Наилучшее приближение

Наилу́чшее приближе́ние, понятие теории приближения функций. Пусть $f(x)$ – непрерывная функция, заданная на некотором отрезке $[a, b]$, a $g_1(x), g_2(x), \ldots, g_n(x)$ – фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения

$$|f(x)-a_1g_1(x)-a_2g_2(x)- \ldots-a_ng_n(x)|\tag{*}$$по $x\in [a, b]$ называется уклонением функции $f(x)$ от полинома

$P_n(x)=a_1g_1(x)+a_2g_2(x)+\ldots+a_ng_n(x),$а минимум уклонения по всевозможным полиномам $P_n(x)$ (т. е. по всевозможным наборам коэффициентов $a_1, \, a_2, \ldots, \,a_n$) – наилучшее приближение функции $f(x)$ посредством системы $g_1(x), \,g_2(x), \ldots, \,g_n(x)$; наилучшее приближение обозначают $E_n(f,g)$. Таким образом, наилучшее приближение является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином $P_n^*(x; \,f)$, для которого уклонение от функции $f(x)$ равно наилучшему приближению (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции $f(x)$ (на отрезке $[a,b]$).

Понятия наилучшего приближения и полинома, наименее уклоняющегося от функции $f(x)$, были впервые введены П. Л. Чебышёвым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Наилучшее приближение можно также рассматривать, когда под уклонением функции $f(x)$ от полинома $P_n(x)$ понимается не максимум выражения $(*)$, а, например,

$\displaystyle\sqrt{\int_a^b[f(x)-P_n(x)]^2dx}.$