Аналити́ческая фу́нкция, функция, которая может быть представлена степенным рядом. Исключительная важность класса аналитических функций определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно широк: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и её приложений к естествознанию и технике. Во-вторых, класс аналитических функций замкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа. Наконец, аналитические функции обладают важным свойством единственности: каждая аналитическая функция образует одно «органически связанное целое», представляет собой «единую» функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, которое в 18 в. считалось неотделимым от самого понятия функции, приобрело принципиальное значение после установления в 1-й половине 19 в. общей точки зрения на функцию как на произвольное соответствие. Теория аналитических функций была создана в 19 в. в первую очередь благодаря работам О. Л. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса. Решающее значение в построении этой теории сыграл «выход в комплексную область». Теория аналитических функций возникла как теория функций комплексного переменного; и в настоящее время теория аналитических функций составляет основное содержание общей теории функций комплексного переменного.

Существуют различные подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого О. Коши и далеко продвинутого Б. Риманом, лежит структурное свойство функции – существование производной по комплексному переменному, или комплексная дифференцируемость. Этот подход тесно связан с геометрическими представлениями. Другой подход, систематически развивавшийся К. Вейерштрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан тем самым с аналитическим аппаратом, которым может быть изображена функция. Основной факт теории аналитических функций заключается в тождественности соответствующих классов функций, рассматриваемых в произвольной области комплексной плоскости.

Перейдём к точным определениям. Пусть $D$ – область в комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Если каждой точке $z \in D$ поставлено в соответствие некоторое комплексное число $w$, то говорят, что в области $D$ определена (однозначная) функция $f$ комплексного переменного $z$, и пишут: $w=f(z)$, $z \in D$ (или $f: D \rightarrow \mathbb{C}$). Функция $w=f(z)=f(x+i y)$ может рассматриваться как комплексная функция двух действительных переменных $x$ и $y$, определённая в области $D\subset \mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^2$ – евклидова плоскость). Задание такой функции равносильно заданию двух действительных функций

$$u=\varphi(x, y),\,\, v=\psi(x, y), \quad(x, y) \in D(w=u+i v).$$Зафиксировав точку $z \in D$, придадим $z$ приращение $\Delta z=\Delta x+i \Delta y$ (так, что $z+\Delta z \in D$) и рассмотрим соответствующее приращение функции $f$:

$$\Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z).$$Если

$$\Delta f(z)=A \Delta z+o(\Delta z)$$при $\Delta z \rightarrow 0$, или, что то же, если существует

$$\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}=A,$$то функция $f$ называется дифференцируемой (в смысле комплексного анализа, или в смысле $\mathbb{C}$) в точке $z$; $A=f^{\prime}(z)$ – производная функция $f$ в точке $z$, a

$$A \Delta z=f^{\prime}(z)\, d z=d f(z)$$– её дифференциал в этой точке. Функция $f$, дифференцируемая в каждой точке области $D$, называется дифференцируемой в области $D$.

Сравним понятия дифференцируемости функции $f$ как функции двух действительных переменных (в смысле $\mathbb{R}^2$) и в смысле $\mathbb{C}$. В первом случае дифференциал $d f$ имеет вид

$$\frac{\partial f}{\partial x}\, d x+\frac{\partial f}{\partial y}\, d y,$$где

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}+i \frac{\partial \psi}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}+i \frac{\partial \psi}{\partial y}$$– частные производные функции $f$. Переходя от независимых переменных $x, y$ к переменным $z$, $\bar{z}$, которые формально можно считать новыми независимыми переменными, связанными со старыми соотношениями $z=x+i y$, $\bar{z}=x-i y$ [становясь на эту точку зрения, функцию $f$ иногда записывают в виде $f(z, \bar{z})$], и, выражая $d x$ и $d y$ через $d z$ и $d \bar{z}$ по обычным правилам вычисления дифференциалов, получают запись $d f$ в комплексной форме:

$$d f=\frac{\partial f}{\partial z}\, d z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\, d \bar{z},$$где

$$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y}\right),\quad \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$– (формальные) производные функции $f$ по $z$ и $\bar{z}$ соответственно. Отсюда видно, что дифференцируемость функции $f$ в смысле $\mathbb{C}$ имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле $\mathbb{R}^2$ и справедливо равенство $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$, которое в развёрнутой форме можно переписать так:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y},\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$Если функция $f$ дифференцируема в смысле $\mathbb{C}$ в области $D$, то последние соотношения справедливы в каждой точке этой области; они называются уравнениями Коши – Римана. Эти уравнения встречались уже в 18 в. в связи с изучением функций комплексного переменного в трудах Ж. Л. Д'Аламбера и Л. Эйлера. Определение, данное вначале, уточняется так. Функция $f$, определённая в области $D$, называется голоморфной (аналитической) в точке $z_0 \in D$, если существует окрестность этой точки, в которой функция $f$ представляется степенным рядом

$$f(z)= a_0+a_1\left(z-z_0\right) +\ldots+a_n\left(z-z_0\right)^n+\ldots$$Если это свойство имеет место в каждой точке $z_0$ области $D$, то функция $f$ называется голоморфной (аналитической) в области $D$.

