Термины

Наилучшее приближение

Наилу́чшее приближе́ние, понятие теории приближения функций. Пусть f(x)f(x), заданная на некотором отрезке [a,b][a, b], a g1(x),g2(x),,gn(x)g_1(x), g_2(x), \ldots, g_n(x) – фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения

f(x)a1g1(x)a2g2(x)angn(x)(*)|f(x)-a_1g_1(x)-a_2g_2(x)- \ldots-a_ng_n(x)|\tag{*}по x[a,b]x\in [a, b] называется уклонением функции f(x)f(x) от

Pn(x)=a1g1(x)+a2g2(x)++angn(x),P_n(x)=a_1g_1(x)+a_2g_2(x)+\ldots+a_ng_n(x),а минимум уклонения по всевозможным полиномам Pn(x)P_n(x) (т. е. по всевозможным наборам коэффициентов a1,a2,,ana_1, \, a_2, \ldots, \,a_n) – наилучшее приближение функции f(x)f(x) посредством системы g1(x),g2(x),,gn(x)g_1(x), \,g_2(x), \ldots, \,g_n(x); наилучшее приближение обозначают En(f,g)E_n(f,g). Таким образом, наилучшее приближение является минимумом максимума или, как говорят, .

Полином Pn(x;f)P_n^*(x; \,f), для которого уклонение от функции f(x)f(x) равно наилучшему приближению (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f(x)f(x) (на отрезке [a,b][a,b]).

Понятия наилучшего приближения и полинома, наименее уклоняющегося от функции f(x)f(x), были впервые введены (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Наилучшее приближение можно также рассматривать, когда под уклонением функции f(x)f(x) от полинома Pn(x)P_n(x) понимается не максимум выражения ()(*), а, например,

ab[f(x)Pn(x)]2dx.\displaystyle\sqrt{\int_a^b[f(x)-P_n(x)]^2dx}.

Редакция математических наук
  • Теория приближения функций