Ри́манова геоме́трия, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка по сравнению с размером области). Риманова геометрия получила своё название по имени Б. Римана, заложившего её основы в 1854 г.

Понятие о римановой геометрии

Простейший пример риманова пространства даёт любая гладкая поверхность. Действительно, в достаточно малой окрестности любой точки она совпадает (с точностью до величин высшего порядка малости) с касательной плоскостью в этой точке, поэтому в такой окрестности соотношения длин на поверхности будут такими же, как на плоскости (с точностью до малых высших порядков). Таким образом, в малых областях поверхности имеет место (с точностью до малых высших порядков) евклидова геометрия. Например, при измерениях на участках земной поверхности, малых по сравнению с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Т. е. поверхность, рассматриваемая с точки зрения измерений, проводимых на ней, оказывается двумерным пространством, внутренняя геометрия которого, будучи евклидовой в бесконечно малом, в целом не является евклидовой; к тому же, как правило, такое пространство неоднородно по своим геометрическим свойствам. Внутренняя геометрия поверхности есть не что иное, как риманова геометрия в случае двух измерений, а поверхность, рассматриваемая с точки зрения её внутренней геометрии, есть двумерное риманово пространство.

Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей римановой геометрии. Именно: рассматривается абстрактное пространство $n$ измерений, в котором задаётся закон измерения расстояний, совпадающий вблизи каждой точки с обычным евклидовым с точностью до бесконечно малых высших порядков. В основе римановой геометрии лежат три идеи. Первая из них – признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, была впервые развита Н. И. Лобачевским. Вторая – идущие от К. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности. Третья идея – понятие о $n$-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в простейших случаях рядом геометров в 1-й половине 19 в. Б. Риман, соединив и обобщив эти идеи, ввёл, во-первых, общее понятие о пространстве как о непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые являются точками этого пространства. Во-вторых, он перенёс на эти абстрактные пространства представление об измерении длин бесконечно малыми шагами, т. е. дал общее представление о метрике, определяемой формулой $$ds=f(x^1, \ldots, x^n; dx^1, \ldots, dx^n).$$Риман исследовал метрику, задаваемую формулой (2) (см. ниже), чем и положил начало римановой геометрии; кроме того, он наметил возможные связи римановой геометрии со свойствами реального пространства. Таково краткое содержание его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 г. и опубликованной лишь после его смерти, в 1868 г. Помимо этого, Риман в другой работе дал приложение аналитического аппарата своей теории к задаче о распространении тепла в анизотропном теле. Эта работа также издана лишь после его смерти, в 1869 г. Следует отметить, что риманова геометрия возникла и развивалась в работах Римана в связи с физикой. После публикации римановских работ его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые теоремы геометрического характера. Даны также применения римановой геометрии, например, в механике. Важным шагом было создание итальянскими математиками Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивитой на рубеже 19–20 вв. тензорного исчисления, которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки римановой геометрии. Решающее же значение имело применение римановой геометрии в создании общей теории относительности, которая была триумфом не только абстрактной геометрии и её аналитического аппарата, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Н. И. Лобачевским и Б. Риманом. Это привело к бурному развитию римановой геометрии и её разнообразных обобщений. Ныне риманова геометрия вместе с её обобщениями является обширной областью геометрии, которая продолжает успешно развиваться в различных направлениях.

Определение риманова пространства

К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки пространства $n$ измерений определяется $n$ координатами $x^1, \ldots, x^n$. Евклидово $n$-мерное пространство характеризуется тем, что в нём определено расстояние между любыми двумя точками $X, Y,$ причём в надлежаще выбранных координатах оно выражается формулой $$s(X, Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left.(\Delta x^i)\right.^2},$$где $\Delta x^i$ – разности координат точек $X, Y$. Соответственно, риманово пространство характеризуется тем, что в нём в окрестности каждой точки $A$ могут быть введены координаты $x^1, ..., x^n$ так, что расстояние между точками $X, Y$, близкими к $A$, выражается формулой $$s(X, Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left.(\Delta x^i)\right.^2}+ε,\tag{1}$$

где $\varepsilon$ таково, что $\dfrac{ε}{s(X,Y)}\rightarrow 0$, когда точки $X, Y$ приближаются к $A$. Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками с координатами $(x^i)$ и $(x^i+dx^i)$, или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся формулой $$ds=\sqrt{\sum_{i,j}g_{ij}dx^i dx^j},\tag{2}$$