Функция $f$, голоморфная в точке $z_0 \in D$, дифференцируема в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному $z$; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции $f$ в точке $z_0$ по формуле

$$a_n=\frac{f^{(n)}\left(z_0\right)}{n !}.$$Степенной ряд, записанный в форме

$$f\left(z_0\right)+\frac{f^{\prime}\left(z_0\right)}{1 !}\left(z-z_0\right)+\ldots+\frac{f^{(n)}\left(z_0\right)}{n !}\left(z-z_0\right)^n+\ldots,$$называется рядом Тейлора функции $f$ в точке $z_0$. Тем самым голоморфность функции $f$ в области $D$ означает, что в каждой точке области $D$ функция $f$ бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.

C другой стороны, в теории аналитических функций устанавливается следующий замечательный факт: функция $f$, дифференцируемая в области $D$, голоморфна в этой области (в отдельной точке это утверждение неверно: $f(z)=|z|^2= z \bar{z}$ дифференцируема в точке $z_0=0$, но нигде не голоморфна). Следовательно, понятия комплексной дифференцируемости и голоморфности функции в области тождественны; каждое из следующих свойств функции $f$ в области $D$: дифференцируемость в смысле $\mathbb{C}$, дифференцируемость в смысле $\mathbb{R}^2$ вместе с выполнением уравнений Коши – Римана, голоморфность – может служить определением аналитичности $f$ в этой области.

Ещё одна характеристика аналитической функции связана с понятием интеграла. Интеграл от функции $f=\varphi+i \psi$ вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой $\Gamma: z=z(t)$, $t \in[\alpha, \beta]$, может быть определён формулой

$$\int_{\Gamma} f(z)\, d z=\int_\alpha^\beta f[z(t)] z^{\prime}(t)\, d t$$или при помощи криволинейного интеграла

$$\int_{\Gamma} f(z)\, d z=\int_{\Gamma} \varphi\, dx-\psi d y +i \int_{\Gamma} \psi\, d x+\varphi\, d y.$$Центральное место в теории аналитических функций занимает следующая интегральная теорема Коши: если $f$ – аналитическая функция в области $D$, то $\int_{\Gamma} f(z)\, d z=0$ для любой замкнутой кривой $\Gamma \subset D$, ограничивающей область, принадлежащую $D$. Верно и обратное заключение (теорема Мореры): если $f$ непрерывна в области $D$ и $\int_{\Gamma} f(z)\, d z=0$ для любой такой кривой $\Gamma$, то $f$ – аналитическая функция в области $D$. В частности, в односвязной области аналитическими являются те и только те непрерывные функции $f$, для которых интеграл по любой замкнутой кривой $\Gamma \subset D$ равен нулю (или, что то же самое, интеграл по любой кривой $\Gamma$, соединяющей произвольные точки $z_1, z_2 \in D$, зависит только от точек $z_1$ и $z_2$ и не зависит от формы этой кривой). Эта характеристика аналитических функций лежит в основе многих их приложений. Интегральная теорема Коши позволяет получить интегральную формулу Коши, выражающую значения аналитической функции внутри области через её значения на границе этой области:

$$f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)\, d \zeta}{\zeta-z}, \quad z \in D;$$здесь $D$ – область, граница которой $\partial D$ состоит из конечного числа непересекающихся спрямляемых кривых (ориентация $\partial D$ предполагается положительной относительно области $D$), $f$ – функция, аналитическая в некоторой области $G \supset \bar{D}=D \cup \partial D$. Эта формула позволяет, в частности, свести изучение многих вопросов, связанных с аналитическими функциями, к соответствующим вопросам для простейшей функции – ядра Коши и $\dfrac{1}{\zeta-z}$, $\zeta \in \partial D$, $z \in D$ (подробнее см. в статье Интегральное представление аналитической функции).

Важнейшее свойство аналитических функций выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области $D$ и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в $D,$ совпадают и во всей области $D$ (тождественны). В частности, аналитическая функция $f(z)$, $z \in D$, отличная от тождественного нуля, может иметь в области $D$ лишь изолированные нули. Если при этом $z_0$ – нуль функции $f$, то в некоторой окрестности $U\left(z_0\right)$ точки $z_0$ имеем $f(z)=\left(z-z_0\right)^\nu g(z)$, где $\nu \geqslant 1$ – натуральное число (называемое кратностью нуля функции $f$ в $z_0$), а $g(z)$ – аналитическая функция в $U\left(z_0\right)$, отличная от нуля.

