значений $\alpha _ {i}$ равным единице, то на этом пути можно строить также и неявные методы, например метод$$y _ {j+1} = y _ {j} + \frac{1}{2} \tau \Bigl( f( t _ {j} , ~y _ {j+1} - \tau f( t _ {j} + \tau, ~y _ {j+1} )) + f( t _ {j} + \tau, ~y _ {j+1} )\Bigr)$$второго порядка точности.

Рассмотренные выше на примере уравнений вида (1) подходы к построению численных методов могут быть распространены на обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков (Бобков. 1967; Коллати. 1953), а также использованы при конструировании разностных схем в случае дифференциальных уравнений с частными производными.