Сфери́ческая тригономе́трия, раздел геометрии, в котором изучаются связи между углами и сторонами сферических треугольников. Пусть $A, B, C$ – углы и $a, b, c$ – противолежащие им стороны (дуги большого круга) сферического треугольника $ABC$ (рис.).

БРЭ. Т. 31.БРЭ. Т. 31.

Они связаны основными формулами сферической тригонометрии

$$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},\tag{1}$$$$\cos a=\cos b \cos c+\sin b \sin c \cos A,\tag{2}$$$$\cos A=-\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a,\tag{2'}$$$$\sin A \cos b = \cos B \sin C+\sin B \cos C \cos a.\tag{3'}$$Здесь стороны $a, b, c$ измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно $aR, bR, cR$, где $R$ – радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки $A→B→C→A (a→b→c→a)$, можно получить другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным. Формулы сферической тригонометрии позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Для прямоугольных сферических треугольников ($A=90°, a$– гипотенуза, $b, c$ – катеты) формулы сферической тригонометрии существенно упрощаются, например:

$$\sin b=\sin a\sin B,\tag{1'}$$$$\cos a=\cos b\cos c,\tag{2'}$$$$\sin a\cos B=\cos b\sin c.\tag{3'}$$Сферическая тригонометрия возникла значительно раньше плоской тригонометрии при решении задач астрономии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')–(3'), и различные случаи их решения были известны ещё Менелаю и Птолемею, арабский учёный Насирэддин ат-Туси (13 в.) рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Л. Эйлер дал (1753, 1779) всю систему формул сферической тригонометрии.