Важную роль в изучении аналитических функций играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности – т. н. особые точки аналитических функций. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) аналитических функций. Если $f$ – аналитическая функция в кольце вида $0<\left|z-z_0\right|<\rho$, то она разлагается в этой области в ряд Лорана

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n,$$содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени $z-z_0$. Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют ($a_n=0$ для $n=-1,-2, \ldots$), то $z_0$ называется правильной точкой $f$ (устранимой особой точкой). В правильной точке существует и конечен

$$\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=a_0;$$полагая $f\left(z_0\right)=a_0$, получаем аналитическую функцию во всём круге $\left|z-z_0\right|< \rho$. Если ряд Лорана функции содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями $z-z_0$:

$$f(z)=\sum_{n=\mu}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n, \quad \mu<0, \quad a_\mu \neq 0,$$то точка $z_0$ называется полюсом функции $f$ (кратности $\mu$); полюс $z_0$ характеризуется тем, что

$\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=\infty.$

Функция $f$ имеет в точке $z_0$ полюс кратности $\mu$ тогда и только тогда, когда функция $1 / f$ имеет в этой точке нуль кратности $\mu$. В случае когда ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней $z-z_0$ ($a_n \neq 0$ для бесконечного множества отрицательных индексов $n$), точка $z_0$ называется существенной особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции $f$. Коэффициент $a_{-1}$ разложения функции $f$ в ряд Лорана с центром в изолированной особой точке $z_0$ называется вычетом функции $f$ в точке $z_0$:

$$a_{-1}=\underset{z=z_0}{\operatorname{res}} f(z).$$Вычет функции $f$ в точке $z_0$ может быть определён формулой

$$\underset{z=z_0}{\operatorname{res}} f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(z)\, d z,$$где $\gamma=\left\{z:\left|z-z_0\right|=\rho\right\}$, $\rho>0$ – достаточно мало (так, что круг $\left|z-z_0\right| \leqslant \rho$ не содержит особых точек функции $f$, отличных от $z_0$). Важная роль вычетов определяется следующей теоремой: если $f$ – аналитическая функция в области $G$, за исключением некоторого множества изолированных особых точек, $\Gamma \subset G$ – контур, ограничивающий область $D \subset G$ и не проходящий через особые точки функции $f$, $z_1, \ldots, z_n$ – все особые точки $f$, лежащие в $D$, то

$$\int_{\Gamma} f(z)\, d z=2 \pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{res}} f(z).$$Эта теорема даёт эффективное средство для нахождения интегралов.

Сумма членов ряда Лорана функции $f$ в точке $z_0$, соответствующая отрицательным индексам $n$,

$$\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n\left(z-z_0\right)^n,$$называется главной частью ряда Лорана (или функции $f$) в точке $z_0$. Именно главная часть определяет характер особенности функции $f$ в точке $z_0$.

Функции, представимые в виде отношения двух функций, голоморфных в области $D$, называются мероморфными в области $D$. Мероморфная в области функция голоморфна в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области $D$ функции могут быть определены как функции, которые в окрестности каждой точки $z_0 \in D$ представимы рядом по степеням $z-z_0$, содержащим конечное (зависящее от $z_0$) число членов с отрицательными степенями $z-z_0$.

Часто аналитическими в области $D$ называются как голоморфные, так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции называются также регулярными аналитическими, или просто регулярными.

Простейший класс аналитических функций составляют функции, голоморфные во всей плоскости; такие функции называются целыми. Целые функции представимы рядами $a_0+a_1 z+ \ldots+a_n z^n+\ldots$, сходящимися во всей плоскости. К ним относятся многочлены от $z$, функции

$$\begin{gathered} e^z=1+\frac{z}{1 !}+\frac{z^2}{2 !}+\ldots+\frac{z^n}{n !}+\ldots, \\ \sin z=z-\frac{z^3}{3 !}+\ldots+(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\ldots, \\ \cos z=1-\frac{z^2}{2!} +\ldots +(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n)!}+\ldots \end{gathered}$$Теорема Вейерштрасса утверждает, что какова бы ни была последовательность комплексных чисел $\alpha_n$, $n=1,2, \ldots$, не имеющая предельных точек в $\mathbb{C}$, существует целая функция $F$, обращающаяся в нуль в точках $\alpha_n$, и только в этих точках (среди точек $\alpha_n$ могут быть совпадающие; им отвечает нуль функции $F$ соответствующей кратности). При этом функция $F$ может быть представлена в виде (вообще говоря, бесконечного) произведения целых функций, каждая из которых имеет только по одному нулю. Например,

$$\sin z=z\left(1-\frac{z}{\pi}\right)\left(1+\frac{z}{\pi}\right) \left(1-\frac{z}{2 \pi}\right)\left(1+\frac{z}{2 \pi}\right) \ldots$$Функции, мероморфные во всей плоскости (т. е. представимые в виде отношения целых функций), называются мероморфными функциями. Таковыми являются рациональные функции, $\operatorname{tg} z=\sin z / \cos z$, $\operatorname{ctg} z= \cos z / \sin z$, эллиптические функции и т. д.

