Алгебраи́ческое уравне́ние, уравнение, имеющее вид $$F(x_1, ..., x_m)=0,$$где $F$ – многочлен от $m$ переменных, которые называются неизвестными.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат фиксированному основному полю $K$. Решением алгебраического уравнения называется такой набор значений неизвестных из поля $K$ (или его расширения), который после подстановки в многочлен $F$ обращает его в нуль. Основной задачей теории алгебраических уравнений является выяснение условий, когда у заданного алгебраического уравнения имеется решение, и описание множества всех решений.

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет вид $$F(x)=a_0x^n+a_1x^{n–1}+\ldots+a_n=0.\,\,\tag 1$$Предполагается, что $n>0$ и $a_0≠0$. Число $n$ называется степенью уравнения, а числа $a_0, a_1,\ldots, a_n$ – его коэффициентами. Значения неизвестного $x$, являющиеся решениями уравнения, называются его корнями, а также корнями многочлена $F(x)$. Если $α$ – корень уравнения $(1)$, то многочлен $F(x)$ делится без остатка на $(x-α)$ (теорема Безу). Элемент $α$ основного поля $K$ (или его расширения) называется $k$-кратным корнем алгебраического уравнения, если многочлен $F(x)$ делится на $(x-α)^k$ и не делится на $(x-α)^{k+1}$. Корни кратности $1$ называются также простыми корнями уравнения.

Каждый многочлен степени $n$ с коэффициентами из поля $K$ имеет в $K$ не более $n$ корней, считая корни с учётом их кратностей. Если поле $K$ алгебраически замкнуто, то каждый такой многочлен имеет ровно $n$ корней с учётом их кратностей. В частности, это верно для поля комплексных чисел $\textbf C$ (основная теорема алгебры). Из теоремы Безу следует, что $F(x)$ можно представить в виде $F(x)=a_0(x-α_1)\ldots(x-α_n),$ где $α_1,\ldots, α_n$ – корни уравнения. Корни и коэффициенты уравнения связаны формулами Виета $$(–1)^na_0α_1 \ldots α_n=a_n,\\ (–1)^{n–1}a_0(α_1α_2 \ldots α_{n–1}+α_1 \ldots α_{n–2}α_n+α_2α_3...α_n)=a_{n–1},\\ .................................................... \\(–1)a_0(α_1+α_2+...+α_n)=a_1.$$Всякое уравнение степени $n⩽4$ разрешается в радикалах. Это означает, что для корней уравнения имеются явные формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения и использующие лишь сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. В случае $n=2$ (квадратное уравнение) формулы имеют вид $$α_1=\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0}\\ α_2=\frac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0}.$$Решения задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-й и 3-й степени, встречаются в клинописных текстах Древнего Вавилона. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в «Арифметике» Диофанта (3 в.). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени в общем виде было получено итальянскими математиками Дж. Кардано и Л. Феррари в 16 в. Почти 300 лет делались попытки найти общее решение в радикалах уравнений степеней, бо́льших четырёх. В 1826 г. Н. Х. Абелем было доказано, что это невозможно (однако не исключается возможность существования таких формул для конкретных уравнений степени $n>4$). Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах, было получено Э. Галуа (около 1830). Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с делением окружности на $n$ равных частей, с доказательством невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.

Для приложений весьма важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения являются числами (из полей $\textbf{Z}$ целых, $\textbf{Q}$ рациональных, $\textbf{R}$ действительных или $\textbf{C}$ комплексных чисел); при этом часто используются специальные свойства этих полей (например, наличие в них топологии или упорядоченности). В этом случае с использованием специальных функций можно получить явные формулы для решения уравнений степени, большей четырёх.

Для практического нахождения корней уравнений с коэффициентами из $\textbf{R}$ и $\textbf{C}$ используют приближённые методы. Для оценки сверху числа действительных корней уравнений с действительными коэффициентами можно использовать теорему Декарта: число положительных корней, с учётом их кратностей, равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в последовательности ненулевых коэффициентов уравнения.

Имеются многочисленные оценки для величин корней. Так, над полем $\textbf{C}$ величины $|α_i|, i=1,\ldots, n$, не превосходят $1+\max_{i>0}|a_i|/|a_0|.$

Если коэффициенты вещественны и $a_0⩾a_1⩾\ldots⩾a_n⩾0$, то все корни уравнения лежат на комплексной плоскости в единичном круге.

В связи с изучением вопроса об устойчивости механических систем возникает вопрос о том, когда все корни данного многочлена $F(x)$ имеют отрицательные действительные части (проблема Рауса – Гурвица). Такие многочлены $F$ называются устойчивыми. Основные результаты об устойчивых многочленах принадлежат Ш. Эрмиту, английскому учёному Э. Раусу, немецким математикам А. Гурвицу, И. Шуру.

Системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными изучаются в алгебраической геометрии. В отдельный раздел – теорию диофантовых уравнений – выделяется изучение алгебраических уравнений над незамкнутыми полями, такими как поле $\textbf{Q}$.

Системой алгебраических уравнений называется система уравнений, имеющая вид $$F_1(x_1,\ldots, x_m)=0,\\ ..................\\ F_k(x_1,\ldots, x_m)=0.$$Системы уравнений степени 1 (линейных уравнений) изучаются в линейной алгебре.

Простейший результат о числе решений системы алгебраических уравнений относится к случаю, когда имеется $k$ однородных уравнений от $k+1$ переменной. Все решения $x_1^*,\ldots,x^*_{k+1}$ объединяются в классы решений $λx_1^*,\ldots,λx^*_{k+1}$, где $λ≠0$ принадлежит полю $K$. Тогда число ненулевых (классов) решений системы с учётом их кратностей в общем случае равно произведению степеней многочленов $F_1,\ldots, F_k$. Условие общности состоит в том, что коэффициенты многочленов $F_1,\ldots, F_k$ не принадлежат некоторому алгебраическому многообразию в аффинном пространстве $A$ коэффициентов, имеющем строго меньшую размерность, чем $A$ (теорема Безу).

В случае когда рассматриваются системы неоднородных алгебраических уравнений, для нахождения числа их решений необходимо использовать более тонкие инварианты, чем степень, а именно многогранники Ньютона. Если $$F(x_1,\ldots, x_n)=\sum a_ix_1^{i_1} \ldots x_n^{i_n},$$где $i=(i_1, ..., i_n) \in \textbf{Z}^n$, то многогранником Ньютона многочлена $F$ называется выпуклая оболочка в пространстве $\textbf{R}^n$ точек $i$, для которых $a_i≠0$. Число решений системы алгебраических уравнений выражается через многогранники Ньютона многочленов $F_1,\ldots, F_k$.