где коэффициенты $g_{ij}=g_{ij}(x^1, ..., x^n)$ суть функции координат (в специальных координатах $\displaystyle ds=\sqrt{\sum_i \left.(dx^i)\right.^2}$, а при переходе к произвольным координатам сумма $\displaystyle\sum_i \left.(dx^i)\right.^2$ превращается в положительную квадратичную форму общего вида). Обратно, пусть в каждой точке $n$-мерного пространства задана положительная квадратичная форма $$\sum_{i,j} g_{ij}dx^i dx^j.\tag{3}$$Если определить длину кривой как интеграл от $$\sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}dx^i dx^j}$$вдоль этой кривой и расстояние между точками $X, Y$ как минимум (точную нижнюю грань) длин кривых, соединяющих эти точки, то пространство окажется римановым в смысле данного выше определения. Говорят, что форма (3) задаёт метрику (закон измерения расстояний) риманова пространства; выражение (2) называется линейным элементом $ds$ пространства. Определение длины как интеграла от $ds$ соответствует измерению длин «бесконечно малыми шагами» (как это отмечал ещё Б. Риман). Таким образом, риманово пространство можно аналитически определить как такое, в котором в каждой точке задана квадратичная форма (3). Возможность преобразования координат приводит к тому, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения этой метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от $x^i$ к $\tilde x^i$ остаётся неизменной: $$\sum_{i,j} g_{ij}dx^i gx^j= \sum_{i,j} \tilde g_{ij}d\tilde x^i g\tilde x^j.$$Т. к. задание квадратичной формы равносильно заданию коэффициентов $g_{ij}$ с указанием закона их преобразования, то риманово пространство можно определить как поле дважды ковариантного симметричного ($g_{ij}=g_{ji}$) тензора $g_{ij}$; его называют метрическим тензором. Если при этом допустить, что форма (3) может принимать и отрицательные значения, то получается обобщение римановой геометрии, применяемое в теории относительности.

Простейший случай риманова пространства представляет евклидово пространство, к нему примыкают два других типа римановых пространств, в которых возможно движение фигур с такой же свободой, как в евклидовом пространстве, при этом под движением понимается преобразование, не меняющее расстояний между точками. Геометрии этих пространств – геометрия Лобачевского и геометрия Римана (не смешивать с общей римановой геометрией). Эти неевклидовы геометрии суть частные случаи римановой геометрии, связанные, вместе с евклидовой геометрией, со случаем наибольшей возможной однородности риманова пространства.

Некоторые понятия римановой геометрии

Касательное евклидово пространство. По определению риманова пространства метрика риманова пространства в окрестности каждой точки совпадает (с точностью до бесконечно малых порядка выше 1-го) с евклидовой метрикой. Это позволяет сопоставить каждой точке $A$ данного риманова пространства $R$ т. н. касательное евклидово пространство $E_A$, в которое отображается окрестность $U$ точки $A$ так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке $A$. Аналитически это сводится к следующему: вблизи некоторой точки $A_0$ пространства $E_A$ вводятся координаты так, что в них квадрат линейного элемента $ds_0^2$ евклидова пространства $E_A$ выражается такой же формой $\displaystyle\sum_{i,j} g_{i,j}(A)dx^i dx^j$, какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства $R$ в точке $A$. Значение понятия касательного евклидова пространства состоит в том, что, поскольку можно пренебречь малыми порядка выше 1-го, окрестность точки в римановом пространстве можно заменять областью касательного пространства.

Длина дуги $S$ кривой $x^i=x^i(t),\ i=1, \ldots, n, \quad t_1\leqslant t\leqslant t_2$, в римановом пространстве R определяется как интеграл $$S=\int ds =\int\sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}dx^i dx^j}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}dt$$вдоль этой кривой. Если любые две точки пространства $R$ соединимы кривой, то $R$ становится метрическим пространством, расстояние $ρ(X,Y)$ между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства $R$.

Угол между двумя исходящими из одной точки $A$ кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке $A$. Объём $n$-мерной области $G$ риманова пространства определяется по формуле $$V=\mathop{\int\!\!\ldots\!\!\int}\limits_G\sqrt{g}\,dx^1\ldots dx^n,$$где $$g = \left| \begin{matrix} g_{11} & \ldots & g_{1n} \\ \cdots & \cdots &\cdots \\ g_{n1} & \ldots & g_{nn} \end{matrix}\right|.$$Линии, которые на достаточно малых участках являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве $R$. Они являются экстремалями функционала $$T=\int\sqrt{\sum_{i,j}g_{ij}dx^i dx^j}.$$Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая, и притом единственная.

Приложения и обобщения римановой геометрии

Т. к. риманово пространство можно определить как поле дважды ковариантного симметричного тензора, то всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу римановой геометрии. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решённая Б. Риманом (1861), явилась первым приложением римановой геометрии.

Развитие римановой геометрии в связи с общей теорией относительности и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, важнейшими из которых являются т. н. псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства-времени) – четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой $$dσ^2=\sum_{i,j} g_{ij}dx^i dx^j.$$Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду $$dσ^2=dx^2+dy^2+dz^2-dt^2,$$где $x, y, z$ – пространственные координаты, $t$ – время. Один из других путей обобщения римановой геометрии связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента $ds$.