Согласно теореме Миттаг-Леффлера, для любой последовательности $\beta_n \in \mathbb{C}$, $n=1,2, \ldots$, не имеющей предельных точек в $\mathbb{C}$, существует мероморфная функция $G$ с полюсами в точках $\beta_n$ (и только в этих точках), главные части которой в точках $\beta_n$ совпадают с заранее заданными многочленами от $\dfrac{1}{z-\beta_n}$. При этом функция $G$ может быть представлена в виде (вообще говоря, бесконечной) суммы мероморфных функций, каждая из которых имеет полюс только в одной точке. Haпример,

$$\operatorname{ctg} z=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-\pi} +\frac{1}{z+\pi} +\frac{1}{z-2 \pi}+\frac{1}{z+2 \pi}+\ldots$$Теоремы о существовании голоморфной функции с заданными нулями и мероморфных функций с заданными полюсами и главными частями справедливы и для произвольной области $D \subset \mathbb{C}$.

Важное значение для изучения аналитических функций имеют связанные с ними геометрические представления. Если $f: D \rightarrow C$ – аналитическая функция, то образ $f(D)$ области $D$ также является областью (принцип сохранения области). При $f^{\prime}\left(z_0\right) \neq 0$ отображение $f$ сохраняет углы в $z_0$ как по величине, так и по знаку, т. е. является конформным. Таким образом, существует тесная связь между аналитичностью и важным геометрическим понятием конформного отображения. Если $f$ – аналитическая функция в $D$ и $f\left(z^{\prime}\right) \neq f\left(z^{\prime \prime}\right)$ при $z^{\prime} \neq z^{\prime \prime}$ (такие функции называются однолистными), то $f^{\prime}(z) \neq 0$ в $D$ и $f$ определяет взаимно однозначное и конформное отображение области $D$ на область $f(D)$. Теорема Римана, основная теорема теории конформных отображений, утверждает, что в любой односвязной области, граница которой содержит более одной точки, существуют однолистные аналитические функции, конформно отображающие эту область на круг или полуплоскость.

Действительная и мнимая части функции $f=\varphi+i \psi$, голоморфной в области $D$, удовлетворяют в этой области уравнению Лапласа:

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0, \quad \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0,$$т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонические функции, связанные между собой уравнениями Коши – Римана, называются сопряжёнными. В односвязной области любая гармоническая функция $\varphi$ имеет сопряжённую функцию $\psi$ и является тем самым действительной частью некоторой голоморфной в $D$ функции $f$.

Связи с конформными отображениями и гармоническими функциями лежат в основе многих приложений теории аналитических функций.

Функция $f(z)$, $z \in E$ ($E \subset \mathbb{C}$ – произвольное множество) называется аналитической в точке $z_0 \in E$, если существует окрестность этой точки, на пересечении которой с множеством $E$ функция $f$ представляется сходящимся степенным рядом. Функция $f$ называется аналитической на множестве $E$, если она аналитична на некотором открытом множестве, содержащем $E$ (точнее, если существуют открытое множество, содержащее $E$, и аналитическая на нём функция $F$, совпадающая с $f$ на множестве $E$). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству. Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Для справедливости теоремы единственности аналитической функции существенно свойство связности множества $E$. Именно поэтому аналитические функции рассматриваются обычно в областях, т. е. на открытых и связных множествах.

Bсё сказанное выше относилось к однозначным аналитическим функциям, рассматриваемым в данной области $D$ (или на данном множестве $E$) комплексной плоскости. Задаваясь вопросом о возможности продолжения функции $f$ – как аналитической функции – в бо́льшую область, приходят к понятию аналитической функции, рассматриваемой в целом во всей своей естественной области существования. При таком продолжении данной функции область её аналитичности, расширяясь, может налегать сама на себя, доставляя новые значения функции в точках плоскости, где она уже была определена. Поэтому аналитическая функция, рассматриваемая в целом, вообще говоря, оказывается многозначной. К необходимости изучения многозначных аналитических функций приводят многие вопросы анализа (обращение функций, нахождение первообразных и построение аналитических функций с заданной действительной частью в многосвязных областях, решение алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами и др.); такими функциями являются $\sqrt[n]{z}$, $\operatorname{Ln} z$, $\operatorname{Arcsin} z,$ $\operatorname{Arctg} z$, алгебраические функции и т. д.

Регулярный процесс, приводящий к полной аналитической функции, рассматриваемой в своей естественной области существования, был указан К. Вейерштрассом; он носит название аналитического продолжения по Вейерштрассу.

Исходным является понятие элемента аналитической функции степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости. Такой элемент $W_0$:

$$a_0+a_1\left(z-z_0\right)+\ldots+a_n\left(z-z_0\right)^n+ \ldots$$определяет некоторую аналитическую функцию $f$ в своём круге сходимости $K_0.$ Пусть $z_1$ – точка круга $K_0$, отличная от $z_0$. Разлагая функцию $f$ в ряд с центром в точке $z_1$, получаем новый элемент $W_1$:

$$b_0+ b_1\left(z-z_1\right)+ \ldots+ b_n\left(z-z_1\right)^n +\ldots,$$круг сходимости которого обозначим через $K_1$. В общей части кругов $K_0$ и $K_1$ ряд $W_1$ сходится к той же функции, что и ряд $W_0$. Если круг $K_1$ выходит за пределы круга $K_0$, то ряд $W_1$ определяет функцию, заданную посредством $W_0$, на некотором множестве вне $K_0$ (где ряд $W_0$ расходится). В этом случае элемент $W_1$ называется непосредственным аналитическим продолжением элемента $W_0$. Пусть $W_0, W_1, \ldots, W_N$ – цепочка элементов, в которой $W_{n+1}$ является непосредственным аналитическим продолжением $W_n$ $(n=0,1, \ldots, N-1)$; тогда элемент $W_N$ называется аналитическим продолжением элемента $W_0$ (посредством данной цепочки элементов). Может оказаться так, что центр круга $K_N$ принадлежит кругу $K_0$, но элемент $W_N$ не является непосредственным аналитическим продолжением элемента $W_0$. В этом случае суммы рядов $W_0$ и $W_N$ в общей части кругов $K_0$ и $K_N$ имеют различные значения; тем самым аналитическое продолжение может привести к новым значениям функции в круге $K_0$.

Совокупность всех элементов, которые могут быть получены аналитическим продолжением элемента $W_0$, образуют полную аналитическую функцию (в смысле Вейерштрасса), порождённую элементом $W_0$; объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассову) область существования этой функции. Из теоремы единственности аналитической функции следует, что аналитическая функция в смысле Вейерштрасса полностью определяется заданием элемента $W_0$. При этом в качестве исходного может быть взят любой другой элемент, принадлежащий этой функции; полная аналитическая функция от этого не изменится.

Полная аналитическая функция $f$, рассматриваемая как функция точек плоскости, принадлежащих её области существования $D$, вообще говоря, является многозначной. Чтобы избавиться от многозначности, функцию $f$ рассматривают не как функцию точек плоской области $D$, a как функцию точек некоторой (лежащей над областью $D$) многолистной поверхности $R$ такой, что каждой точке области $D$ соответствует столько (проектирующихся в неё) точек поверхности $R$, сколько различных элементов с центром в этой точке имеет полная аналитическая функция; на поверхности $R$ функция $f$ становится однозначной функцией. Идея перехода к таким поверхностям принадлежит Б. Риману, а сами они носят название римановых поверхностей. Абстрактное определение понятия римановой поверхности позволило заменить теорию многозначных аналитических функций теорией однозначных аналитических функций на римановых поверхностях.

Фиксируем область $\Delta$, принадлежащую области существования $D$ полной аналитической функции $f$, и какой-либо элемент $W$ функции $f$ с центром в точке области $\Delta$. Совокупность всех элементов, которые могут быть получены аналитическим продолжением элемента $W$ посредством цепочек с центрами, принадлежащими $\Delta$, называется ветвью аналитической функции $f$. Ветвь многозначной аналитической функции может оказаться однозначной аналитической функцией в области $\Delta$. Так, например, произвольные ветви функций $\sqrt[n]{z}$ и $\operatorname{Ln} z$, соответствующие любой односвязной области, не содержащей точку 0, являются однозначными функциями; при этом $\sqrt[n]{z}$ имеет ровно $n$, a $\operatorname{Ln} z$ – бесконечное множество различных ветвей в каждой такой области. Выделение однозначных ветвей (при помощи тех или иных разрезов области существования) и их изучение средствами теории однозначных аналитических функций является одним из основных приёмов исследования конкретных многозначных аналитических функций.

Аналитические функции нескольких комплексных переменных

Комплексное пространство $\mathbb{C}^n$ [состоящее из точек $z=\left(z_1, \ldots, z_n\right)$, $z_k=x_k+i y_k$] – это векторное пространство над полем комплексных чисел с евклидовой метрикой

$$|z|=\left\{\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|^2\right\}^{1 / 2}, \quad {\mathbb{C}}^1=\mathbb{C}.$$От $2n$-мерного евклидова пространства $\mathbb{R}^{2 n}$ оно отличается некоторой асимметрией: при переходе от $\mathbb{R}^{2 n}$ к $\mathbb{C}^n$ (т. е. при введении в $\mathbb{R}^{2 n}$ комплексной структуры) координаты разбиваются на пары, которые выступают в комплексе $\left(z_k=x_k+i y_k\right)$.

Если комплексная функция $f=\varphi+i\psi$ задана в области $D \subset \mathbb{C}^n$ и дифференцируема в каждой точке $z \in D$ в смысле $\mathbb{R}^{2 n}$ (т. е. как функция $2 n$ действительных переменных $x_k$ и $y_k$), то её дифференциал может быть представлен в виде

$$d f=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial z_k}\, d z_k + \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial \bar{z}_k}\, d \bar{z}_k,$$где $d z_k=d x_k +i d y_k$, $d \bar{z}_k =d x_k-i d y_k$, а символы $\dfrac{\partial f}{\partial z_k}$ и $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}_k}$ определяются так же, как и в плоском случае. Если при этом $d f$ имеет вид

$$d f=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial z_k}\, d z_k,$$т. е. является комплексно линейной функцией от $d z_1, \ldots, d z_n,$ то функция $f$ называется дифференцируемой в смысле $\mathbb{C}^n$, или голоморфной, или аналитической в области $D$.

Таким образом, условие голоморфности $f$ в области $D \subset \mathbb{C}^n$ состоит из условия её дифференцируемости в смысле $\mathbb{R}^{2 n}$ и системы $n$ комплексных равенств $\partial f / \partial \bar{z}_k=0$ $(k=1, \ldots, n)$, которая равносильна системе $2 n$ уравнений c частными производными 1-го порядка

$$\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}=\frac{\partial \psi}{\partial y_k}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y_k}=-\frac{\partial \psi}{\partial x_k} \quad(k=1, \ldots, n)$$(система Коши – Римана).

В пространственном случае $(n>1)$, в отличие от плоского $(n=1)$, эта система переопределена – число уравнений превышает число неизвестных функций. Переопределённость остаётся и при переходе к геометрически более естественному пространственному аналогу голоморфной функции одного комплексного переменного – голоморфному отображению $f$, осуществляемому системой $f=\left(f_1, \ldots, f_n\right)$ из $n$ голоморфных в области $D \subset C$ функций $f_k$. Отображение $f: D \rightarrow G=f(D)$ называется биголоморфным, если оно взаимно однозначно и голоморфно вместе с обратным $f^{-1}: G \rightarrow D$. Условия голоморфности отображения $f: D \rightarrow \mathbb{C}^n$ выражаются системой $2 n^2$ действительных уравнений относительно $2 n$ действительных функций. Переопределённость условий голоморфности при $n>1$ является причиной ряда эффектов, специфичных для пространственного случая, таких как отсутствие пространственного аналога теоремы Римана о существовании конформных отображений. По теореме Римана, при $n=1$ всякие две односвязные области, границы которых не сводятся к точке, изоморфны. Однако при $n>1$ неизоморфными оказываются даже такие простые односвязные области, как шар $\{|z|<1\}$ и произведение кругов (поликруг) $\left\{\left| z_\nu\right|<1,\,\, \nu=1, \ldots, n\right\}$. Неизоморфность обнаруживается при сравнении групп автоморфизмов этих областей (т. е. их биголоморфных отображений на себя): группы оказываются алгебраически неизоморфными, а биголоморфное отображение одной области на другую, если бы оно существовало, устанавливало бы изоморфизм этих групп. Отмеченное обстоятельство существенно отличает теорию биголоморфных отображений областей комплексного пространства от теории конформных отображений плоских областей.

Функция $f$ называется голоморфной в точке $a \in \mathbb{C}^n$, если она голоморфна в некоторой окрестности этой точки. По условиям Коши – Римана, голоморфная в точке $a$ функция нескольких переменных голоморфна по каждому переменному (при фиксированных значениях остальных переменных). Справедливо и обратное: если функция $f$ в окрестности некоторой точки голоморфна по каждому переменному в отдельности, то она голоморфна в этой точке (основная теорема Гартогса).

Голоморфность функции $f$ в точке ${a} = \left(a_1, \ldots, a_n\right)$, по аналогии с плоским случаем, эквивалентна её разложимости в окрестности этой точки в кратный степенной ряд

$$f(z)=\sum_{k_\nu \geqslant 0} c_{k_1 \ldots k_n}\left(z_1-a_1\right)^{k_1} \ldots \left(z_n - a_n \right)^{k_n},$$или, в сокращённой записи,

$$f(z)=\sum_{|k| \geqslant 0} c_k(z-a)^k,$$где $k=\left(k_1, \ldots, k_n\right)$ – целочисленный векторный индекс $k_\nu \geqslant 0$, $|k|=k_1+\ldots+k_n$ и

$$(z-a)^k=\left(z_1-a_1\right)^{k_1} \ldots \left(z_n - a_n\right)^{k_n}.$$Голоморфная функция бесконечно дифференцируема, и этот ряд – её ряд Тейлора, т. е.

$$c_k = \frac{1}{k_1 \ldots k_n} \frac{\partial^{k_1+k_2 +\ldots+k_{n}} f}{\partial z_1^{k_1} \partial z_2^{k_2} \ldots \partial z_n^{k_n}}$$(производные берутся в точке $a$).

На голоморфные функции нескольких переменных распространяются основные факты теории голоморфных функций одного переменного, иногда в изменённой формулировке, например подготовительная теорема Вейерштрасса, которая распространяет на пространственный случай свойство голоморфных функций одного переменного обращаться в нуль как целая степень $z-a$. Теорема формулируется так: если голоморфная в точке $a \in \mathbb{C}^n$ функция $f \neq 0$ равна нулю в этой точке, то в некоторой окрестности $U(a)$ её можно представить (возможно, после невырожденного линейного преобразования независимых переменных) в виде

$$f(z)=\left\{\left(z_n-a_n\right)^k + c_1\left({ }^{\prime} z\right) \left(z_n-a_n\right)^{k-1} +\ldots + c_k\left({ }^{\prime} z\right)\right\} \varphi(z),$$где $k \geqslant 1$ – целое число, $c_\nu$ $(\nu=1, \ldots, k)$ – функции от $'z=\left(z_1, \ldots, z_{n-1}\right)$, голоморфные в окрестности точки $'a=\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right) \in \mathbb{C}^{n-1}$ [штрих перед буквой обозначает проекцию в пространство первых $(n-1)$ координат] и равные нулю в $a$, а $\varphi$ голоморфна и отлична от нуля в $U(a)$.

Эта теорема имеет принципиальное значение для изучения аналитических множеств, которые локально, в окрестности каждой своей точки, описываются как множества общих нулей некоторого числа голоморфных в этой точке функций. Согласно теореме Вейерштрасса, такие множества локально описываются как множества общих нулей полиномов по одному переменному $z_n$ c коэффициентами из кольца голоморфных функций от остальных переменных $'z$. Это обстоятельство позволяет при локальном изучении аналитических множеств широко пользоваться алгебраическими методами.

Интегральная теорема Коши также несколько видоизменяется в пространственном случае и называется теоремой Коши – Пуанкаре: пусть функция $f$ голоморфна в области $D \subset \mathbb{C}^n$, тогда для любой $(n+1)$-мерной поверхности $G$, компактно принадлежащей $D$, с кусочно гладкой границей $\partial G$

$$\int_{\partial G} f\, d z=0.$$При этом интеграл, как и в плоском случае, определяется параметрическим заданием множества: если $\partial G$ имеет уравнение $z=z(t)$, где параметр $t=\left(t_1, \ldots, t_n\right)$ меняется в $n$-мерной клетке $I^n=\left\{\alpha_k \leqslant t \leqslant \beta_k,\,\, k=1, \ldots, n\right\}$, то, по определению

$$\int_{\partial G} f\, d z=\int_{I^n} f[z(t)] \frac{\partial\left(z_1, \ldots, z_n\right)}{\partial\left(t_1, \ldots, t_n\right)}\, d t_1 \ldots d t_n.$$Отличие пространственного случая от плоского состоит в том, что здесь размерность поверхности $G$ меньше размерности области $D$, а в плоском случае эти размерности совпадают $(n+1=2 n)$.

Пространственный аналог интегральной формулы Коши особенно просто выписывается для поликруговых областей, т. е. произведений плоских областей. Пусть $D=D_1 \times \ldots \times D_n$ – такая область, где $D_k$ – область плоскости комплексного переменного с кусочно гладкой границей $\partial D_k$ $(k=1, \ldots, n)$, а функция $f$ голоморфна в области, компактно содержащей $D$. Тогда последовательное применение интегральной формулы Коши для одного переменного даёт для любой точки $z \in D$

$$f(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta) \,d \zeta}{\zeta-z},$$где $\Gamma=\partial D_1 \times \ldots \times \partial D_n$ есть $n$-мерная поверхность на границе $\partial D$, $\zeta=\left(\zeta_1, \ldots, \zeta_n\right)$ и

$$\frac{d \zeta}{\zeta-z}=\frac{d \zeta_1 \ldots d \zeta_n}{\left(\zeta_1 -z_1\right) \ldots\left(\zeta_n - z_n\right)}.$$Однако поликруговые области составляют лишь весьма специальный класс, а в областях общего вида подобное разделение переменных невозможно. Роль интеграла Коши для произвольных областей $D \subset \mathbb{C}^n$ c кусочно гладкой границей играет интегральная формула Мартинелли – Бохнера: для любой функции $f$, голоморфной в области, которая содержит $\bar{D}$, и для любой точки $z \in D$

$$f(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{\partial D} f(\zeta) \frac{\delta(\bar{\zeta}-\bar{z})\, d \zeta}{|\zeta-z|^{2 n}},$$где $d \zeta=d \zeta_1 \ldots d \zeta_n$, a

$$\delta(\omega)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} \omega_k d \omega_1 \ldots d \omega_{k-1} d \omega_{k+1} \ldots d \omega_n.$$Это формула Грина для пары функций, одна из которых голоморфна в $D$, а другая является фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве $\mathbb{R}^{2 n}$ с особенностью в точке $\zeta=z$. При $n=1$ это обычный интеграл Коши. При $n>1$ формула отличается от кратного интеграла Коши для произведения плоских областей тем, что: во-первых, интегрирование в ней ведётся по $(2 n-1)$-мерной границе области, а не по её $n$-мерной части; во-вторых, её ядро (множитель при $f$ под знаком интеграла) зависит от параметра $z$ не аналитически. В ряде задач, однако, аналитичность ядра существенна, и поэтому желательно построить интегральную формулу с таким ядром для возможно более широкого класса областей. Обширный запас интегральных формул, в том числе для многих областей с аналитическим ядром, содержится в общей формуле Лере. Эта формула имеет вид

$$f(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{\partial D} f(\zeta) \frac{\delta[\omega(\zeta)]\, d \zeta}{\langle\zeta-z, \omega(\zeta)\rangle^n},$$где $\omega=\left(\omega_1, \ldots, \omega_n\right)$ – гладкая вектор-функция, $d \zeta$ и $\delta$ определены выше и $\langle\zeta-z, \omega\rangle=\sum_{k=1}^n \left(\zeta_k-z_k\right) \omega_k$; предполагается, что $\langle\zeta-z, \omega(\zeta)\rangle \neq 0$ при любом фиксированном $z \in D$ и $\zeta$, пробегающем $\partial D$. Величина интеграла в этой формуле не зависит от выбора вектор-функции $\omega(\zeta)$ [если только $\langle\zeta-z, \omega(\zeta)\rangle \neq 0$ при всех $z \in D$, $\zeta \in \partial D$], а при $\omega(\zeta)=\bar{\zeta}-\bar{z}$ этот интеграл совпадает с интегралом Мартинелли – Бохнера. Варьирование выбора $\omega$ для разных классов областей позволяет получить из формулы Лере различные интегральные формулы. В теории аналитических функций нескольких переменных рассматриваются и другие интегральные представления, справедливые для тех или иных классов областей. Важный класс составляют т. н. области Вейля, являющиеся обобщением произведения плоских областей. Для них справедливо представление Бергмана – Вейля с ядром, также аналитически зависящим от параметра.

Как и в плоском случае, основной интерес представляет изучение особенностей аналитических функций; при этом принципиальное отличие пространственного случая от плоского выражается теоремой Осгуда – Брауна о стирании компактных особенностей, согласно которой любая функция $f$, голоморфная в $D \backslash K$, где $D$ – область из $\mathbb{C}^n$ $(n>1)$, a $K$ – компактно принадлежащее $D$ множество, не разбивающее $D$, голоморфно продолжается во всю область $D$. По этой теореме голоморфные функции нескольких переменных не могут иметь изолированных особых точек. Место последних в $\mathbb{C}^n$ $(n>1)$ занимают особые множества, которые являются аналитическими, если их размерность ниже $2 n-1$.

Отмеченное обстоятельство является определяющим для многомерной теории вычетов. В этой теории изучается задача о вычислении интеграла от функции $f$, голоморфной всюду в области $D \subset \mathbb{C}^n$, за исключением аналитического множества $M$, по замкнутой $n$-мерной поверхности $\sigma$, не пересекающейся с $M$. Так как размерность особого множества $M$ ниже размерности $D$ по крайней мере на 2, то $M$ не разбивает $D$. Если поверхность $\sigma$ не зацеплена с $M$, т. е. ограничивает $(n+1)$-мерную поверхность $G$, компактно принадлежащую $D \backslash M$, то (по теореме Коши – Пуанкаре) $\int_\sigma f \,d z=0$. В общем случае для вычисления этого интеграла нужно выяснить, как $\sigma$ зацеплена с особым множеством $M$, и вычислить интегралы по специальным $n$-мерным поверхностям, ассоциированным с отдельными порциями множества $M$ (вычеты).